1、初中数学9年级上册同步培优专题题库(北师大版)专题4.10第4章 图形的相似单元测试(培优卷)姓名:_ 班级:_ 得分:_注意事项:本试卷满分120分,试题共26题答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1(2019秋海曙区期末)若a5=b8,则b-aa等于()A35B53C85D58【分析】直接利用已知得出a=58b,进而代入原式求出答案【解析】a5=b8,a=58b,则b-aa=b-58b58b=35故选:A2(2019秋禅城区期末)已知两个
2、相似三角形的相似比为4:9,则这两个三角形的对应高的比为()A2:3B4:9C16:81D9:4【分析】直接利用相似三角形的性质求解【解析】因为两个相似三角形的相似比为4:9,所以则这两个三角形的对应高的比为4:9故选:B3(2020拱墅区校级一模)如图,已知一组平行线abc,被直线m、n所截,交点分别为A、B、C和D、E、F,且AB3,BC4,EF4.8,则DE()A7.2B6.4C3.6D2.4【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式,代入计算得到答案【解析】abc,DEEF=ABBC,即DE4.8=34,解得,DE3.6,故选:C4(2020营口)如图,在ABC中,DEAB,且CDB
3、D=32,则CECA的值为()A35B23C45D32【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例,据此可得结论【解析】DEAB,CEAE=CDBD=32,CECA的值为35,故选:A5(2018秋象山县期末)如图,矩形ABCD矩形DEFC,且面积比为4:1,则AE:ED的值为()A4:1B3:1C2:1D3:2【分析】由相似多边形的性质知AB:DE2:1,据此设AEx,DEa,则DCAB2a,根据面积比得出2a(x+a)2a2=41,整理可得答案【解析】矩形ABCD矩形DEFC,且面积比为4:1,AB:DE2:1,设AEx,DEa,DCAB2a,则2a(x+a)2a2=41,
4、整理,得:x3a,则xa=3,即AE:ED3:1,故选:B6(2019秋花都区期末)如图,点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心,若OA:OA11:3,则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是()A1:2B1:3C1:4D1:9【分析】由点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心,OA:OA11:3,可得位似比为:1:3,根据相似图形的面积比等于相似比的平方,即可求得答案【解析】点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心,OA:OA11:3,五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似比为:1:3,五边形ABCDE
5、和五边形A1B1C1D1E1的面积比是:1:9故选:D7在坐标系中,已知A(6,0),B(0,8),C(0,2),过点C作直线L交x轴于点D,使得以点D、C、O为顶点的三角形与AOB相似,这样的直线一共可以作()条A3B4C5D6【分析】AOB是直角三角形,且OAOB=34,要使COD与AOB相似,则OCOD=34或43,这样可以得到D点的坐标有四个,然后确定直线的条数【解析】若AOBCOD,则OAOB=OCOD=34,OD=83,则D(83,0)或(-83,0)若AOBDOC,则OAOB=ODOC=34,OD=32,则D(32,0)或(-32,0)所以可以作出四条直线故选:B8已知ABC中,
6、BAC90,用尺规过A作一条直线,使其将ABC分成两个相似的三角形,其作法不正确的是()ABCD【分析】根据相似三角形的判定方法即可一一判断;【解析】A、由作图可知:CADB,可以推出CBAD,故CDA与ABD相似,故本选项不符合题意;B、由作图可知:ADBC,BAC90,故CADABD,故本选项不符合题意;C、由作图可知:ADBC,BAC90,故CADABD,故本选项不符合题意;D、无法判断CADABD,故本选项符合题意;故选:D9(2020春工业园区期末)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示,其中木竿AB2m,它的影子BC1.5m,木竿PQ的影子有一部分落在了墙上,它的影子QN1.8
