1、8.5.3平面与平面平行学 习 目 标核 心 素 养1.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题(重点)2.平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用(难点)1.通过平面与平面平行的判定定理和性质定理的学习，培养直观想象的核心素养.2.借助平行关系的综合问题，提升逻辑推理的核心素养.上海世界博览会的中国国家馆被永久保留中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉问题：(1)展馆的每两层所在的平面平行，那么上层面上任一直线状物体与下层地面有何位置关系？(2)上下两层所在的平面与侧墙所在平面分
2、别相交，它们的交线是什么位置关系？1平面与平面平行的判定(1)文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(2)符号语言：a，b，abP，a，b.(3)图形语言：如图所示2平面与平面平行的性质定理(1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行(2)符号语言：，a，bab.(3)图形语言：如图所示(4)作用：证明两直线平行思考：如果两个平面平行，那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗？提示不一定它们可能异面1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)内有无数多条直线与平行，则.()(2)直线a，a，则.()(3)直线a，直线b，且a
3、，b，则.()(4)内的任何直线都与平行，则.()答案(1)(2)(3)(4)2平面与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是()A平行B相交C异面D平行或异面A因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的性质定理可知mn.3已知平面平面，直线l，则()Al BlCl或l Dl, 相交C假设l与相交，又，则l与相交，与l矛盾，则假设不成立，则l或l.4已知长方体ABCDABCD，平面平面ABCDEF，平面平面ABCDEF，则EF与EF的位置关系是()A平行B相交C异面D不确定A由面面平行的性质定理易得平面与平面平行的判定【例1】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中
4、，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点求证：(1)E，F，B，D四点共面；(2)平面MAN平面EFDB思路探究(1)欲证E，F，B，D四点共面，需证BDEF即可(2)要证平面MAN平面EFDB，只需证MN平面EFDB，AN平面BDFE即可解(1)连接B1D1，E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，EFB1D1.而BDB1D1，BDEF.E、F、B、D四点共面(2)易知MNB1D1，B1D1BD，MNBD又MN平面EFDB，BD平面EFDBMN平面EFDB连接MF.M、F分别是A1B1、C1D1的中点，MFA1D1，MFA1D1.MFAD且MFAD四边形ADFM是平
5、行四边形，AMDF.又AM平面BDFE，DF平面BDFE，AM平面BDFE.又AMMNM，平面MAN平面EFDB平面与平面平行的判定方法(1)定义法：两个平面没有公共点.(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.(3)转化为线线平行：平面内的两条相交直线与平面内的两条相交直线分别平行，则.(4)利用平行平面的传递性：若，则.1如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PMMABNNDPQQD求证：平面MNQ平面PBC证明PMMABNNDPQQD，MQAD，NQBP.又BP平面PBC，NQ平面PBC，NQ平面PBC四边形A
6、BCD为平行四边形BCAD，MQBC又BC平面PBC，MQ平面PBC，MQ平面PBC又MQNQQ，平面MNQ平面PBC平面与平面平行的性质探究问题平面与平面平行性质定理的条件有哪些？提示必须具备三个条件：平面和平面平行，即；平面和相交，即a；平面和相交，即b.以上三个条件缺一不可【例2】如图，已知平面平面，P且P，过点P的直线m与、分别交于A、C，过点P的直线n与、分别交于B、D，且PA6，AC9，PD8，求BD的长解因为ACBDP，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为，平面PCDAB，平面PCDCD，所以ABCD所以，即.所以BD. 1. 将本例改为：已知平面，两条直线l，m分别与平
7、面，相交于点A，B，C与D，E，F.已知AB6，则AC_.15由题可知ACAB615.2将本例改为：若点P在平面，之间(如图所示)，其他条件不变，试求BD的长解与本例同理，可证ABCD所以，即，所以BD24.3.将本例改为：已知三个平面，满足，直线a与这三个平面依次交于点A，B，C，直线b与这三个平面依次交于点E，F，G. 求证：.证明连接AG交于H，连BH，FH，AE，CG.因为，平面ACGBH，平面ACGCG，所以BHCG.同理AEHF，所以，所以. 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤平行关系的综合应用【例3】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点
8、，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：GH平面PAD证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.ABCD是平行四边形，O是AC的中点，又M是PC的中点，PAMO，而AP平面BDM，OM平面BDM，PA平面BMD，又PA平面PAHG，平面PAHG平面BMDGH，PAGH.又PA平面PAD，GH平面PAD，GH平面PAD1证明直线与直线平行的方法(1)平面几何中证明直线平行的方法如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等(2)基本事实4.(3)线面平行的性质定理(4)面面平行的性质定理2. 证明直线与平面平行的方法(1)线面平行
9、的判定定理(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面2如图，三棱锥ABCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.求证：CD平面EFGH.证明由于四边形EFGH是平行四边形，EFGH.EF平面BCD，GH平面BCD，EF平面BCD又EF平面ACD，平面ACD平面BCDCD，EFCD又EF平面EFGH，CD平面EFGH，CD平面EFGH.一、知识必备常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对
10、应线段成比例(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行二、方法必备三种平行关系的转化1a，b，则a与b位置关系是()A平行B异面C相交D平行或异面或相交D如图所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交2若平面平面，直线a，点M，过点M的所有直线中()A不一定存在与a平行的直线B只有两条与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线D有且只有一条与a平行的直线D由于，a，M，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确3用一个平面去截三棱柱ABCA1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于点E，F，G，H. 若A1AA1C1，则截面的形状可以为_(填序号) 一般的平行四边形；矩形；菱形；正方形；梯形当FGB1B时，四边形EFGH为矩形；当FG不与B1B平行时，四边形EFGH为梯形4如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG平面BCD求证：BC2EF.证明因为平面EFG平面BCD，平面ABD平面EFGEG，平面ABD平面BCDBD，所以EGBD，又G为AD的中点，故E为AB的中点，同理可得，F为AC的中点，所以BC2EF.
