1、 槡 槡 槡 槡槡 12019-2020 高一数学学科综合测试卷参考答案一、选择题1.答案：C命题目的：本题重在考查三角函数的定义命题依据：新课标（P21）要求学生对三角函数（正弦、余弦、正切）的定义达到理解的要求答案解析：53sin，54cos，则5254)53(2cossin22.答案：A命题目的：本题考查集合的性质及运算命题依据：新课标（P15）要求学生理解集合的概念，掌握集合的基本运算答案解析：由题意知：aa 2，则0a或1a当1a时集合 M 不满足元素的互异性，舍去；故0a，此时 0,1M，1,0 N，0NM 3.答案：A命题目的：本题考查了分数指数幂的概念，函数定义域的求法命题依据
2、：新课标（P20、P19）依次要求学生了解分数指数幂的含义，会求一般函数的定义域答案解析：由已知可得11)(xxf，则01x，所以1x，故),1(x4.答案：D命题目的：本题考查分段函数的概念、抽象函数性质的理解，指数幂的基本运算，考查转化与化归的思想命题依据：新课标（P19）要求学生了解简单的分段函数、了解函数符号的意义，在具体例子中理解函数的周期性答案解析：81)21()3()1()1()3(3 ffff5、答案：B命题目的：考查弧度制下弧长公式与扇形的面积公式、二次函数的最值等基本知识命题依据：新课标（P21）要求学生了解弧度制、能进行角度与弧度的互化答案解析：设扇形的半径为 r，弧长为
3、l，面积为 S，则82 lr，llllS241)24(212，当4l时，S 最大，此时圆心角224 rl6、答案：A命题目的：考查函数的图像，指数函数的性质，数形结合的思想，考查学生直观想象能力命题依据：新课表（P19）要求学生理解函数的图像，会用恰当的方法表示函数答案解析：当0 x时，则120 x，即0121x，于是112x，所以1121x，2则0121log3x，排除DCB,7、答案：B命题目的：考查三角函数的符号与角的象限关系、二倍角公式、辅助角公式等基础知识命题依据：新课标（P22)要求学生能进行简单的恒等变换答案解析：0 x知02x，则02cosx，02sinx，2cos332cos
4、1xx)62sin(22sin32cos2sin32cosxxxxx8、答案：A命题目的：考查函数的单调性、奇偶性，等价转化的思想命题依据：新课标（P19）结合具体函数了解函数理解函数的单调性函数的单调性是高考中的热点，是函数性质的核心答案解析：由函数)1(xf为偶函数，知)1()1(xfxf，即)2()(xfxf，所以)2()0(ff。由对任意1x，,12x)(21xx 0)()()(2121xfxfxx知)(xf在，1递增，则)3()2()1(fff，故)3()0()1(fff9、答案：C命题目的：本题考查了函数模型在数学生活中的应用，考查学生的观察、归纳、猜想能力，和运算求解能力命题依据
5、：新课标（P23）指出，在实际情境中会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律，体现数学的应用价值即是新课标的理念，也是数学文化的体现答案解析：开始时细胞的个数为100t，1 小时后细胞的个数是：ttt5753252；2 小 时 后 细 胞 的 个 数 是：ttt2)57(53)57(252)57(；3 小 时 后 细 胞 的 个 数 是：ttt322)57(53)57(252)57(，则 n 小 时 后 细 胞 的 个 数 是tn)57(，则610100)57(n，所以4)57(n，即457lgn，所以7.26)3.01(85.045lg7lg4n，故至少经过 27 小时10.答案：B3命题
6、目的：本题考查奇函数的定义和性质、分离常数法求函数的值域、取整函数，考查学生运算求解能力、新情境下解决的问题的能力命题依据：新课标（P20）要求学生会用函数图像和代数运算的方法研究函数的性质，函数奇偶性是函数重要的性质，在必修 1 中占有重要的地位，取整函数是课本习题中出现的函数答案解析：由0)0(f得1b，由)()(xfxf得11221221xxxxaa恒成立，即12122212xxxxaa，当0 x时有1222xxaa，即0)12)(2(xa恒成立，所以2a，于是12221)(xxxf，则)2121(21)(xxf，由121x知22120 x，故)21,21()(xf，则)23,21()(
7、1(xf，故101)(或xf11.答案：C命题目的：本题考查复合函数的单调性，考查学生抽象概括能力，运算求解能力命题依据：新课标（P19）会用符号语言表达函数的单调性，理解单调性的作用，二次函数是基本函数模型答 案 解 析：设)4(,)()(xxxfxg，则114)1()(2xxxg，设xt1，则14)(2ttth，当),4(x时xt1递减，此时)41,0(t；而)(th在)41,0(t递减，由复合函数同增异减的原则知)(xg在),4(递增。由3214xxx知)()()(123xgxgxg，故)(3xg最大12.答案：D命题目的：本题考查函数奇偶性的定义，二次函数的性质，考查正难则反、数形结合
