1、初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题4.10第4章 图形的相似单元测试（培优卷）姓名：_ 班级：_ 得分：_注意事项：本试卷满分120分，试题共26题答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（2019秋海曙区期末）若a5=b8，则b-aa等于（）A35B53C85D58【分析】直接利用已知得出a=58b，进而代入原式求出答案【解析】a5=b8，a=58b，则b-aa=b-58b58b=35故选：A2（2019秋禅城区期末）已知两个
2、相似三角形的相似比为4：9，则这两个三角形的对应高的比为（）A2：3B4：9C16：81D9：4【分析】直接利用相似三角形的性质求解【解析】因为两个相似三角形的相似比为4：9，所以则这两个三角形的对应高的比为4：9故选：B3（2020拱墅区校级一模）如图，已知一组平行线abc，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB3，BC4，EF4.8，则DE（）A7.2B6.4C3.6D2.4【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案【解析】abc，DEEF=ABBC，即DE4.8=34，解得，DE3.6，故选：C4（2020营口）如图，在ABC中，DEAB，且CDB
3、D=32，则CECA的值为（）A35B23C45D32【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例，据此可得结论【解析】DEAB，CEAE=CDBD=32，CECA的值为35，故选：A5（2018秋象山县期末）如图，矩形ABCD矩形DEFC，且面积比为4：1，则AE：ED的值为（）A4：1B3：1C2：1D3：2【分析】由相似多边形的性质知AB：DE2：1，据此设AEx，DEa，则DCAB2a，根据面积比得出2a(x+a)2a2=41，整理可得答案【解析】矩形ABCD矩形DEFC，且面积比为4：1，AB：DE2：1，设AEx，DEa，DCAB2a，则2a(x+a)2a2=41，
4、整理，得：x3a，则xa=3，即AE：ED3：1，故选：B6（2019秋花都区期末）如图，点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，若OA：OA11：3，则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是（）A1：2B1：3C1：4D1：9【分析】由点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，OA：OA11：3，可得位似比为：1：3，根据相似图形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案【解析】点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，OA：OA11：3，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似比为：1：3，五边形ABCDE
5、和五边形A1B1C1D1E1的面积比是：1：9故选：D7在坐标系中，已知A（6，0），B（0，8），C（0，2），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与AOB相似，这样的直线一共可以作（）条A3B4C5D6【分析】AOB是直角三角形，且OAOB=34，要使COD与AOB相似，则OCOD=34或43，这样可以得到D点的坐标有四个，然后确定直线的条数【解析】若AOBCOD，则OAOB=OCOD=34，OD=83，则D（83，0）或（-83，0）若AOBDOC，则OAOB=ODOC=34，OD=32，则D（32，0）或（-32，0）所以可以作出四条直线故选：B8已知ABC中，
6、BAC90，用尺规过A作一条直线，使其将ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（）ABCD【分析】根据相似三角形的判定方法即可一一判断；【解析】A、由作图可知：CADB，可以推出CBAD，故CDA与ABD相似，故本选项不符合题意；B、由作图可知：ADBC，BAC90，故CADABD，故本选项不符合题意；C、由作图可知：ADBC，BAC90，故CADABD，故本选项不符合题意；D、无法判断CADABD，故本选项符合题意；故选：D9（2020春工业园区期末）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB2m，它的影子BC1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN1.8
7、m，MN0.8m，木竿PQ的长度为（）A3mB3.2mC3.4mD3.6m【分析】直接利用同一时刻物体影子与实际高度成比例，进而得出答案【解析】连接AC，过点M作MFPF，同一时刻物体影子与实际高度成比例，21.5=PF1.8，解得：PF2.4，PQPF+FQPF+MN2.4+0.83.2（m），故选：B10（2018秋福田区校级期中）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上，AE、AF分别交BD于点M、N，连接CN、EN，且CNEN下列结论：ANEN，ANEN；BE+DFEF；MNEF=22；图中只有4对相似三角形，其中正确结论的个数是（）A4B3C2D1【分析】正确，只要证明
