1、苏教版六年级上册第一单元：长方体和正方体详解与训练知识点、常考题、易错题、重点题、拓展题 1.长方体、正方体的特征：形体 面 顶点 棱 关系 长方 体 6个 6 个或 4 个面是长方形 相对面完全相同 8 个 12 条 相对棱长度相等 正方体是特殊的 长方体 正方 体 6个 6 个面是正方形 6 个面完全相同 8 个 12 条 12 条棱的长度相等 2.长方体、正方体的表面积 概念：长方体或正方体 6 个面的总面积。计算公式：长方体的表面积=（长宽长高宽高）2 正方体的表面积=棱长棱长6 3.长方体、正方体的体积（容积）概念：物体所占空间的大小叫做物体的体积。容器所能容纳物体的体积叫做它的容积
2、。体积的单位：立方米，立方分米，立方厘米。容积的单位：升、毫升 体积（容积）单位间的进率：1m=1000dm 1dm=1000cm 1L=1000mL 1L=1dm 1mL=1cm 计算公式：长方体的体积=长宽高 正方体的体积=棱长棱长棱长。长方体和正方体的体积=底面积高。容积的计算方法：长方体、正方体等规则容器容积的计算方法和体积的计算方法相同。但要从容器里面测量长、宽、高。不规则的物体的体积的测量和计算方法：一般把这些物体的体积转化为可测量，计算的液体的体积。正方体平面展开图的 11 种快速记忆及对应考题 一、正方体平面展开图一共 11 种，分为 4 大类.第一类：141 型（6 种情况）
3、:口诀：中间四个一随意。1 2 3 4 5 6 不能折成正方体 中间 4 个做为侧面，上下两个各做上下底面。中间四个正方形连一串，上下再各有一个正方形，这时上下的两个正方形随意怎么放都行。第二类：231 型.(3 种情况)。口诀：二三错开一随意。下面两个正方形，中间三个正方形，须错开一位。三个正方形上面再放一个正方形，这一个随意放。第三类：222 型（图 3）。口诀：两两相连各错一。每行两个，有三行，分别错开一位。第四类：33 型（图 4）。口诀：三三两排错两位。每行三个，有两行，须错开两位 二、相对面关系的快速判断 1、如果是连成一串的，隔一个便是相对面的关系。2、如果没有连成一串，成“Z”
4、字型的两头即为相对面的关系。如图，两个带黑色小三角的面和两个带 小黑点的面之间就都是连成一串并且中间隔了 一个面，所以它们就是相对面的关系。而看两 个空白面，从一个空白面到另一个空白面用手 指比划出它的路径，就像一个“Z”字，所以两个空白面也是相对的。对于正方体的平面展开图这个考点，我们不仅可以判断一个平面展开图是否是正方体展开图，而且还会将展开图在脑子中折成正方体，并会迅速判断哪两个面是相对的面.那这一知识点会考到什么样考题，我们一起看一下：例 1.若如下平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为 5，求 x+y+z的值.考点拓展精讲 1 分析：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，
5、其中面“z”与面“3”相对，面“y”与面“一 2”相对，“x”与面“10”相对.则 z+3=5，y+(-2)=5，x+10=5，解得 z=2，y=7,x=-5.则 x+y+z=2+7-5=4 考点拓展精讲 2 如图所示的三个正方体的六个面都按相同规律有红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色，则涂黄色、白色、红色的对面分别为_.有一个正方体，A,B,C 的对面分别是 x,y,z 三个字母，如图所示，将这个正方体从现有位置依次翻到第 1，2，3，4，5，6 格，当正方体翻到第 3 格时正方体向上一面的字母是_.如下图，正方体的三个侧面分别画有不同图案，它的展开图是（）解：根据图一和图三可知道，与黄色相邻的
6、面有，白、黑、蓝、红，所以剩下一面为黄色对面为“绿色”;根据图一和图二可知道，与白色相邻的面有，黑、黄、绿、红，所以剩下一面为白色对面为“蓝色”;根据图二和图三可知道，与红色相邻的面有，绿、白、蓝、黄，所以剩下一面为红色对面为“黑色”;故答案为:与黄色对面的为“绿色”;白色对面为蓝色”;红色对面为“黑色”解：翻到 1 时，C 与 1 重合；翻到 2 时，B 与 2 重合；翻到 3时 A 与 3 重合。因为 A 的对面是 x，所以正方体向上一面的字母是 x.故答案为:x.考点拓展精讲 3 考点拓展精讲 4 A B C D 如下图，正方体的三个侧面分别画有不同图案，它的展开图是（）1.小明给妈妈准
