1、第2讲 不等式与线性规划 专题一 集合与常用逻辑用语、不等式 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 2 3 41.(2014大纲全国)不等式组xx20，|x|1的解集为()A.x|2x1B.x|1x0 C.x|0 x1 解析 由xx20，|x|0或x2，1x1，所以0 x1，所以原不等式组的解集为x|0 x0(a0)，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集.2.简单分式不等式的解法(1)fxgx0(0(0 的 解 集 为_(用区间表示).解析 不等式x23x40，即x23x40，解得4x
2、0的解集为()A.x|x2或x2B.x|2x2 C.x|x4D.x|0 x0.f(2x)0即ax(x4)0，解得x4.故选C.C 思维升华(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论.跟踪演练1(1)关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a_.解析 由x22ax8a20，得(x2a)(x4a)0，所以不等式的解集为(2a,4a)
3、，即x24a，x12a，由 x2x115，得 4a(2a)15，解得 a52.52(2)已知函数 f(x)x21，x0，1，xf(2x)的 x 的取值范围是_.解析 当x0时，f(x)x21是增函数；当xf(2x)得，1x202x2x，2x0.解得1x0 或 0 x0，y0，xyp(定值)，当xy时，xy有最小值(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x0，y0，xys(定值)，当xy时，xy有最大值(简记为：和定，积有最大值).2 p14s2例 2(1)已知向量 a(3，2)，b(x，y1)，且 ab，若x，y 均为正数，则3x2y的最小值是()A.53B.83 C.8D.24解析 ab，3
4、(y1)2x0，即2x3y3.x0，y0，3x2y(3x2y)13(2x3y)13(669yx 4xy)13(1226)8.当且仅当3y2x时取等号.答案 C(2)已知关于 x 的不等式 2x 2xa7 在 x(a，)上恒成立，则实数 a 的最小值为()A.1B.32 C.2D.52解析 2x 2xa2(xa)2xa2a22xa 2xa2a42a，由题意可知 42a7，得 a32，即实数 a 的最小值为32，故选 B.B 思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得
5、的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.跟踪演练2(1)(2015天津)已知a0，b0，ab8，则当a的值为_时，log2alog2(2b)取得最大值.解析 log2alog2(2b)log2a(1log2b)log2a1log2b22log2ab122log281224，当且仅当log2a1log2b，即a2b时，等号成立，此时a4，b2.4(2)若直线 2axby20(a0，b0)被圆 x2y22x4y10 截得的弦长为 4，则1a1b的最小值是_.解析 易知圆x2y22x4y10的半径为2，圆心为(1,2)，因为直线2axby20(a0，b0)被圆x2y22x4y10截得的弦长为4，所以
6、直线2axby20(a0，b0)过圆心，把圆心坐标代入得：ab1，所以1a1b(1a1b)(ab)2baab4，当且仅当baab，ab1，即 ab12时等号成立.答案 4 热点三 简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.例 3(1)(2015北京)若 x，y 满足xy0，xy1，x0，则 zx2y的最大值为()A.0B.1C.32D.2解析 可行域如图所示.目标函数化为 y12x12z，当直线 y12x12z 过点 A(0,1)时，z 取得最大值 2
7、.答案 D(2)(2014安徽)x，y 满足约束条件xy20，x2y20，2xy20.若 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为()A.12或1B.2 或12C.2 或 1D.2 或1解析 如图,由yaxz知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a0时，要使zyax取得最大值的最优解不唯一，则a2；当a0，b0，且a2b1，所以 ab12a2b12(a2b2)218，当且仅当 a2b12，即 a12，b14时，“”成立.故选 D.答案 D 1 2 3 42.已知函数 f(x)x3x2 x2，log22xx2，x3x24或x2，log22x4，解得 x113 或14x2，故不等式
8、 f(x)4 的解集为x|14x2 或 x113.答案 x|14x2 或 x113 1 2 3 43.已知 O 是坐标原点，点 M(x，y)，且实数 x，y 满足不等式组 xy20，y2，x2，则|OM|的最小值为_.押题依据 线性规划的实质是数形结合思想的应用.利用线性规划的方法求一些线性目标函数的最值是近几年高考的热点.1 2 3 4解析 依题意得|OM|x2y2可视为点 M(x，y)到原点O(0,0)的距离.在坐标平面内画出不等式组所表示的平面区域(如图所示阴影部分及边界).结合图形可知，在该平面区域内，点O(0,0)到直线xy20的距离即点M(x，y)与原点O(0,0)之间距离的最小值，因此|OM|的最小值是|002|2 2.答案 21 2 3 44.已知不等式 2x115|a2a|对于 x2,6恒成立，则 a 的取值范围是_.押题依据“恒成立”问题是函数和不等式交汇处的重要题型，可综合考查不等式的性质，函数的值域等知识，是高考的热点.1 2 3 4解析 设 y 2x1，y2x12，故 y 2x1在 x2,6上单调递减，即 ymin 26125，故不等式 2x115|a2a|对于 x2,6恒成立等价于15|a2a|25恒成立，1 2 3 4化简得a2a20，a2a20，解得1a2，故a的取值范围是1,2.答案 1,2 谢谢观看 更多精彩内容请登录：
