1、高三数学考生注意：1本试卷分选择题和非选择题两部分满分150分，考试时间120分钟2答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚3考生作答时，请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷草稿纸上作答无效4本卷命题范围：高考范围一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若复数满足，则的虚部为（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出即得解.【详解】由
2、，得，所以的虚部为故选：B2. 已知全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由交集与并集的概念求解【详解】由，得故选：A3. 某密码锁的一个密码由3位数字组成，每一位均可取0，1，2，9这10个数字中的一个，小明随机设置了一个密码，则恰有两个位置数字相同的概率为（ ）A. 0.09B. 0.12C. 0.18D. 0.27【答案】D【解析】【分析】根据分布计数原理及组合数的定义，结合古典概型的计算公式即可求解.【详解】先从3个位置中选1个，从0到9这10个数字中选一个数字放入，剩下的两个位置再从剩下的9个数字中选一个数字放入（两个位置数字相同），有种方法，所以所求概率故
3、选: D.4. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用对数的单调性证明，即得解.【详解】解：因，则，则，所以，从而，所以故选：A5. 若的展开式中项的系数为160，则正整数n的值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】利用二项式定理计算即可.【详解】由二项式定理知：含项为 ，由题意 ， ，解得 ；故选：C.6. 在平面直角坐标系中，角的大小如图所示，则（ ）A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知求出，化简即得解.【详解】解：由题图知，则，所以故选：C7. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为是上位于第一象限内的一点，若在
4、点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则与相等的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，求出，得到，即得解.【详解】解：如图，设，由，得，所以在点处的切线方程为，从而，根据抛物线的定义，得又，所以由，得是的中点，则，从而故选：B8. 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数，求导后可得，再构造，根据对称轴与1的关系分情况讨论，结合分析即可【详解】设，则令，其图象为开口向上对称轴为直线的抛物线当，即时，在上单调递增，且，所以在上恒成立，于是恒成立；当，即时，因为且，所以存在，使得时，所以在上恒成立，即在上单调递减
5、，所以，不满足题意综上，实数的取值范围是故选：【点睛】本题主要考查了构造函数分情况分析函数的单调性，从而分析函数的正负的问题，需要根据题意求导，化简后构造分析导函数中需要讨论正负的函数，再结合原函数的零点分析单调性求解，属于难题二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知函数，则（ ）A. 是以为周期的周期函数B. 直线是图象的一条对称轴C. 的值域为D. 上单调递增【答案】ACD【解析】【分析】由指数函数与三角函数的性质对选项逐一判断【详解】对于，因为，所以是以为周期的周期函数，故A正确；对于
6、B，设，由，解得，故B错误，对于C，的值域为，则的值域为，故C正确；对于D，由，解得，所以在上单调递减，所以在区间上单调递增，故D正确故选：ACD10. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄决胜千里大智大勇的象征（如图1）图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）A. 高为B. 体积为C. 表面积为D. 上底面积下底面积和侧面积之比为【答案】AC【解析】【分析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，求出，即可判断选项A正确；利用
7、公式计算即可判断选项BCD的真假得解.【详解】解：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，解得圆台的母线长，圆台的高为，则选项正确；圆台的体积，则选项错误；圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，则圆台的表面积为，则正确；由前面可知上底面积下底面积和侧面积之比为，则选项D错误故选：AC11. 已知是数列的前项和，且，则（ ）A. 数列为等比数列B. 数列为等比数列C. D. 【答案】AB【解析】【分析】由，分别得到，然后逐项判断.【详解】由，得，又，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，则正确；由，得，又，所以数列是首项为7，公比为4的等比数列，则正确；，相减可得，所以，则错误；，则错误故选：
8、AB12. 已知双曲线的右焦点为，左右顶点分别为，则（ ）A. 过点与只有一个公共点的直线有2条B. 若的离心率为，则点关于的渐近线的对称点在上C. 过的直线与右支交于两点，则线段的长度有最小值D. 若为等轴双曲线，点是上异于顶点的一点，且，则【答案】BCD【解析】【分析】对于，过与只有一个公共点的直线有3条，故可判断；对于B，由题意可求得，取渐近线方程为，可求得关于渐近线的对称点为，代入的方程验证即可；对于，当直线与轴垂直时，线段长度最小，即可判断；对于D,双曲线为即，设，则，解得，即可判断.【详解】对于，过与只有一个公共点的直线，与渐近线平行的直线2条，与轴垂直的直线1条，共3条，则错误；
9、对于，所以，渐近线方程不妨取，即，设关于渐近线对称点为，则，解得，代入的方程，得，所以点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上，则B正确；对于，过双曲线右焦点的直线与双曲线右支交于两点，当直线与轴垂直时，线段长度最小，故正确；对于D,双曲线为等轴双曲线，即，设，则，又，则，联立解得，易得，故D正确故选:BCD三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知是边长为1的等边三角形，设向量满足，则_【答案】【解析】【分析】方法一：由题意可知，所以，由可得，再计算的值即可；方法二：由计算即可.【详解】法一，则，而，两边平方，可得，所以故答案为：.法二：因为，所以故答案为：.14. 若函数是偶函