7、备了一份生日礼物，他用一个长方体盒子来做包装盒,包装盒长 30 厘米，宽 20 厘米,高 5 厘米，用彩绳捆盒子(如下图),打结处用了 20 厘米,一共用了多少厘米长的彩绳?解析：基本方法是先看上下，后定左右。图 A、图 B 都是“口”和“十”两个面相对，不合题意；图C 中“口”在上面，“O”在前面时，从立体图看，“十”在右，符合要求。图 D 中“口”在上面，“O”在前面，而立体图中“十”应在左，不合要求，故选 C.分析：此题主要考查正方体的晨开图，找出三个面的相对面是解题关键。A.阴影三角形与黑色正方形是相对面，不合题意。B.阴影三角形的直角边不是圆形所在正方形中的一条边，不合题意。C.阴影
8、三角形与黑色正方形是相对面，不合题意。D.阴影三角形、圆形和黑色正方形是两两相邻的三个面，并且阴影三角形的一条直角边是圆形所在正方形的一条边，符合题意。故选择:D.考点拓展精讲 5 考点拓展精讲 6 2.数学课上，李老师要求同学们用同样长的铁丝做框架。小红做了一个正方体框架,棱长是 6 厘米;小明做了一个长方体框架,长是 7 厘米，高是 5 厘米,你知道这个长方体框架的宽是多少厘米吗?(铁丝没有剩余)正方体的 6 个面分别写着 1、2、3、4、5、6。与 1、4、6 相对的面上分别是哪个数?1.房屋的外墙壁用于引水的铁皮水管的形状是长方体，横截面是一个长方形,长 1 分米，宽 0.6 分米。如
9、果每节水管长 15 分米，做 10 节水管至少要用铁皮多少平方分米?2.如下图,一个长方体的长是 12 厘米,高是 8 厘米，左面和下面两个面的面积和是 200 平方厘米。这个长方体 的体积是多少立方厘米?1.解:(150.62+1512)10=480(平方分米)答:做 10 节水管至少要用铁皮 480 平方分米。2.解:200(8+12)=10(厘米)12108=960(立方厘米)答:这个长方体的体积是 960 立方厘米。易错题精讲 8 1.解：302+202+54+20=140(厘米)答:一共用了 140 厘米长的彩绳。2.解：126=72(厘米)724-7-5=6(厘米)答:这个长方体框
10、架的宽是 6 厘米。解：由图 1 与图 2 可知，1 不可能与 4、5 和 6 对面，也就是说 1 只能与 2 或 3 对面；由图 1 图 2 图 3 可知，6 不可能与 1345 对面，因此 6 与 2 对面，1 与 3 对面，4 与 5 对面。故答案是:3,5，2 考点拓展精讲 7 用 1 立方厘米的正方体木块摆成的长方体,正好能装满下面的容器，容器能装水多少升？第一单元长方体和正方体学霸拓展提优训练一 1.判断:长方体(不含正方体)相对的面的形状相同，不可能有两个相邻的面的形状相同。2.一个长方体正好可以截成 3 个完全相同的正方体,3 个正方体的棱长之和比原来长方体的棱长之和增加了 8
11、0 厘米。原来长方体的棱长之和是多少厘米?解：根据长方体的容积公式:V=abh,把数据代入公式解答。445=165=80(立方厘米)80 立方厘米=0.08 升 故答案为:0.08 易错题精讲 9 3.有 3 种不同长度的小棒若干根，第种小棒有 12 根,第种小棒有 8 根，第种小棒有 4 根。用橡皮泥和这些小棒，你能搭出几种不同形状的长方体或正方体?(每次只取 12 根小棒)4.下图是一个正方体的展开图，请你动手在展开图中标出其余 5 个面。5.一个正方体的 6 个面上分别写着 A、B、C、D、E、F,根据下面 3 种摆放情 况,判断每个字母对面的字母是什么。A 的对面是（），B 的对面是（
12、），D 的对面是（）。6.如图。用这张长方形硬纸板做一个长方体纸盒，阴影部分表示这个纸盒的展开图。求这张长方形硬纸板的面积。(单位:分米)7.（拓展题）一个止万体,它的棱长为 4 厘米,在它的上下、前后、左右面的正中间位置各挖去 1 个棱长为 1 厘米的正方体(如右下图),求挖去小正方体后立体图形的表面积是多少。8.（拓展题）有一个棱长为 3 厘米的正方体木块，在每个面的中心挖一个相 通的洞，洞口是边长为 1 厘米的正方形(如右图)。挖洞后正方体木块的体积是多少?9.从一个棱长为 10 厘米的正方体木块上锯下一个长 10 厘米、宽 8 厘米、高 2厘米的小长方体(如下图)，剩余部分的表面积是多
13、少?10.你能依据小正方体钢锭的体积来估计下图中左边钢块的体积吗?11.长方体鱼缸，长、宽、高分别是 8dm、6dm 和 4dm，里面水深 3.2dm。如果放入一块棱长是 4dm 的正方体铁块，那么鱼缸里的水将会溢出多少升?12.如图,将长方体的长减少 5 厘米，变成正方体，这个正方体的表面积比原来长方体的表面积少 60 平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米?13.下图是用水泥砌成的水池，墙的厚度为 10 厘米(底面是原有的水泥地)。这个水池的容积是多少?(5 分)14.参考答案与难题详解见下一页 答案就是咱无声的老师 1.误点分析“不可能有两个相邻的面的形状相同”是不对的，如果长方体左、