7、m,MN0.8m,木竿PQ的长度为()A3mB3.2mC3.4mD3.6m【分析】直接利用同一时刻物体影子与实际高度成比例,进而得出答案【解析】连接AC,过点M作MFPF,同一时刻物体影子与实际高度成比例,21.5=PF1.8,解得:PF2.4,PQPF+FQPF+MN2.4+0.83.2(m),故选:B10(2018秋福田区校级期中)如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、DC上,AE、AF分别交BD于点M、N,连接CN、EN,且CNEN下列结论:ANEN,ANEN;BE+DFEF;MNEF=22;图中只有4对相似三角形,其中正确结论的个数是()A4B3C2D1【分析】正确,只要证明
8、NBANBC,ABE+ANE180即可解决问题;正确只要证明AFHAFE即可;正确如图2中,首先证明AMNAFE,可得NMEF=ANAE=22,即可解决问题;错误相似三角形不止4对相似三角形【解析】将ABE绕点A逆时针旋转90得到ADH四边形ABCD是中正方形,ABBCAD,BADABC90,ABDCBD45,在BNA和BNC中,BN=BNNBA=NBCBA=BC,NBANBC(SAS),ANCN,BANBCN,ENCN,ANEN,NECNCEBAN,NEC+BEN180,BAN+BEN180,ABC+ANE180,ANE90,ANNE,ANNE,故正确,3AEN45,345,14,2+42+
9、145,3FAH45,AFAF,AEAH,AFEAFH(SAS),EFFHDF+DHDF+BE,AFHAFE,故正确,MANNDF45,ANMDNF,AMNAFD,AMNAFE,MANEAF,AMNAFE,NMEF=ANAE=22,故正确,图中相似三角形有ANEBADBCD,ANMAEF,ABNFDN,BEMDAM等,故错误,故选:B二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填写在横线上11(2020闵行区一模)如果两个相似三角形的相似比为2:3,两个三角形的周长的和是100cm,那么较小的三角形的周长为40cm【分析】根据相似三角形周长比等于相似比列式计算【解析】设较小的
10、三角形的周长为xcm,则较大的三角形的周长为(100x)cm,两个相似三角形的相似比为2:3,两个相似三角形的周长比为2:3,x100-x=23,解得,x40,故答案为:4012(2019秋长春期末)如图,ADEABC,AD3,AE4,BE5,CA的长为12【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边的比值相等进而得出答案【解析】ADEABC,AEAC=ADAB,AD3,AE4,BE5,4AC=39,解得:AC12故答案为:1213(2020淮安区一模)如图,已知一组平行线abc,被直线m、n所截,交点分别为A、B、C和D、E、F,且AB3,BC4,EF4.8,则DE的长为3.6【分析】根据平行
11、线分线段成比例定理列出比例式,代入数据进行计算即可得到答案【解析】abc,DEEF=ABBC,即DE4.8=34,DE3.6,故答案为:3.614(2019秋昭平县期末)如图,四边形ABCD中,ABCD,B90,AB1,CD2,BC3,点P为BC边上一动点,若PAB与PCD是相似三角形,则BP的长为1或2【分析】根据平行线的性质得到CB90,求得CPBCBP,当ABCD=PBPC,当ABPC=PBCD,根据相似三角形的性质即可得到结论【解析】ABCD,B90,CB90,CPBCBP,当ABCD=PBPC,即12=PB3-PB时,ABPDCP,解得:PB1,当ABPC=PBCD,即13-PB=P
