1、专题突破练23圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题1.(2021重庆八中月考)已知椭圆C:=1的右焦点为F,过点M(4,0)的直线l交椭圆C于A,B两点,连接AF,BF并延长分别与椭圆交于异于A,B的两点P,Q.(1)求直线l的斜率的取值范围;(2)若=,证明:为定值.2.(2021河北张家口三模)已知抛物线C:y2=4px(p0)的焦点为F,且点M(1,2)到点F的距离比到y轴的距离大p.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线l:x-m(y+2)-5=0与抛物线C交于A,B两点,问是否存在实数m,使|MA|MB|=64?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.3.(2021江苏南通适应性联考)
2、已知双曲线C:=1(a0,b0)的两个焦点为F1,F2,一条渐近线方程为y=bx(bN*),且双曲线C经过点D(,1).(1)求双曲线C的方程;(2)设点P在直线x=m(ym,0mb0)的离心率为,且经过点H(-2,1).(1)求椭圆C的方程;(2)过点P(-3,0)的直线(不与x轴重合)与椭圆C相交于A,B两点,直线HA,HB分别交x轴于M,N两点,点G(-2,0),若=,求证:为定值.5.(2021广东汕头三模)已知圆C:x2+(y-2)2=1与定直线l:y=-1,且动圆M与圆C外切并与直线l相切.(1)求动圆圆心M的轨迹E的方程;(2)已知点P是直线l1:y=-2上一个动点,过点P作轨迹
3、E的两条切线,切点分别为A,B.求证:直线AB过定点;求证:PCA=PCB.6.(2021北京东城一模)已知椭圆C:=1(ab0)过点D(-2,0),且焦距为2.(1)求椭圆C的方程;(2)过点A(-4,0)的直线l(不与x轴重合)与椭圆C交于P,Q两点,点T与点Q关于x轴对称,直线TP与x轴交于点H,是否存在常数,使得|AD|DH|=(|AD|-|DH|)成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.专题突破练23圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题1.(1)解 由题意知直线l的斜率不为零,故设其方程为x=ty+4,与椭圆方程联立,消去x得(3t2+4)y2+24ty+36=0,=144(t2-
4、4)0,解得t2.故直线l的斜率k=的取值范围为(2)证明 F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),由(1)得y1+y2=,y1y2=,所以ty1y2=-(y1+y2).由=,得又点P在椭圆上,即有3+4=12,代入上式得3(x1-1)2+42=12,即2(3+4)-6(+1)x1+3(+1)2=12,又3+4=12,所以12(+1)(-1)-6(+1)x1+3(+1)2=0.易知+10,故=,同理可得=又(5-2x1)(5-2x2)=25-10(x1+x2)+4x1x2=25-10t(y1+y2)+8+4(ty1+4)(ty2+4)=9+6t(
5、y1+y2)+4t2y1y2=9+6t(y1+y2)+4t(y1+y2)=9,所以=1.2.解 (1)由点M到点F的距离比到y轴的距离大p,得点M到点F的距离与到直线x=-p的距离相等.由抛物线的定义,可知点M在抛物线C上,所以4=4p,解得p=1.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)存在满足题意的m,其值为1或-3.理由如下:由得y2-4my-8m-20=0.因为=16m2+4(8m+20)0恒成立,所以直线l与抛物线C恒有两个交点.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4(2m+5).因为=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=+(y1-2)