14、右两个面都是正方体，那么其余 4 个面的形状相同，前面和上面、前面和下面就是相邻且形状相同的两个面。错误解法错在片面地理解了“相对的面的形状相同”这句话。正确解法 2.解析：把一个长方体截成 3 段完全一样的正方体，切一次增加 2 个面，增加了8 条棱，所以一共增加了 82=16 条棱，因为分成后的 3 个正方体的棱长之和比原长方体增加 16 厘米，即增加的 16 的长度和是 16 厘米，进而用 8016=5厘米、求出一条棱的长度，因为原来长方体木块长是后来正方体的棱长的 3 倍，据此求出长方体的长，再根据棱长之和公式计算即可解答问题。解：80(82)=5(厘米)(53+5+5)4=100(厘
15、米)答:原长方体的棱长之和是 100 厘米 3.第一种:取第种小棒 12 根和橡皮泥搭成一个正方体.第二种:取第种小棒 8 根，第种小棒 4 根和橡皮泥搭成一个长方体.第三种:取第种小棒 8 根，第种小棒 4 根和橡皮泥搭成一个长方体.第四种:取第种小棒 4 根，第种小棒 8 根和橡皮泥搭成一个长方体.第五种:取第种小棒 4 根，第种小棒 4 根，第三种小棒 4 根和橡皮泥搭成一个长方体.第六种:取第种小棒 8 根，第种小棒 4 根和橡皮泥搭成一个长方体.答:能搭出 6 种不同形状的长方体或正方体.4.正确解法 5.分析:直接判断每个字母对面的字母是什么比较困难,根据“相邻的字母不可能相对”这
16、一规律,可以先看与一个字母相邻的字母是什么，推断出这个字母的对面不会是什么字母，然后一一排除后，剩下的一个字母就是这个字母对面的字母。图D 的对面不可能是 B、E 图D 的对面不可能是 A、F D的对面是C 图A 的对面不可能是 D、F 图A 的对面不可能是 B、C B 的对面是 F A 的对面是E 6.规范解答 D 的对面是 C.A 的对面是 E,B 的对面是 F.解：(82+4)(82+52)=(16+4)(16+10)=2026=520(平方分米)答:这张长方形硬纸板的面积是 520 平方分米。7.解：方法一：S 大正方体=446=96(厘米)S 增加=4x16=24(厘米)96+24=
17、120(厘米)方法二 S 剩下=6(4-1)=90(厘米)S 六孔=6x(15)=30(厘米)90+30=120(厘米)答:挖去小正方体后立体图形的表面积是 120 平方厘米。分析：思路一:在一个而.上挖去了小正方体，反而增加了 4 个边长为 1 厘米的小正 方形，因此可以用原来大正方体的表面积加上每面增加的 4 个小正方形的面积。思路二:先观察大正方体的表而积还剩下多少，再加上 6 个棱长为 1 厘米的正方 体的表面积，注意每个棱长为 1 厘米的正方体的表面积是 5 个面的面积。8.分析：挖的三个洞在原正方体木块的正中心相交成一个棱长为 1 厘米的小正方体，在用原正方体木块的体积减去三个洞的
18、体积时。多减了两个相交的小正方体的体积，应加上。解：原正方体木块的体积:333=27(立方厘米)一个洞的体积:113=3(立方厘米)三个洞的体积:33=9(立方厘米)重叠部分小正方体的体积:111=1(立方厘米)挖洞后正方体木块的体积:27-9+12=20(立方厘米)答:挖洞后正方体木块的体积是 20 立方厘米。9.解：剩余部分的表面积比原来正方体的表面积减少了 2 个长是 8 厘米，宽是 2厘米的长方形的面积。10106-822 =1006-162 =600-32 =568(平方厘米)答:剩余部分的表面积是 568 平方厘米。10、12 立方厘米提示:如图，画一画，可知原钢块共由 12 个小
19、正方体钢锭组成。11.25.6 升 解析根据长方体的体积公式:V=abh,正方体的体积公式:V=a,用玻璃缸内水的体积加上正方体铁块的体积减去长方体玻璃缸的容积即可。863.2+444-864=25.6（dm）25.6dm=25.6L 答:鱼缸里的水将会溢出 25.6 升。12.分析：由题意可得:根据高减少 5 厘米，就剩下一个正方体可知，这个正方体比原长方体表面积减少的 4 个面是相同的，根据已知表面积减少了 60 平方厘米，则 60 六 4-5=3(厘米)，求出减少面的宽，也就是剩下的正方体的棱长，然后 3+5=8(厘米)求出原长方体的高，再根据长方体体积公式计算原长方体体积即可。6045=3(厘米)3+5=8(厘米)338=72(立方厘米)答:原长方体的体积是 72 立方厘米 13.解析：要求这个水泥池的容积，需要知道水泥池的底面积，所以先求出水泥池的长和宽，分别减去两个墙厚即可，高不变，然后用长 x 宽 x 高就可求出体积 解：水泥池的长:3-0.12=2.8(米)，水泥池的宽:1.8-0.12=1.6(米)，水泥池的体积=2.81.62=8.96(立方米);答:水泥池的体积是 8.96 立方米.故答案为:8.96.14.10812+2=11(cm)(11-2)(11-2)6=486(块)答:1 面涂上红色的有 486 块。
