1、课时作业(二十一)函数极值与最值的综合应用练基础1已知函数f(x)xxln x，当x1时，求证：f(x)3(x1)2已知函数f(x)sin xln(1x)，f(x)为f(x)的导数证明：(1)f(x)在区间存在唯一的极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点3一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？提能力4已知函数f(x)ln xax2x，aR.(1)当a0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程；(2)若a2，正实数x1，x2满足f(
2、x1)f(x2)x1x20，求证：x1x2.战疑难5已知函数f(x)ex2xa(aR)有两个不同的零点x1，x2.(1)求实数a的取值范围；(2)证明：x1x20.课时作业(二十一)函数极值与最值的综合应用1证明：令g(x)f(x)3(x1)即g(x)xln x2x3(x0)则g(x)ln x1由g(x)0得，xe；由g(x)0得0x0.于是在(1，)上，都有g(x)g(e)0，所以f(x)3(x1)2证明：(1)设g(x)f(x)，则g(x)cos x，g(x)sin x.当x时，g(x)单调递减，而g(0)0，g0；当x时，g(x)0.所以g(x)在(1，)单调递增，在单调递减，故g(x)
3、在存在唯一极大值点，即f(x)在存在唯一极大值点(2)f(x)的定义域为(1，)当x(1,0时，由(1)知f(x)在(1,0)上单调递增，而f(0)0，所以当x(1,0)时，f(x)0，故f(x)在(1,0)上单调递减又f(0)0，从而x0是f(x)在(1,0上的唯一零点当x(0，时，由(1)知f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减，而f(0)0，f()0；当x(，)时，f(x)0，所以当x(0，时，f(x)0.从而，f(x)在(0，上没有零点当x(，时，f(x)0，f()1，所以f(x)0)千米/时的燃料费用为Q元，则Qkx3，由6k103，可得k.所以Qx3.所以总费用yx2.y
4、，令y0，得x20.所以当x(0,20)时，y0，此时函数单调递增所以当x20时，y取得最小值所以此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小4解析：(1)当a0时，f(x)ln xx，由f(1)1，所以切点为(1,1)，又因为f(x)1，所以切线斜率kf(1)2，故切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)证明：当a2时，f(x)ln xx2x(x0)由f(x1)f(x2)x1x20，得ln x1xx1ln x2xx2x1x20，从而(x1x2)2(x1x2)x1x2ln(x1x2)，令tx1x2(t0)，令(t)tln t，得(t)1，易知(t)在区间(0,1)上单调递减，在区间
5、(1，)上单调递增，所以(t)(1)1，所以(x1x2)2(x1x2)1，因为x10，x20，所以x1x2成立5解析：(1)因为f(x)ex2xa，所以f(x)ex2，令f(x)0，得x0，令f(x)0，得x0，所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减，所以f(x)minf(0)4a.要使函数f(x)有两个不同的零点，必须满足f(x)min4.若a4，注意到，f(a)eaa0，所以函数f(x)在(0，)上有且只有一个零点；f(a)3ea3a3(eaa)，令t(x)exx，x4，则t(x)ex10，所以t(x)在(4，)上单调递增，所以t(x)e440，从而f(a)0，所以函数f(x)在(，0)上有且只有一个零点综上所述，实数a的取值范围为(4，)(2)由(1)知x1x20，不妨设x100，所以h(x2)h(0)0，即f(x2)f(x2)0，所以f(x2)f(x2)注意到f(x1)f(x2)，所以f(x1)f(x2)，又x10，x2x2，所以x1x20.
