1、4平面向量的坐标知识点一平面向量及线性运算的坐标表示 填一填1平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，如图，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得xiyj，因此axiyj.我们把实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a(x，y)2平面向量线性运算的坐标表示(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)；ab(x1x2，y1y2)(2)设a(x，y)，R，则a(x，y)(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)答一答1如何理
2、解向量的坐标？提示：(1)i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)(2)在平面直角坐标系内，以原点O为起点作向量a，则点A的位置由向量a唯一确定(3)设xiyj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y)，因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对有序实数对唯一表示即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的(4)两个向量相等，则它们对应的坐标相等反过来，也成立(5)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同如，点A(3,5)，B(6,8)，C(5,3)，D(2,6)，向量(3,3)两个向量的坐标相同
3、，但起点、终点的坐标都不相同知识点二向量平行的条件 填一填3设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，那么当且仅当x1y2x2y10时，向量a，b(b0)共线由于规定零向量与任何向量平行，所以b0的条件可去掉当x2y20时，向量a，b共线的条件也可以写作.即：(1)若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例(2)若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行答一答2两个向量共线的条件有哪几种表示方法？各有什么特点？提示：两个向量a(x1，y1)和b(x2，y2)共线的条件有以下三种表示方法：(1)当a0时，ba.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系(2)x1y2x
4、2y10.这是代数运算，用它解决向量的共线问题，好处在于不需要引入参数“”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化、程序化的特征(3)当x2y20时，即两个向量的相应坐标成比例通过这种形式较容易记住向量共线的坐标表示，而且不容易出现搭配错误1向量正交分解的实质向量的正交分解是平面向量分解中常见的一种情形，也是一种特殊的情形，即基底垂直的情况，单位正交基底坐标i(1,0)，j(0,1)，零向量的坐标0(0,0)2向量的坐标与点的坐标的区别与联系(1)区别意义：点的坐标反映点的位置，它由点的位置决定；向量的坐标反映的是向量的大小和方向，与位置无关表示形式：如点A(x，y)，向量a(x，y
5、)当向量平行移动到时，向量不变，即(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标发生了变化(2)联系向量a的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系；把坐标原点作为表示向量a的有向线段的始点，这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定，即终点的坐标就是向量的坐标3向量的三种运算体系(1)图形表示下的几何运算：此运算体系下要注意三角形法则、平行四边形法则的应用(2)字母表示下的几何运算：此运算体系下一方面要注意运算律的应用，另一方面要注意，等运算法则的应用(3)坐标表示下的代数运算：此运算体系下要牢记公式，且细心运算若已知有向线段两个端点的坐标，则应先
6、求出向量的坐标，再进行坐标运算类型一利用平面向量坐标的定义求坐标 【例1】如图，若|2，OA与x轴正方向的夹角为30，求向量的坐标【思路探究】本题主要考查平面向量的正交分解的坐标表示，先设出点A的坐标，再利用三角函数的知识将分解到x轴、y轴上【解】设点A(x，y)，则x|cos302，y|sin3021，A(，1)O为坐标原点，(，1)规律方法 求向量的坐标有两种方法：(1)是平移法，把向量的起点移至坐标原点，终点坐标即为向量的坐标；(2)是用表示向量的有向线段的终点坐标减去起点的相应坐标如图所示，若向量e1，e2是一组单位正交向量，则向量2ab在平面直角坐标系中的坐标为(3,4)解析：由题图
7、可知ae1，be13e2，所以2ab2(e1)(e13e2)3e14e2.所以向量2ab在平面直角坐标系中的坐标为(3,4)类型二平面向量的坐标运算 【例2】已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2，求M、N的坐标和的坐标【思路探究】要求M点的坐标，可设M(x，y)，然后利用3求解【解】因为A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，所以(1,8)，(6,3)设M(x，y)，则(x3，y4)由3得(x3，y4)3(1,8)，即，解得，即M(0,20)同理可得N(9,2)所以(9，18)规律方法 本题主要考查向量的坐标运算，解题的关键是点的坐标与向量坐标之间的相互转化 (1)已知向量
8、(4,3)，(3，1)，点A(1，2)，则线段BD的中点M的坐标为(，1)解析：方法一：设点B的坐标为(x1，y1)，因为(4,3)，A(1，2)，所以(x11，y12)(4,3)所以所以所以B(3,1)同理可求得D(4，3)设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，所以x2，y21，所以M(，1)方法二：设点M(x，y)，则()，因为向量(4,3)，(3，1)，点A(1，2)，所以(x1，y2)(43,31)，即解得所以M(，1)(2)在ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，G为ABC的重心，求点G的坐标解：设D为BC的中点，E为AC的中点，因为G为ABC的重心，则