12、B2时,ABPPCD,解得:x11,x22,BP1或BP2,故答案为:1或215(2019秋镇海区校级期中)如图,两根竖直的电线杆AB长为12,CD长为4,AD交BC于点E,则点E到地面的距离EF的长是3【分析】根据相似三角形对应边成比例可得DFBD=EFAB,BFBD=EFCD,然后代入数据两式相加其解即可【解析】两根电线杆AB、CD都竖直,EF垂直于地面,ABDEFD,BCDBEF,DFBD=EFAB,BFBD=EFCD,DFBD+BFBD=EFCD+EFAB,即EF12+EF4=1,解得EF3故答案为:316(2019丹阳市模拟)如图,O为RtABC斜边中点,AB10,BC6,M,N在A
13、C边上,MONB,若OMN与OBC相似,则CM74或258【分析】分两种情形分别求解:如图1中,当MONOMN时如图2中,当MONONM时【解析】ACB90,AOOB,OCOAOB,BOCB,MONB,若OMN与OBC相似,有两种情形:如图1中,当MONOMN时,OMNB,OMC+OMN180,OMC+B180,MOB+BCM180,MOB90,AOMACB,AA,AOMACB,AMAB=OAAC,AM10=58,AM=254,CMACAM8-254=74如图2中,当MONONM时,BOCOMN,A+ACOACO+MOC,MOCA,MCOACO,OCMACO,OC2CMCA,25CM8,CM=
14、258,故答案为74或25817(2019秋南岸区期末)如图,在直角坐标系中,正方形ABCD的边BC在x轴上,其中点A的坐标为(1,2),正方形EFGH的边FG在x轴上,且H的坐标为(9,4),则正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是(3,0)或(113,43)【分析】连接HD并延长交x轴于点P,根据正方形的性质求出点D的坐标为(3,2),证明PCDPGH,根据相似三角形的性质求出OP,另一种情况,连接CE、DF交于点P,根据待定系数法分别求出直线DF解析式和直线CE解析式,求出两直线交点,得到答案【解析】连接HD并延长交x轴于点P,则点P为位似中心,四边形ABCD为正方形,点A的坐
15、标为(1,2),点D的坐标为(3,2),DCHG,PCDPGH,PCPG=CDHG,即OP+3OP+9=24,解得,OP3,正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是(3,0),连接CE、DF交于点P,由题意得C(3,0),E(5,4),D(3,2),F(5,0),求出直线DF解析式为:yx+5,直线CE解析式为:y2x6,y=-x+5y=2x-6,解得,x=113y=43,直线DF,CE的交点P为(113,43),所以正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是(113,43),故答案为:(3,0)或(113,43)18(2018桓台县一模)如图,ABCADE,BACDAE90,A
16、B6,AC8,F为DE中点,若点D在直线BC上运动,连接CF,则在点D运动过程中,线段CF的最小值是4【分析】连接CE,根据DCE90,F是DE的中点,可得CF=12DE,再根据当ADBC时,AD最短,此时DE最短,根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质,求得DE的最小值,即可得出CF的最小值【解析】如图,连接CE,ABCADE,ACDAEG,又AGEDGC,AGEDGC,AGDG=EGCG,又AGDEGC,AGDEGC,ADGECG,又RtADE中,ADG+AEG90,ECG+ACD90,即DCE90,F是DE的中点,CF=12DE,ABCADE,当ADBC时,AD最短,此时DE最短,当A
17、DBC时,AD=ABACBC=4.8,ADDE=ABBC,即4.8DE=610,DE8,CF=1284故答案为:4三、解答题(本大题共8小题,共66分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19(2017秋锡山区校级月考)(1)已知ba=34,求a-2ba+2b的值 (2)已知x2=y3=z4,求x-2y+3zx+y+z的值【分析】(1)依据比例的性质可得到2b1.5a,然后代入计算即可;(2)设x2=y3=z4=k(k0),则x2k,y3k,z4k,然后代入计算即可【解析】(1)ba=34,2b1.5a,a-2ba+2b=a-1.5aa+1.5a=-15;(2)设x2=y3=z4=k(k0