10、数，则的最小值为_【答案】4【解析】【分析】利用偶函数的性质可得，然后利用基本不等式即得.【详解】由为偶函数可得，即，所以因为，且，所以，则，当且仅当，即时，取最小值4故答案为：4.15. 利用分层随机抽样的方法，调研某校高二年级学生某次数学测验的成绩（满分分），获得样本数据的特征量如下表：人数平均成绩方差男生女生则总样本的平均分为_，方差为_参考公式：个数的平均数为，方差为参考数据：【答案】 . . 【解析】【分析】由可计算得到总样本的平均数；利用男生和女生数学测验成绩的方差可计算得到和，代入方差公式可求得结果.【详解】总样本的平均分；设名男生数学测验的成绩分别为，名女生数学测验的成绩分别为
11、；男生数学测验成绩的方差，女生数学测验成绩的方差，总样本的方差为.故答案为：；.16. 在直三棱柱中，平面经过点，且满足直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线，垂足为，则长度的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据题意，得到点的轨迹，再解三角形即可.【详解】因为平面，连接，则，故在以为直径的球面上又与平面所成的角为，所以，过作于点，如图1所示，则易得，所以在如图2所示的圆锥的底面圆周上，其轨迹是以为圆心，为半径的圆，在中，又易得，由余弦定理，得，即.故答案为：四解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17. 在成等比数列，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完
12、成解答问题：在公差不为0的等差数列中，其前项和为，_，是否存在正整数，使得？若存在，求出所有的正整数；若不存在，请说明理由【答案】答案见解析【解析】【分析】设数列的公差为，选择：由成等比数列，得，又，可得，从而求得，由得，解不等式根据为正整数可得答案；选择：由，取，得，又，求得，由得，解不等式根据为正整数可得答案；选择：由，求得，由得，解不等式根据为正整数可得答案.【详解】设数列的公差为，选择：由成等比数列，得，即，得，又，所以，又，所以，所以，所以，即，整理得，即，又为正整数，所以正整数存在，可以取选择：由，取，得，即，所以，又，所以，又，所以所以，经验证满足条件所以，即，整理得，即，又为正
13、整数，所以正整数存在，可以取选择：，又，所以，化简得又，所以，所以，所以，即，整理得，即，又为正整数，所以正整数存在，可以取18. 在平面四边形中，对角线与交于点，（1）求AC的长；（2）求的值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理，直接计算即可求解.（2）利用余弦定理和正弦定理，计算求解即可.【小问1详解】在中，由余弦定理，得，所以，化简得，解得，所以，所以，则又，则，所以，则，又，所以【小问2详解】由，得在中，由余弦定理，得，则在中，由正弦定理，得，则19. 某省为调査北部城镇2021年国民生产总值，抽取了20个城镇进行分析，得到样本数据，），其中和分别表示第个
14、城镇的人口（单位：万人）和该城镇2021年国民生产总值（单位：亿元），计算得（1）请用相关系数判断该组数据中与之间线性相关关系的强弱（若，相关性较强；若，相关性一般；若，相关性较弱）；（2）求关于的线性回归方程；（3）若该省北部某城镇2021年的人口约为5万人，根据（2）中的线性回归方程估计该城镇2021年的国民生产总值参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，【答案】（1）与之间具有较强的线性相关关系 （2） （3）估计该城镇2021年的国民生产总值40（亿元）【解析】【分析】（1）根据题中数据和公式可以求得，结合题意理解分析；（2）根据
15、题中数据和公式运算求解；（3）根据（2）中所求公式代入求解【小问1详解】题意知相关系数，因为与的相关系数满足，所以与之间具有较强的线性相关关系【小问2详解】，所以【小问3详解】由（2）可估计该城镇2021年的国民生产总值（亿元）20. 如图，在直三棱柱中，点分别在棱和棱上，且（1）设为中点，求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）取中点，连接、，即可得到且，从而得到，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；【小问1详解】证明：取中点，连接、，则，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以又平面，平面，所以平面
16、【小问2详解】解：因为直三棱柱中，所以、两两垂直分别以、的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面法向量为，则，即，令，得到平面的一个法向量设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为21. 已知椭圆的焦点为，且过点（1）求的方程；（2）设为椭圆的右顶点，直线与椭圆交于两点，且均不是的左右顶点，为的中点若，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由【答案】（1）； （2）直线过定点【解析】【分析】(1)由题意可得，即可求方程；(2) 由题意可得，即有，分直线的斜率存在和直线的斜率不存在两种情况求解即可.小问1详解】解：设椭
17、圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，因为，所以，即又因为，所以，又椭圆的焦点在轴上，且中心在坐标原点，所以的方程为【小问2详解】因为，则，又因为为的中点，所以，易知点，设当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由,得，所以，由韦达定理可得，则，化简可得，即若，则直线的方程为，此时直线过顶点，不符合题意；若，易知满足，此时直线的方程为，直线过定点；当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，则，所以，则，因为，解得，直线过点综上，直线过定点22. 已知，函数（1）讨论函数的单调性；（2）如果我们用表示区间的长度，试证明：对任意实数，关于的不等式的解集的区间长度小于【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导之后再对分和两种情况讨论得解；（2）令，证明，令，证明即得解.【小问1详解】解：，定义域为，若恒成立，所以在上单调递减；若，当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增综上，时，在上单调递减；时，在上单调递减，在上单调递增【小问2详解】证明：令，则，因为，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，又，所以，令，由恒成立，所以在上单调递增又，所以，即从而，所以，即因为，所以，所以存在唯一，使得，所以的解集为，即的解集为，又的区间长度为，原命题得证