8、NBANBC，ABE+ANE180即可解决问题；正确只要证明AFHAFE即可；正确如图2中，首先证明AMNAFE，可得NMEF=ANAE=22，即可解决问题；错误相似三角形不止4对相似三角形【解析】将ABE绕点A逆时针旋转90得到ADH四边形ABCD是中正方形，ABBCAD，BADABC90，ABDCBD45，在BNA和BNC中，BN=BNNBA=NBCBA=BC，NBANBC（SAS），ANCN，BANBCN，ENCN，ANEN，NECNCEBAN，NEC+BEN180，BAN+BEN180，ABC+ANE180，ANE90，ANNE，ANNE，故正确，3AEN45，345，14，2+42+
9、145，3FAH45，AFAF，AEAH，AFEAFH（SAS），EFFHDF+DHDF+BE，AFHAFE，故正确，MANNDF45，ANMDNF，AMNAFD，AMNAFE，MANEAF，AMNAFE，NMEF=ANAE=22，故正确，图中相似三角形有ANEBADBCD，ANMAEF，ABNFDN，BEMDAM等，故错误，故选：B二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2020闵行区一模）如果两个相似三角形的相似比为2：3，两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为40cm【分析】根据相似三角形周长比等于相似比列式计算【解析】设较小的
10、三角形的周长为xcm，则较大的三角形的周长为（100x）cm，两个相似三角形的相似比为2：3，两个相似三角形的周长比为2：3，x100-x=23，解得，x40，故答案为：4012（2019秋长春期末）如图，ADEABC，AD3，AE4，BE5，CA的长为12【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边的比值相等进而得出答案【解析】ADEABC，AEAC=ADAB，AD3，AE4，BE5，4AC=39，解得：AC12故答案为：1213（2020淮安区一模）如图，已知一组平行线abc，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB3，BC4，EF4.8，则DE的长为3.6【分析】根据平行
11、线分线段成比例定理列出比例式，代入数据进行计算即可得到答案【解析】abc，DEEF=ABBC，即DE4.8=34，DE3.6，故答案为：3.614（2019秋昭平县期末）如图，四边形ABCD中，ABCD，B90，AB1，CD2，BC3，点P为BC边上一动点，若PAB与PCD是相似三角形，则BP的长为1或2【分析】根据平行线的性质得到CB90，求得CPBCBP，当ABCD=PBPC，当ABPC=PBCD，根据相似三角形的性质即可得到结论【解析】ABCD，B90，CB90，CPBCBP，当ABCD=PBPC，即12=PB3-PB时，ABPDCP，解得：PB1，当ABPC=PBCD，即13-PB=P
12、B2时，ABPPCD，解得：x11，x22，BP1或BP2，故答案为：1或215（2019秋镇海区校级期中）如图，两根竖直的电线杆AB长为12，CD长为4，AD交BC于点E，则点E到地面的距离EF的长是3【分析】根据相似三角形对应边成比例可得DFBD=EFAB，BFBD=EFCD，然后代入数据两式相加其解即可【解析】两根电线杆AB、CD都竖直，EF垂直于地面，ABDEFD，BCDBEF，DFBD=EFAB，BFBD=EFCD，DFBD+BFBD=EFCD+EFAB，即EF12+EF4=1，解得EF3故答案为：316（2019丹阳市模拟）如图，O为RtABC斜边中点，AB10，BC6，M，N在A
13、C边上，MONB，若OMN与OBC相似，则CM74或258【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当MONOMN时如图2中，当MONONM时【解析】ACB90，AOOB，OCOAOB，BOCB，MONB，若OMN与OBC相似，有两种情形：如图1中，当MONOMN时，OMNB，OMC+OMN180，OMC+B180，MOB+BCM180，MOB90，AOMACB，AA，AOMACB，AMAB=OAAC，AM10=58，AM=254，CMACAM8-254=74如图2中，当MONONM时，BOCOMN，A+ACOACO+MOC，MOCA，MCOACO，OCMACO，OC2CMCA，25CM8，CM=
14、258，故答案为74或25817（2019秋南岸区期末）如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，其中点A的坐标为（1，2），正方形EFGH的边FG在x轴上，且H的坐标为（9，4），则正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是（3，0）或（113，43）【分析】连接HD并延长交x轴于点P，根据正方形的性质求出点D的坐标为（3，2），证明PCDPGH，根据相似三角形的性质求出OP，另一种情况，连接CE、DF交于点P，根据待定系数法分别求出直线DF解析式和直线CE解析式，求出两直线交点，得到答案【解析】连接HD并延长交x轴于点P，则点P为位似中心，四边形ABCD为正方形，点A的坐