8、、分类讨论等思想和方法命题依据：函数的奇偶性是函数的重要性质，二次函数是高考的热点，正难则反、数形结合、分类讨论都是重要的思想和方法答 案 解 析：先考 虑 问 题的 反 面，若)(xf不 是“无 奇点 函 数”，则存 在Rx 0，使得)()(00 xfxf成立，即)124(12421210000mmmmxxxx，整理得：022)22(2)44(20000mmxxxx，设0022xxt，,2t，则0222)2(22mmtt，即042222mmtt，问题转化为关于t 的方程在，2有解，设422)(22mmtttg，则二次函数)(tg的图像与横轴有交点，)(tg的对称轴为mt，讨论：当2m时，0)
9、42(4422mm，解之得22m，故2m；当2m时，4还需满足0)2(g，即0422 mm解之得20 m，即20 m；综上：20 m，此时)(xf不是“无奇点函数”。故当)(xf是“无奇点函数”时0m或2m二、填空题：13.答案：1命题目的：本题考查对数的运算性质命题依据：新课标要求学生理解对数的运算和性质答案解析：110lg5lg2lg5log2lg5log2lg101014.答案：)1,2(命题目的：考查对数函数的性质，整体思想命题依据：新课标（P21）要求学生探索并了解对数函数的单调性与特殊点答案解析：令1112xx得2x，即当2x时11log1ay，即函数的图像过定点)1,2(15.答
10、案：45,43，命题目的：本题考查三角函数的图像和性质，借助图像分析函数的单调性，深度考查 对图像的影响，考查数形结合、分类讨论等数学思想命题依据：新课标（P22）要求能借助图像理解、A 的意义，了解参数的变化对函数图像的影响答案解析：若函数)4sin()(xxf在，3单调递增，只需函数)4sin()(xxf在，3单调递减。若1，则)4sin(xy，满足题意；若1，图像的变换效果是沿着水平方向压缩，此时需满足45，即45，故451；若10，图像的变换效果是沿着水平方向拉伸，此时需满足34，所以143；综上4543 16.答案：12,命题目的：本题考查函数的零点、对勾函数的图像和性质、考查韦达定
11、理，考查数形结合、转化化归的思想命题依据：新课标（P22）在函数的应用中，了解函数零点与方程解的关系。函数与方程的思想是高中数学中非常重要的思想答案解析：函数)(xf有四个零点，即方程kxxt4)9(有四个解，即直线ky 与函数54)9(xxty的图像有四个交点，由0t知，函数4)9()(xxtxg在)3,0(递减，在),3(递增，故46)3()(mintgxg，若046t，)(xg的图像在 x 轴上方（交点除外），两个函数的图像至多两个公共点，显然不符合题意，故046t，所以320 t。由0)(xf得kxxt4)9(，当kxxt4)9(，则09)4(2txktx，则tkxx441；当kxxt
12、4)9(，则09)4(2txktx，则tkxx432；于是txxxx84321，由320 t知),12(8t，故12a，则12-，（a三、解答题17、命题目的：本题考查集合的关系和运算、简单绝对值不等式的解法，考查数形结合的思想命题依据：新课标（P15）要求理解集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集答案解析：（1）3t时，103|xxxA或，42|xxB，2 分42|xxxBCR或，102|xxxBCAR或；5 分（2）由043)21(122ttt，则tt12，BA，则BA7 分于是t2或142 t，9 分即2t或33t故),2(3,3t10 分18、命题目的：本题考查三角函数的图像
13、和变换，考查运算求解能力，和数形结合的思想、转化化归的思想命题依据：新课标（P21）要求能画出正弦、余弦、正切函数的图像，了解三角函数的性质，并能借助图像理解性质。三角函数的图像是高考中传统的热点答案解析：相邻对称轴间的距离为 2，则22 T，将)(xf图像向上平移 2 个单位，向右平 移6个 单 位 即 得)(xg图 像，即2)6(2sin3)(kxxg，即62)32sin(3)(kxxg，2 分由)(xg为奇函数，则原点是对称中心，故0302kk，4 分所以2k，30 k，由 0，所以3，故2)32sin(3)(xxf 6 分若)(xf递增，则223222kxk，即)(,12125Zkkx
14、k8 分当0k时121125x；1k时，1213127 x；所以)(xf在)121,0(递增，在)127,121(递减，在),127(递增12 分19、命题目的：本题考查函数的实际应用，考查阅读理解能力、考查数学建模能力以及利用函数的单调性求最值命题依据：新课标（P22）指出函数的应用更重要的是用函数解决实际问题，本题中的“对勾”函数是高中阶段及其重要的函数模型。新课标（P6)要求学生认识数学模型在实际问题中的应用，提升实践能力答案解析：（1）当实际的价格为 x 元/件时，设新增的年销量为5xk万件，则年收益 y（万元）与实际价格 x（元/件）的函数关系为)4)(52(xxky3 分由6x，1
