1、20222023学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学2023.05注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答字写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1.若复数满足，则在复平面内表示的点所在的象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知A，B为非空数集，则符合条件的B的个
2、数为A.1B.2C.3D.43.已经连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，都出现了正面向上的结果，第3次随机地抛掷这枚硬币，则其正面向上的概率为A. B. C. D.14.已知向量，的夹角为60，且，则A. B. C. D. 5.埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面与底面所成角的余弦值为，则侧面三角形的顶角的正切值为A.2B.3C. D. 6.已知，则A.-1B.0C.1D.27.设，则A. B. C. D. 8.已知等比数列的前项和为，则使得不等式成立的正整数的最大值为A.9B.10C.11D.12二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选
3、项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.在平面直角坐标系中，已知直线：，椭圆：，则下列说法正确的有A. 恒过点B.若过的焦点，则C.对任意实数，与总有两个互异公共点，则D.若，则一定存在实数，使得与有且只有一个公共点10.已知函数，则A. 是偶函数，也是周期函数B. 的最大值为C. 的图象关于直线对称D. 在上单调递增11.在正四棱柱中，已知，则下列说法正确的有A.异而直线与的距离为B.直线与平面所成的角的余弦值为C.若该正四棱柱的各顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为D.以A为球心，半径为2的球面与该正四棱柱表面的交线的总长度为12.已知函数的图象
4、是连续不间断的，函数的图象关于点对称，在区间上单调递增.若对任意恒成立，则下列选项中的可能取值有A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.某校1000名学生参加数学文化知识竞赛，每名学生的成绩，成绩不低于90分为优秀，依此估计优秀的学生人数为_（结果填整数）.附：若，则，.14.在平面直角坐标系中，已知点，将线段OA绕原点顺时针旋转得到线段OB，则点B的横坐标为_.15.某校数学兴趣小组在研究函数最值的过程中，获得如下研究思路：求函数的最大值时，可以在平面直角坐标系中把看成的图象与直线在相同横坐标处的“高度差”，借助“高度差”探究其最值.借鉴该小组的研究思路
5、，记在上的最大值为M，当M取最小值时，_，_.16.已知抛物线C：的焦点为F，过动点P的两条直线，均与C相切，设，的斜率分别为，若，则的最小值为_.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知等差数列的各项均为正数，.（1）求的前项和；（2）若数列满足，求的通项公式.18.（12分）某地区的疾控机构为了考察药物A对某疾病的预防效果，在该地区随机抽取96人，调查得到的统计数据如下表所示.患病未患病合计服用约物A103848未服用约物A222648合计326496（1）试判断：是否有99%以上的把握认为药物A对预防该疾病有效果?（2）已知治愈一位
6、服用药物A的该疾病患者需要2个疗程，治愈一位未服用药物A的该疾病患者需要3个疗程.从该地区随机抽取1人，调查其是否服用药物A、是否患该疾病，若未患病，则无需治疗，若患病，则对其进行治疗并治愈.求所需疗程数的数学期望.附：（其中），.19.（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求A；（2）若点D在边BC上，求的面积.20.（12分）如图，在三棱台中，平面平面，二面角的大小为45，.（1）求证：平面ABC；（2）求异而直线与所成角的余弦值.21.（12分）已知双曲线：的渐近线为，右焦点F到渐近线的距离为.设是双曲线：上的动点，过M的两条直线，分别平行于的两条渐近线，与分别交
7、于P，Q两点.（1）求的标准方程：（2）证明：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标.22.（12分）已知函数，.（1）若，求函数的单调区间；（2）若有且只有2个不同的零点，求的取值范围.20222023学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学参考答案一、选择题：本题共8小题。每小题5分，共40分.1.B 2.D 3.C 4.C 5.A 6.D 7.A 8.C二、选择题：本题共4小题。每小题5分。共20分.9.ACD 10.BD 11.ACD 12.BC三、填空题：本题共4小题。每小题5分，共20分.13.22，23（填其一） 14. 15.0， 16. 四、解答题：本题共6小题，共70分.1
8、7.解：（1）等差数列中，因为，所以，又因为等差数列的各项均为正数。所以，又因为，所以.所以.（2）由（1）得，因为，且，所以，所以.所以.所以.当时也符合.所以的通项公式为.18.略19.略20.解：（1）因为，平面平面ABC，平面平面，平面ABC，所以平面，又因为，平面.所以，所以是二面角的平面角，因为二面角的大小为45，所以.取AB中点O，连结，在梯形中，所以四边形是平行四边形，所以，从而在三角形中，所以，所以，即，所以.又因为，平面，所以平面.（2）以为坐标原点，OB为x轴，平面ABC内过平行于BC的直线为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，所以异面直线与所成角的余弦
9、值为.21.解：（1）因为渐近线方程为，所以，所以.又右焦点到渐近线的距离为，所以，得.又因为，所以，所以.所以双曲线的标准方程为.（2）设，过点M作与平行的直线分别与双曲线交于点P，由得，整理得，所以，由于，故，则，故，所以.同理可得.所以直线：恒过定点.22.解：（1）解：，恒成立，所以在递增.所以当，；，所以函数的单调减区间是，单调增区间是.（2），当时，由（1）知有且只有一个零点.当时，则在区间上单调递减，所以至多有一个零点.当时，又因为的图象在区间上连续不间断，所以，使得，即.令，所以在区间上单调递增，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.所以，所以无零点.令，当时，所以在区间上单调递减，所以，有，所以，则.当时，又因为的图象在区间上连续不间断，所以，使得，即.令，所以在区间上单调递增，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.所以.令.，又因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且的图象连续不间断，所以有且只有2个零点.综上，若函数有且只有2个零点，则实数的取值范围是.