15、标为（1，2），点D的坐标为（3，2），DCHG，PCDPGH，PCPG=CDHG，即OP+3OP+9=24，解得，OP3，正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是（3，0），连接CE、DF交于点P，由题意得C（3，0），E（5，4），D（3，2），F（5，0），求出直线DF解析式为：yx+5，直线CE解析式为：y2x6，y=-x+5y=2x-6，解得，x=113y=43，直线DF，CE的交点P为（113，43），所以正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是（113，43），故答案为：（3，0）或（113，43）18（2018桓台县一模）如图，ABCADE，BACDAE90，A
16、B6，AC8，F为DE中点，若点D在直线BC上运动，连接CF，则在点D运动过程中，线段CF的最小值是4【分析】连接CE，根据DCE90，F是DE的中点，可得CF=12DE，再根据当ADBC时，AD最短，此时DE最短，根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质，求得DE的最小值，即可得出CF的最小值【解析】如图，连接CE，ABCADE，ACDAEG，又AGEDGC，AGEDGC，AGDG=EGCG，又AGDEGC，AGDEGC，ADGECG，又RtADE中，ADG+AEG90，ECG+ACD90，即DCE90，F是DE的中点，CF=12DE，ABCADE，当ADBC时，AD最短，此时DE最短，当A
17、DBC时，AD=ABACBC=4.8，ADDE=ABBC，即4.8DE=610，DE8，CF=1284故答案为：4三、解答题（本大题共8小题，共66分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（2017秋锡山区校级月考）（1）已知ba=34，求a-2ba+2b的值 （2）已知x2=y3=z4，求x-2y+3zx+y+z的值【分析】（1）依据比例的性质可得到2b1.5a，然后代入计算即可；（2）设x2=y3=z4=k（k0），则x2k，y3k，z4k，然后代入计算即可【解析】（1）ba=34，2b1.5a，a-2ba+2b=a-1.5aa+1.5a=-15；（2）设x2=y3=z4=k（k0
18、），则x2k，y3k，z4k，x-2y+3zx+y+z=2k-6k+12k2k+3k+4k=8920（2018洪雅县模拟）如图是916的边长为1的方格，在方格中有ABC（1）以O为位似中心作ABC的位似图形A1B1C1，使作出的边长A1B12AB，并保留作图痕迹；（2）将ABC绕点A顺时针方向旋转45，在旋转的过程中，ABC形状保持不变，面积逐渐增大，旋转到45时止，此时得到ACB的面积是原来ABC的面积的8倍，请你计算AC、CB的长，并作出旋转后的图形【分析】（1）以O为位似中心作ABC的位似图形A1B1C1，使作出的边长A1B12AB，据此进行作图即可；（2）根据ACB的面积是原来ABC的
19、面积的8倍，ABC绕点A顺时针方向旋转45，据此进行作图即可得到ACB，以及AC、CB的长【解析】（1）如图所示，A1B1C1即为所求；（2）如图所示，ABC即为所求；计算：假设ACxAC，则CBxCB，则有12ACCB=12x2ACCB812ACCB，x22，AC22，CB4221（2019秋大观区校级期中）如图，AD是ABC的中线，E是AD上一点，AE：AD1：4，BE的延长线交AC于F，求AF：CF的值【分析】作DHBF交AC于H，易证FHHC，根据平行线分线段成比例定理，由此即可解决问题【解析】作DHBF交AC于H，AD是ABC的中线，BDCD，DHBF，FHHC，AE：AD1：4，A
20、E：ED1：3，DHBF，AFFH=AEED=13，AF：FC1：622（2019惠城区校级一模）如图，在RtABC中，B90，BCAB，在BC边上取点D，使ABBD，构造正方形ABDE，DE交AC于点F，作EGAC交AC于点G，交BC于点H（1）求证：EFDH；（2）若AB6，DH2DF，求AC的长【分析】（1）利用AAS证明AFEEHD，再由全等三角形的性质可得结论；（2）DH2DF，EFDH及正方形的边长为6，求得DF和EF的长；再判定AEFCDF，由相似三角形的性质得比例式，求得DC的长，从而可得BC的长；最后在RtABC中，由勾股定理可求得AC的长【解析】（1）证明：在正方形ABDE
21、中，AEED，AEFEDH90DHE+GEF90EGACGEF+GFE90GFEDHE在AFE和EHD中AFE=EHDAEF=EDHAE=ED=90AFEEHD（AAS）EFDH；（2）DH2DF，EFDH设DFx，则EFDH2xAB6AEDE6x+2x6x2DF2，EF4在正方形ABDE中，AEBDAEFCDFDCAE=DFEFDC6=24DC3BCBD+DC6+39在RtABC中，由勾股定理得：AC=AB2+BC2=62+92=313AC的长为31323（2019城步县模拟）如图，ABC中，AB8厘米，AC16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的