18、),则x2k,y3k,z4k,x-2y+3zx+y+z=2k-6k+12k2k+3k+4k=8920(2018洪雅县模拟)如图是916的边长为1的方格,在方格中有ABC(1)以O为位似中心作ABC的位似图形A1B1C1,使作出的边长A1B12AB,并保留作图痕迹;(2)将ABC绕点A顺时针方向旋转45,在旋转的过程中,ABC形状保持不变,面积逐渐增大,旋转到45时止,此时得到ACB的面积是原来ABC的面积的8倍,请你计算AC、CB的长,并作出旋转后的图形【分析】(1)以O为位似中心作ABC的位似图形A1B1C1,使作出的边长A1B12AB,据此进行作图即可;(2)根据ACB的面积是原来ABC的
19、面积的8倍,ABC绕点A顺时针方向旋转45,据此进行作图即可得到ACB,以及AC、CB的长【解析】(1)如图所示,A1B1C1即为所求;(2)如图所示,ABC即为所求;计算:假设ACxAC,则CBxCB,则有12ACCB=12x2ACCB812ACCB,x22,AC22,CB4221(2019秋大观区校级期中)如图,AD是ABC的中线,E是AD上一点,AE:AD1:4,BE的延长线交AC于F,求AF:CF的值【分析】作DHBF交AC于H,易证FHHC,根据平行线分线段成比例定理,由此即可解决问题【解析】作DHBF交AC于H,AD是ABC的中线,BDCD,DHBF,FHHC,AE:AD1:4,A
20、E:ED1:3,DHBF,AFFH=AEED=13,AF:FC1:622(2019惠城区校级一模)如图,在RtABC中,B90,BCAB,在BC边上取点D,使ABBD,构造正方形ABDE,DE交AC于点F,作EGAC交AC于点G,交BC于点H(1)求证:EFDH;(2)若AB6,DH2DF,求AC的长【分析】(1)利用AAS证明AFEEHD,再由全等三角形的性质可得结论;(2)DH2DF,EFDH及正方形的边长为6,求得DF和EF的长;再判定AEFCDF,由相似三角形的性质得比例式,求得DC的长,从而可得BC的长;最后在RtABC中,由勾股定理可求得AC的长【解析】(1)证明:在正方形ABDE
21、中,AEED,AEFEDH90DHE+GEF90EGACGEF+GFE90GFEDHE在AFE和EHD中AFE=EHDAEF=EDHAE=ED=90AFEEHD(AAS)EFDH;(2)DH2DF,EFDH设DFx,则EFDH2xAB6AEDE6x+2x6x2DF2,EF4在正方形ABDE中,AEBDAEFCDFDCAE=DFEFDC6=24DC3BCBD+DC6+39在RtABC中,由勾股定理得:AC=AB2+BC2=62+92=313AC的长为31323(2019城步县模拟)如图,ABC中,AB8厘米,AC16厘米,点P从A出发,以每秒2厘米的速度向B运动,点Q从C同时出发,以每秒3厘米的
22、速度向A运动,其中一个动点到端点时,另一个动点也相应停止运动,那么,当以A、P、Q为顶点的三角形与ABC相似时,运动时间是多少?【分析】首先设运动了ts,根据题意得:AP2tcm,CQ3tcm,然后分别从当APQABC与当APQACB时去分析求解即可求得答案【解析】设运动了ts,根据题意得:AP2tcm,CQ3tcm,则AQACCQ163t(cm),当APQABC时,APAB=AQAC,即2t8=16-3t16,解得:t=167;当APQACB时,APAC=AQAB,即2t16=16-3t8,解得:t4;故当以A、P、Q为顶点的三角形与ABC相似时,运动时间是:167s或4s24(2020宝安
23、区二模)如图,AB是O的直径,C为O上一点,作CEAB于点E,BE2OE,延长AB至点D,使得BDAB,P是弧AB(异于A,B)上一个动点,连接AC、PE(1)若AO3,求AC的长度;(2)求证:CD是O的切线;(3)点P在运动的过程中是否存在常数k,使得PEkPD,如果存在,求k的值,如果不存在,请说明理由【分析】(1)通过证明ACBAEC,可得ACAE=ABAC,即可求解;(2)连接OC,设OBOC3k,用k表示OC,CD,DO的长,由勾股定理逆定理可证OCD90,可证CD是O的切线;(3)通过证明EOPPOD,可得PEPD=OPOD=13,即可求解【解析】(1)AOBO3,BE2OE,O
