1、圆的参数方程 授课人：王华跃 (高二数学)一、复习引入 2.圆的一般方程：1.圆的标准方程：222)()(rbyax222ryx022FEyDxyx0422FED 著名数学家柯西说：“给我五个系数，我将画出一个大象，给我六个系数，大象将会摇动尾巴。”柯西说的第六个系数就是参数及参数方程。12.10圆的参数方程 满足条件 的方程 已知定圆O：，定点A（3R，0），P是圆O上任意一点，求线段PA的中点M的轨迹方程。222Ryx)20(sin21)3cos(21RyRRxsin21cos2123RyRRx移项可得：两式平方相加得：因此所求方程是：参数沟通了已知与未知间的联系，激活了数学问题。3.举例
2、 解：设点M（x,y)设 由中点公式得(Rcos,Rsin)222222sin41cos41)23(RRyRx22241)23(RyRxQOP 则点P的坐标是(Rcos,Rsin）由图示可知，圆上任意一点的坐标 X，Y都是的函数 sincosryrx)2(0(1)1.分析圆上任一点与旋转角的关系方程组（）叫做圆的参数方程，叫做参数 两式平方后得222222sincosryrx222ryx利用三角公式1sincos22两式相加得rsinrcos一、圆心坐标是O(0,0)，半径是r的圆的参数方程2.举例：sin2cos2yx)23(0 以坐标原点为圆心，以2为半径的圆43此例说明：参数的范围，确定
3、了曲线的范围。3.圆的参数方程表示从X轴正向起逆时针旋转的角sincosryrx)2(0)2(0 sin5cos5yx(1)方程组表示的曲线形状是5以原点为圆心，以为半径的圆(2)方程组 表示的曲线形状是(3)方程组)232(sin2cos2yx表示的曲线形状是 以坐标原点为圆心，以2为半径的左半 圆参数的几何意义是:1参数方程定义：在直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标、，都是某个变量 t 的函数)()(tgytfx(2)并且对于 t 的每一个允许值，由方程组（）所确定的点（X，Y）都在这条曲线上，那么方程组（2）就叫做这条曲线的参数方程，联系X、Y之间关系的变量 t 叫做参变量，简称参数
4、。注意：定义中关键词：“、，都是某个变量 t 的函数”参数 t 是联系X和Y的“桥梁”（5）方程)20(0sincos yx三、概念解释（4）方程组 （、是变量）sin3cos3yx请记下为参数）ttytx(32)1(举例:下面哪些是参数方程 为参数）ttytx(44)2(2为参数）(sin2cos3)3(yx(1)(2)(3)是参数方程（4）不是参数方程。因为X，Y之间缺少联系的“桥梁”（5）不是参数方程。因为、不是 的函数 2普通方程定义：相对于参数方程，在直角坐标系中，如果直接给出曲线上点的坐标X，Y之间的关系的方程叫做曲线的普通方程 2)2()2(22yxsin21cos21yx)2(
5、0 举例 （2）方程 是圆的普通方程是圆的参数方程（1）方程 四、圆心坐标是C(a,b)，半径是r的圆的参数方程 设表示从X轴正方向起逆时针方向旋转的角，P(X,Y)为圆上任意一点 由图示可得 sincosrbyrax)2(0 方程组（4）叫做 圆心是C(a,b)，半径是r的圆的参数方程（4）请记下这幅图rcosrsinr2.将方程组（4）化为普通方程 sincosrbyrax)2(0 方程组（4）移项得sincosrbyrax两式平方后得利用三角公式1sincos22可得参数方程化为普通方程方法就是消参数222222sin)(cos)(rbyrax两式相加得222222sincos)()(r
6、rbyax222)()(rbyax3、比较圆的参数方程：sincosryrx)2(0 sincosrbyrax)2(0 五、课堂巩固1.写出下列圆的参数方程以原点为圆心，以4为半径的圆的参数方程。以C(-1,2)为圆心，以2为半径的圆的参数方程。2写出下列圆的参数方程的圆心坐标和半径sin4cos4yx答：)2(0)2(0 sin22cos21yx答：)2(0 sin2cos2)1(yxsin21cos2)2(yx)2(0 答：（1）圆心O(0，0)，半径 答：（2）圆心C(0，1)，半径 22sin31cos3yx)2(0 sin31cos31yx)2(0（2）（1）答：（1）的普通方程是
7、答：（2）的普通方程是3.将下列参数方程化为普通方程3)1()1(22yx9)1(22 yx4.参数方程 它表示的曲线形状是。sin2cos2yx)0(五、课堂巩固答：以原点为圆心，以2为半径的上半圆 6.二次曲线 (是参数）的左焦点坐标是。sin3cos5yx4161925sin3cos5222ccyxyx答：左焦点坐标是（-4，0）此题是上海市高考试题5.参数方程 化为普通方程的结果是。为参数）(1cossinyx1)1(22 yx答：此题是上海市高考试题六、例题分析 sin5cos5yx)2(0 35,621解：（1）将 代入参数方程得 61 256sin53256cos511yxP1
8、点坐标是（）25,3253253sin5)32sin(535sin5253cos5)32cos(535cos522yxP2 点坐标是（）325,25（1）分析：圆的参数方程中的每一个参数值，在圆上有确定的一个点与之对应 已知圆O的参数方程是 设旋转角 所对应的圆O上的点是 i),(iiiyxP325,25352 将 代入参数方程得 （1）已知 求点 P1 与P2 的坐标（2）已知 P3 的坐标是（），求3 的值。六、例题分析 已知圆O的参数方程是 设旋转角 所对应的圆O上的点是 （1）已知 求点 P1 与P2 的坐标（2）已知 P3 的坐标是（），求3 的值。sin5cos5yx)2(0 i)
9、,(iiiyxP35,621325,25解：（2）由于P3 的坐标是（）代入参数方程左边 325,2533sin5325cos52523sin21cos33203（2）分析：对于圆上的每一个点，在其参数方程中，有确定的角与之对应 得33 因为 所以七、归纳小结：1形如 其中、都是变量 t 的函数，称为参数方程，t 叫做参数。2参数方程组 表示圆 3.参数方程组 表示圆 4.参数方程化为普通方程方法就是消参数。5.建立参数方程的方法，就是利用第三变量表示曲线上任意一点坐标X、Y。)()(tgytfx222ryxsincosryrx)2(0 222)()(rbyaxsincosrbyrax)2(0 在圆的参数方程中表示从X轴正方向起逆时针旋转角 八、作业：课本P67 练习1.2 习题册P15 习题六1.2