9、AD与BE相交于点G.由平面知识可得AGGD21，即()()(x2x1，y2y1)(x3x1，y3y1)(x2x32x1，y2y32y1)设G(x，y)，则(xx1，yy1)，所以解得即G(，)类型三向量坐标的应用 【例3】如图，已知直角梯形ABCD，ADAB，AB2AD2CD，过点C作CEAB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：(1)DEBC；(2)D，M，B三点共线【思路探究】利用向量法证明几何问题，首先是建立适当的平面直角坐标系，将图中点的坐标转化为向量坐标【证明】如图，以E为坐标原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系令|1，则|1，|2.ADAB，CEA
10、B，而ADDC，四边形AECD为正方形，E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(1,1)，A(1,0)(1)(1,1)(0,0)(1,1)，(0,1)(1,0)(1,1)，即DEBC.(2)M为EC的中点，M，(1,1)，(1,0)，.又与有公共点M，D，M，B三点共线规律方法 在建立平面直角坐标系时，要尽可能使更多的点落在坐标轴上，尽可能使更多的线与x轴、y轴平行已知以下四点：A(1,1)，B(1,5)，C(2，1)，D(4,11)，请判断直线AB与CD是否平行解：(2,4)，(6,12)，而212460，.又(1，2)，142(2)0，.由于向量与有共同的始点A，因此A，B，C三点共
11、线因此直线AB与直线CD重合，即直线AB与CD不平行类型四由向量共线求参数的值 【例4】(1)已知a(4,2)，b(6，y)，且ab，求y；(2)若a(1，x)与b(x,2)共线且方向相同，求x.【思路探究】利用向量平行的充要条件，要注意方向【解】(1)a(4,2)，b(6，y)，且ab，4y260，y3.(2)a(1，x)与b(x,2)共线，(1)2x(x)0，x.又a与b方向相同，x.规律方法 利用向量共线的条件求值问题的处理思路对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理ab(b0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y10直接求解 (1)
12、已知向量a(1,1)，b(2，x)，若ab与4b2a平行，则实数x的值是(D)A2B0C1D2(2)如果向量i2j，imj，其中 i，j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，则当A，B，C三点共线时实数m的值为2.解析：(1)方法1：因为a(1,1)，b(2，x)，所以ab(3，x1)，4b2a(6,4x2)，由ab与4b2a平行，得3(4x2)6(x1)0，解得x2.方法2：由于ab与4b2a平行，故存在常数，使ab(4b2a)，即(21)a(41)b，根据向量共线的条件知，向量a与b共线，故1x120，解得x2.(2)方法1：A，B，C三点共线，共线存在实数使得，即i2j(imj)于是m2，
13、即当m2时，A，B，C三点共线方法2：依题意知i(1,0)，j(0,1)则(1,0)2(0,1)(1，2)，(1,0)m(0,1)(1，m)由题知，共线，1m1(2)0，m2，即当m2时，A，B，C三点共线类型五利用向量共线的条件求交点的坐标 【例5】如图所示，已知点A(4,0)，B(4，4)，C(2,6)，求AC和OB的交点P的坐标【思路探究】方法1：要求点P的坐标，可利用O，P，B三点共线，用的坐标表示的坐标，然后利用A，P，C共线求出P点坐标方法2：设出P点的坐标，利用O，P，B三点共线，A，P，C三点共线，列出方程组求解【解】方法1：设(4，4)(44,4)，(2,6)因为A，P，C三
14、点共线，所以6(44)(2)40，解得.所以(3,3)，即P点坐标为(3,3)方法2：设P(x，y)，(x，y)，(4,4)因为O，P，B三点共线，所以4x4y0.又因为(x4，y)，(2,6)，且A，P，C三点共线，所以6(x4)(2)y0，即3xy12.由式和得x3，y3，所以P点坐标为(3,3)规律方法 求两直线AB与CD的交点P的坐标，常有两种思路，一种是利用表示出的坐标，进而利用C，P，D共线求出P点坐标；另一种是设P点坐标为(x，y)，利用A，P，B共线和C，P，D共线建立方程组解出x，y的值在AOB中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，AD与BC交于点M，求点M的坐
15、标解：设点C坐标为(xC，yC)，因为点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，所以(0,5)，(4,3)因为(xC，yC)(0，)，所以点C(0，)同理点D(2，)设M的坐标为(x，y)，则(x，y5)，而(2，)，因为A，M，D三点共线，所以与共线，所以x2(y5)0，即7x4y20.同理由C，M，B三点共线，得出7x16y20.解方程组得所以点M的坐标为(，2)易错警示混淆向量的坐标与点的坐标而致误【例6】已知A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，(R)，点P在第三象限，则的取值范围为_【错解】【正解】设P(x，y)，则(x，y)(2,3)(x2，y3)又因为(5,4)(2,3)
16、(7,10)(2,3)(3,1)(5,7)(35，17)，所以(x2，y3)(35，17)，即解得因为点P在第三象限，所以解得1.【错解分析】解题时，在处混淆了向量的坐标与点P的坐标，导致错误【答案】1【防范措施】1.明确向量坐标与点的坐标的区别解题时，注意向量坐标与点的坐标有区别，当且仅当向量的始点为坐标原点时，向量坐标与其终点的坐标相同，如本例，在处若将其视为点P的坐标，将造成错解2向量的坐标运算解题过程中，向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，如本例，向量加法、减法、数乘运算的坐标表示的正确进行，是解题的关键已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)
17、，且2，则顶点D的坐标为(2，)解析：设D(x，y)，(x，y2)，(4,3)，又2，所以所以即点D的坐标为(2，)一、选择题1下列向量组中，能作为表示它们在平面内的向量的基底的是(B)Ae1(0,0)，e2(1，2)Be1(1,2)，e2(5,7)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(，)解析：A，C，D都是共线向量二、填空题2已知点A(1，3)和向量a(3,4)，若2a，则点B的坐标为(7,5)解析：2a(6,8)，设点B的坐标为(x，y)，则(x，y)(1，3)(6,8)，(x，y)(7,5)3已知向量a(1,2)，b(2,3)，若ab与ab共线，则与的关系为.解析：ab(1,2)(2,3)(2，23)，ab(1,5)ab与ab共线，(2)5(23)(1)0，.三、解答题4如图所示，已知两点P(1,6)和Q(3,0)，延长线段QP到点A，使|，求A点坐标解：解法一：因为|，所以.所以()(，8)(1,0)(，8)所以A点坐标为(，8)解法二：因为|，所以，所以(3,0)(13,60)(3,0)(，8)(，8)，所以A点坐标为(，8)