24、E1,BE2,AB6,AE4,AB是直径,ACB90,CEAB,CEAACB90,又AA,ACBAEC,ACAE=ABAC,AC4=6ACAC26;(2)如图,连接OC,设OBOC3k,BE2OE,OEk,BE2k,CE=OC2-OE2=22k,DEBD+BEAB+BE8k,CD=CE2+DE2=62k,OC2+DC29k2+72k2,OD281k2,OC2+DC2OD2,OCD90,CD是O的切线;(3)连接OP,设OBOCOP3k,BE2OE,OEk,BE2k,OEOP=OPOD=13,EOPPOD,EOPPOD,PEPD=OPOD=13,PE=13PD,k=1325(2020武侯区模拟)
25、如图,已知AC为正方形ABCD的对角线,点P是平面内不与点A,B重合的任意一点,连接AP,将线段AP绕点P顺时针旋转90得到线段PE,连接AE,BP,CE(1)求证:APEABC;(2)当线段BP与CE相交时,设交点为M,求BPCE的值以及BMC的度数;(3)若正方形ABCD的边长为3,AP1,当点P,C,E在同一直线上时,求线段BP的长【分析】(1)先求出APEABC90,PAEPEAABC45,即可得出结论;(2)由(1)知,APEABC,得出AEAC=APAB,再判断出PABEAC,进而判断出PABEAC,即可得出结论;(3)先画出图形,利用勾股定理求出CP,再分两种情况,求出CE和CE
26、,借助(2)的结论,即可得出结论【解析】(1)AC是正方形ABCD的对角线,ABC90,BACBCA45,由旋转知,PAPE,APE90ABC,PAEPEA45BAC,APEABC;(2)在RtABC中,ABCB,AC=2AB,由(1)知,APEABC,AEAC=APAB,BACPAE45,PABEAC,PABEAC,BPCE=ABAC=AB2AB=22,PABEAC,ABPACE,BCE+CBMBCE+ABP+ABCBCE+ACE+ABCACB+ABC45+90135,BMC180(BCE+CBM)45;(3)如图,在RtABC中,ABBC3,AC32,点P,C,E在同一条线上,且APE90
27、,CP=AC2-AP2=17,CECPPE=17-1或CECP+PE=17+1,由(2)知,BPCE=22,BP=22CE=22(17-1)=34-22或BP=22CE=34+22;即:BP的长为34+22或34-2226(2020宁波)【基础巩固】(1)如图1,在ABC中,D为AB上一点,ACDB求证:AC2ADAB【尝试应用】(2)如图2,在ABCD中,E为BC上一点,F为CD延长线上一点,BFEA若BF4,BE3,求AD的长【拓展提高】(3)如图3,在菱形ABCD中,E是AB上一点,F是ABC内一点,EFAC,AC2EF,EDF=12BAD,AE2,DF5,求菱形ABCD的边长【分析】(
28、1)证明ADCACB,得出ADAC=ACAB,则可得出结论;(2)证明BFEBCF,得出比例线段BFBC=BEBF,则BF2BEBC,求出BC,则可求出AD(3)分别延长EF,DC相交于点G,证得四边形AEGC为平行四边形,得出ACEG,CGAE,EACG,证明EDFEGD,得出比例线段EDEG=EFDE,则DE=2EF,可求出DG,则答案可求出【解析】(1)证明:ACDB,AA,ADCACB,ADAC=ACAB,AC2ADAB(2)四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AC,又BFEA,BFEC,又FBECBF,BFEBCF,BFBC=BEBF,BF2BEBC,BC=BF2BE=423=163,AD=163(3)如图,分别延长EF,DC相交于点G,四边形ABCD是菱形,ABDC,BAC=12BAD,ACEF,四边形AEGC为平行四边形,ACEG,CGAE,EACG,EDF=12BAD,EDFBAC,EDFG,又DEFGED,EDFEGD,EDEG=EFDE,DE2EFEG,又EGAC2EF,DE22EF2,DE=2EF,又DGDF=DEEF,DG=2DF=52,DCDGCG52-2 第 24 页 / 共 24 页