22、速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与ABC相似时，运动时间是多少？【分析】首先设运动了ts，根据题意得：AP2tcm，CQ3tcm，然后分别从当APQABC与当APQACB时去分析求解即可求得答案【解析】设运动了ts，根据题意得：AP2tcm，CQ3tcm，则AQACCQ163t（cm），当APQABC时，APAB=AQAC，即2t8=16-3t16，解得：t=167；当APQACB时，APAC=AQAB，即2t16=16-3t8，解得：t4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与ABC相似时，运动时间是：167s或4s24（2020宝安
23、区二模）如图，AB是O的直径，C为O上一点，作CEAB于点E，BE2OE，延长AB至点D，使得BDAB，P是弧AB（异于A，B）上一个动点，连接AC、PE（1）若AO3，求AC的长度；（2）求证：CD是O的切线；（3）点P在运动的过程中是否存在常数k，使得PEkPD，如果存在，求k的值，如果不存在，请说明理由【分析】（1）通过证明ACBAEC，可得ACAE=ABAC，即可求解；（2）连接OC，设OBOC3k，用k表示OC，CD，DO的长，由勾股定理逆定理可证OCD90，可证CD是O的切线；（3）通过证明EOPPOD，可得PEPD=OPOD=13，即可求解【解析】（1）AOBO3，BE2OE，O
24、E1，BE2，AB6，AE4，AB是直径，ACB90，CEAB，CEAACB90，又AA，ACBAEC，ACAE=ABAC，AC4=6ACAC26；（2）如图，连接OC，设OBOC3k，BE2OE，OEk，BE2k，CE=OC2-OE2=22k，DEBD+BEAB+BE8k，CD=CE2+DE2=62k，OC2+DC29k2+72k2，OD281k2，OC2+DC2OD2，OCD90，CD是O的切线；（3）连接OP，设OBOCOP3k，BE2OE，OEk，BE2k，OEOP=OPOD=13，EOPPOD，EOPPOD，PEPD=OPOD=13，PE=13PD，k=1325（2020武侯区模拟）
25、如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90得到线段PE，连接AE，BP，CE（1）求证：APEABC；（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求BPCE的值以及BMC的度数；（3）若正方形ABCD的边长为3，AP1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP的长【分析】（1）先求出APEABC90，PAEPEAABC45，即可得出结论；（2）由（1）知，APEABC，得出AEAC=APAB，再判断出PABEAC，进而判断出PABEAC，即可得出结论；（3）先画出图形，利用勾股定理求出CP，再分两种情况，求出CE和CE
26、，借助（2）的结论，即可得出结论【解析】（1）AC是正方形ABCD的对角线，ABC90，BACBCA45，由旋转知，PAPE，APE90ABC，PAEPEA45BAC，APEABC；（2）在RtABC中，ABCB，AC=2AB，由（1）知，APEABC，AEAC=APAB，BACPAE45，PABEAC，PABEAC，BPCE=ABAC=AB2AB=22，PABEAC，ABPACE，BCE+CBMBCE+ABP+ABCBCE+ACE+ABCACB+ABC45+90135，BMC180（BCE+CBM）45；（3）如图，在RtABC中，ABBC3，AC32，点P，C，E在同一条线上，且APE90
27、，CP=AC2-AP2=17，CECPPE=17-1或CECP+PE=17+1，由（2）知，BPCE=22，BP=22CE=22（17-1）=34-22或BP=22CE=34+22；即：BP的长为34+22或34-2226（2020宁波）【基础巩固】（1）如图1，在ABC中，D为AB上一点，ACDB求证：AC2ADAB【尝试应用】（2）如图2，在ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，BFEA若BF4，BE3，求AD的长【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是ABC内一点，EFAC，AC2EF，EDF=12BAD，AE2，DF5，求菱形ABCD的边长【分析】（
28、1）证明ADCACB，得出ADAC=ACAB，则可得出结论；（2）证明BFEBCF，得出比例线段BFBC=BEBF，则BF2BEBC，求出BC，则可求出AD（3）分别延长EF，DC相交于点G，证得四边形AEGC为平行四边形，得出ACEG，CGAE，EACG，证明EDFEGD，得出比例线段EDEG=EFDE，则DE=2EF，可求出DG，则答案可求出【解析】（1）证明：ACDB，AA，ADCACB，ADAC=ACAB，AC2ADAB（2）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AC，又BFEA，BFEC，又FBECBF，BFEBCF，BFBC=BEBF，BF2BEBC，BC=BF2BE=423=163，AD=163（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，四边形ABCD是菱形，ABDC，BAC=12BAD，ACEF，四边形AEGC为平行四边形，ACEG，CGAE，EACG，EDF=12BAD，EDFBAC，EDFG，又DEFGED，EDFEGD，EDEG=EFDE，DE2EFEG，又EGAC2EF，DE22EF2，DE=2EF，又DGDF=DEEF，DG=2DF=52，DCDGCG52-2 第 24 页 / 共 24 页