15、0y得：)46()562(10k，所以3k，4 分故)4)(532(xxy，10,5x6 分（2）由)4)(532(xxy得5)4)(72(xxxy，设tx5，由9,6x，则4,1t，于是532352)(2ttttttg，4,1t8 分由)(tg在26,1，递减；在26,1，递增，10 分而10)1(g，4313)4(g，故4313)4()(max gtg，即9x时，4313max y，故当实际价格为 9 元/件时，收益最大为4313万元，712 分20、命题目的：本题考查函数的单调性、含参不等式的解法，考查抽象概括、逻辑推理和运算求解能力命题依据：新课标（P19）要求学生理解函数的单调性，并
16、能用符号表达函数的单调性；新课标（P17）要求学生会从函数观点看一元二次不等式。新课标（P5）在数学抽象核心素养部分，要求学生把握问题的本质，以简驭繁，运用数学抽象的思维方式解决问题答案解析：（1）取0m，1n,则)1()0()1(fff，又0)1(f，故1)0(f；2 分当0 x时，0 x，则1)(0 xf，由1)0()()(fxfxf，知1)(1)(xfxf，故Rx时，0)(xf3 分Rxx21,，设21xx，则)()()()(222121xfxxxfxfxf)()()(2221xfxfxxf1)()(212xxfxf由21xx 知021 xx，则1)(21 xxf，而0)(2 xf，故0
17、1)()(212 xxfxf即)()(21xfxf，故)(xf在 R 递减；6 分（2）由)(xf在 R 递减，故)2()23(2axafxxf，可得axaxx2232，即022)3(2axax，即0)1)(2(axx当a12，即1a时，21xa；当a12，即1a时，x；当a12，即1a时，ax12综上：1a时，)2,1(ax；1a时，x；1a时，)1,2(ax12 分21、命题目的：本题考查函数解析式的求法、三角函数中的最值问题、全称量词与存在量词等基本知识，考查了待定系数法和数形结合、等价化归等思想命题依据：新课标（P19）要求学生会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；新课标（P21）要
18、求学生会用几何直观与代数运算的方法研究三角函数的最值答案解析：（1）设)0()(2acbxaxxf，由0)0(f知0c，1 分由)()2(xfxf知)(xf的 图 像 关 于 直 线1x对 称，则12 ab，即ab23 分由2)(xxf得02)12(2xaax对任意Rx恒成立，则08)12(02aaa，即0)12(02aa，所以21a，则1b，8故xxxf221)(5 分（2）由存在43,22x使得)()(21xhxg成立，知)()(1max2xgxh，6 分由43,22x得34,65622x，则21,23)62sin(2x，所 以21212)(max2xh，故1,11x时，2)(1 xg恒成
19、立8 分而1)1(21)(2xkxxg是开口向上的二次函数，故当且仅当2)1(2)1(gg，10 分即225221kk，所以2321 k，又Zk，故1k12 分22、命题目的：本题考查函数的概念、解析式的求法、单调性，考查直观想象、推理论证等能力和创新意识，考查分类讨论，数形结合等思想命题依据：新课标（P6）在直观想象部分，要求通过高中阶段的学习，增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识。新课标（P5）在逻辑推理部分，要求学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神答案解析：已知()f x 在 xR恒有xxxfxxxff2221)()21)(，且有且仅有一个实数0 x，使得00()f
20、xx，故对任意 xR恒有0221)(xxxxf成立2 分取0 xx，则0020021)(xxxxf，即20021)(xxf，又00)(xxf，故02021xx，所以00 x或20 x4 分当00 x时，xxxf221)(，方程xxf)(即为xxx221，所以02212 xx，方程有两解01 x，42 x，不满足题意，舍去；当20 x时，221)(2xxxf，方程xxf)(即为xxx2212即022212 xx，解之得2x，满足题意；故221)(2xxxf6 分（2）axaxxaxaxxxaxxg,2221,221221)(222，9函 数)(xg的 图 像 是 由 函 数axy2212在 直 线ax 右 侧 的 部 分 与 函 数22212axxy在直线ax 左侧部分连接而成8 分下面分三种情形讨论：当0a时，)(xg的草图如下图 1 所示，此时)(xg在)0,(递减，),0(递增，则)(xg在区间2,1上单调递增，满足题意；当2a时，)(xg的草图如下图 2 所示，此时)(xg在)2,(递减，),2(递增，则)(xg在区间2,1上单调递减，不满足题意；当20 a时，)(xg的草图如下图 3 所示，此时)(xg在),(a递减，在),(a递增，若)(xg在区间2,1上单调递增，则10 a；11 分综上：1a，即1,a12 分图 1图 2图 3
