1、第1讲 坐标系1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 2极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如下图所示，在平面内取一个定点O(极点)，自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一 个 角 度 单 位(通 常 取 弧 度)及 其 正 方 向(通 常 取_方向)，这样就建立了一个极坐标系 逆时针(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度和从Ox到OM的角度来刻画，这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐标其中称为点M的极径，称为点M的_ 极角3极坐标与直角坐标的互化 点 M直角坐标(x，y)极坐标(，)互化公式错误!2_tan yx(x0)x2y24圆的极坐标方程 5.直线的极坐
2、标方程(1)直线 l 过极点，且极轴到此直线的角为，则直线 l 的极坐标方程是_(R)(2)直线 l 过点 M(a，0)且垂直于极轴，则直线 l 的极坐标方程为 cos a2 2.(3)直线过 Mb，2 且平行于极轴，则直线 l 的极坐标方程为_(0 ).sin b考点一 极坐标与直角坐标的互化【例 1】(1)已知直线 l 的极坐标方程为 2sin 4 2，点 A 的极坐标为 A2 2，74，求点 A 到直线 l 的距离(2)把曲线 C1：x2y28x10y160 化为极坐标方程【解析】(1)由 2sin4 2，得 222 sin 22 cos 2，所以 yx1.由点 A 的极坐标为2 2，7
3、4得点 A 的直角坐标为(2，2)，所以 d|221|25 22.即点 A 到直线 l 的距离为5 22.(2)将xcos，ysin 代入 x2y28x10y160，得 28cos 10sin 160，所以 C1 的极坐标方程为 28cos 10sin 160.【反思归纳】跟踪训练 1 已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 2，22 2 cos 4 2.(1)将圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程【解析】(1)由 2 知 24，所以 x2y24.因为 22 2cos4 2，所以 22 2cos cos 4 sin sin 4 2.所以
4、 x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为 xy1.化为极坐标方程为 cos sin 1，即 sin4 22.考点二 求曲线的极坐标方程【例2】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4.M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的极坐标方程【解析】设 P 的极坐标为(，)(0)，M 的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|14cos.由|OM|OP|16 得 C2 的极坐标方程为 4cos(0)【反思归纳】跟踪训练 2 在直角坐标系 xOy
5、中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 cos 3 1(02)，M，N 分别为曲线 C 与 x 轴，y 轴的交点(1)写出曲线 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标(2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程【解析】(1)由 cos3 1 得 12cos 32 sin 1.从而曲线 C 的直角坐标方程为12x 32 y1，即 x 3y20.当 0 时，2，所以 M(2，0)当 2 时，2 33，所以 N2 33，2.(2)M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为0，2 33.所以 P 点的直角坐标为1，33，则 P 点的极坐标为2
6、33，6.所以直线 OP 的极坐标方程为 6(R)考点三 曲线极坐标方程的应用【例3】(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos 30.(1)求C2的直角坐标方程(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程【解析】(1)由xcos，ysin 得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1，0)，半径为2的圆 由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个
7、公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点 当 l1 与 C2 只有一个公共点时，A 到 l1 所在直线的距离为 2，所以|k2|k212，故 k43或 k0.经检验，当 k0 时，l1 与 C2没有公共点；当 k43时，l1 与 C2 只有一个公共点，l2 与 C2 有两个公共点 当 l2 与 C2 只有一个公共点时，A 到 l2 所在直线的距离为 2，所以|k2|k212，故 k0 或 k43.经检验，当 k0 时，l1 与 C2没有公共点；当 k43时，l2 与 C2 没有公共点 综上，所求 C1 的方程为 y43|x
8、|2.【反思归纳】跟踪训练 3 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是x35cos y45sin (为参数)以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系(1)求曲线 C 的极坐标方程(2)设 l1：6，l2：3，若 l1，l2 与曲线 C 分别交于异于原点的 A，B 两点，求AOB 的面积【解析】(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程为(x3)2(y4)225，即 x2y26x8y0.所以曲线 C 的极坐标方程为 6cos 8sin.(2)设 A1，6，B2，3.把 6 代入 6cos 8sin，得 143 3.所以 A43 3，6.把 3 代入 6cos 8sin，得 234 3，所以 B34 3，3.所以 SAOB1212sinAOB 12(43 3)(34 3)sin3 6 1225 34.课时作业