6、(y2-2)=+y1y2-2(y1+y2)+5=-4(2m+5)-8m+5=0,所以MAMB,即MAB为直角三角形.设d为点M到直线l的距离,所以|MA|MB|=|AB|d=4|1+m|=16|1+m|=64,所以(m+1)4+4(m+1)2-32=0,解得(m+1)2=4或(m+1)2=-8(舍).所以m=1或m=-3.所以当实数m=1或m=-3时,|MA|MB|=643.(1)解 由解得故双曲线方程为x2-y2=1.(2)证明 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA的斜率为k,P(m,y0).则PA:y-y1=k(x-x1),联立方程组消去y,可得x2-kx+(-kx1+y1)2=
7、1,整理可得(1-k2)x2-2k(y1-kx1)x-(y1-kx1)2-1=0.因为PA与双曲线相切,所以=4k2(y1-kx1)2+4(1-k2)(y1-kx1)2+4(1-k2)=0,整理得4(y1-kx1)2+4(1-k2)=0.即k2-2kx1y1+1-k2=0,即(-1)k2-2kx1y1+(+1)=0,因为=1,所以-1=+1=代入可得k2-2x1y1k+=0,即(y1k-x1)2=0,所以k=故PA:y-y1=(x-x1),即y1y=x1x-1.同理,切线PB的方程为y2y=x2x-1.因为P(m,y0)在切线PA,PB上,所以有A,B满足直线方程y0y=mx-1,而两点唯一确
8、定一条直线,故AB:y0y=mx-1,所以当时,无论y0为何值,等式均成立.故点恒在直线AB上,故无论P在何处,AB恒过定点4.(1)解 由题意知e=,则a2=2b2.又椭圆C经过点H(2,1),所以=1.联立解得a2=6,b2=3,所以椭圆C的方程为=1.(2)证明 设直线AB的方程为x=my-3,A(x1,y1),B(x2,y2),由联立消去x,得(m2+2)y2-6my+3=0,所以=36m2-12(m2+2)0,y1+y2=,y1y2=,由题意知,y1,y2均不为1.设M(xM,0),N(xN,0),由H,M,A三点共线知共线,所以xM-x1=(-y1)(-2-xM),化简得xM=由H
9、,N,B三点共线,同理可得xN=由=,得(xM+3,0)=(1,0),即=xM+3.由=,同理可得=xN+3.所以=2,所以为定值.5.(1)解 依题意知:M到C(0,2)的距离等于M到直线y=-2的距离,故动点M的轨迹是以C为焦点,直线y=-2为准线的抛物线.设抛物线方程为x2=2py(p0),则=2,则p=4,即抛物线的方程为x2=8y,故动圆圆心M的轨迹E的方程为x2=8y.(2)证明 由x2=8y得y=x2,y=x.设A,B,P(t,-2),其中x1x2,则切线PA的方程为y-(x-x1),即y=x1x-同理,切线PB的方程为y=x2x-由解得故故直线AB的方程为y-(x-x1),化简
10、得y=x-,即y=x+2,故直线AB过定点(0,2).由知:直线AB的斜率为kAB=,(i)当直线PC的斜率不存在时,直线AB的方程为y=2,PCAB,PCA=PCB;(ii)当直线PC的斜率存在时,P(t,-2),C(0,2),直线PC的斜率kPC=-,kABkPC=-1,故PCAB,PCA=PCB.综上所述,PCA=PCB得证.6.解 (1)因为椭圆C:=1(ab0)过点D(-2,0),所以a=2,又2c=2,即c=,所以b2=a2-c2=4-3=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)存在常数=2,满足题意.理由如下:显然直线l的斜率存在且不为0,设直线l:y=k(x+4),联立消去y并整理,得(1+4k2)x2+32k2x+64k2-4=0,=(32k2)2-4(1+4k2)(64k2-4)0,得0k2设P(x1,y1),Q(x2,y2),则T(x2,-y2),所以x1+x2=-,x1x2=,直线PT:y-y1=(x-x1),令y=0,得x=x1-,所以Hx1-,0,若存在常数,使得|AD|DH|=(|AD|-|DH|)成立,所以,又因为D(-2,0),A(-4,0),H,所以|AD|=2,|DH|=x1-+2=x1-+2=x1-+2=+2=+2=+2=+2=-1+2=1,所以,解得=2.所以存在常数=2,使得|AD|DH|=2(|AD|-|DH|)成立.
