1、四川省泸县第四中学2019-2020学年高二数学下学期期末模拟考试试题 理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷选择题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为( ).A. -2B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式
2、的乘除运算化简复数，再由实部为0且虚部不为0列式求得值.【详解】为纯虚数，解得，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2.已知,则下列推理中正确的是 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：对于A，当时不成立；对于B，当时不成立；对于D，当均为负值时，不成立，对于C，因为在上单调递增，由，又因为，所以即，正确；综上可知，选C.考点：不等式的性质.
3、3.已知，则（ ）A. B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】先求导数，再代入求【详解】故选：C【点睛】本题考查导数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.4.已知双曲线的方程是 ，则其离心率为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题得，所以双曲线的离心率为，故选C.5.已知命题p：xR，；命题q：x0 ，使sin x0cos x0，则下列命题中为真命题的是()A. (p)qB. p(q)C. (p)(q)D. pq【答案】A【解析】【详解】命题p:xR,x+2是假命题，比如，sinx+cosx=sin(x+),当时，等号成立，故命题q为真命题，所以pq为真命题，故
4、选：A.6.已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据正太分布的对称性可知，由此可求得，进而求得的值.【详解】因为随机变量服从正态分布，所以，所以因此故应选C【点睛】本小题主要考查正太分布概率计算.有关正态分布计算的问题，主要根据的是对称性来解决，另外原理也有不少题目会涉及到.7.若直线垂直，则二项式的展开式中的系数为( )A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】根据两条直线垂直的条件列方程求得的值.然后利用二项式展开式的通项公式，求得的系数.【详解】由直线与垂直，可得，求得，则二项式的展开式的通项公式，令，求得，可得展开式中x的系
5、数为.故答案为B【点睛】本小题主要考查两条直线垂直的表示，考查二项式展开式中指定项的系数的求法，属于基础题.8.2020年高考强基计划中，北京大学给了我校10个推荐名额，现准备将这10个推荐名额分配给高三理科的6个班级，这6个班级每班至少要给一个名额，则关于分配方案的种数为（ ）A. 462B. 126C. 210D. 132【答案】B【解析】【分析】利用隔板法进行求解，即可得答案.【详解】将10个名额分为6份，即从9个分段中选择5个段分开，且不分顺序，共有种方案故选：B.【点睛】本题考查隔板法进行组合数计算，考查逻辑推理能力和运算求解能力.9.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼.
6、某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分两种情况讨论：第球投进和第球投不进，利用独立事件的概率公式可得出所求事件的概率.【详解】分以下两种情况讨论：（1）第球投进，其概率为，第球投进的概率为；（2）第球投不进，其概率为，第球投进的概率为.综上所述：第球投进的概率为，故选D.【点睛】本题考查概率的求法，考查独立事件概率乘法公式的应用，同时也考查对立事件概率公式的应用，解题时要注意对事件进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.10.已知
7、函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则的值是（ ）A. B. C. 或D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】根据为偶函数及可得，再由对称中心可得，结合函数的单调性可得的值.【详解】由是偶函数，得，即，所以对任意都成立，且，所以得依题设，所以解得，故.因为的图象关于点对称，.所以.又在区间上是单调函数，所以，故.故或.故选：C【点睛】一般地，我们研究的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心（也就是整体法），对于含参数的此类函数的单调性问题，我们可借助图象特征把参数的范围归结为周期的范围问
8、题，必要时需结合函数单调区间的一般形式来讨论（基本方法）.11.已知直线经过抛物线的焦点，与交于两点，若，则的值为（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】B【解析】试题分析：因为抛物线焦点为，则由题意，得又由，得，所以，由得，故选B考点：1、直线与抛物线位置关系；2、弦长公式12.设函数在上存在导数，对任意的有，且时，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：设,时，,所以既是增函数又是奇函数，,由已知,得,故选B.考点：1.导数的性质；2.函数的奇偶性；3.复合函数的性质.第II卷非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在
9、学校的春季运动会上，一个小组的5位学生的立定跳远的成绩如下：（单位：米），则这5位学生立定跳远成绩的中位数为_米.【答案】2.1【解析】【分析】将这5位学生的立定跳远成绩按从小到大的顺序排列，由中位数的定义即可求解【详解】将这5位学生的立定跳远成绩按从小到大的顺序排列为，故这5位学生立定跳远成绩的中位数为2.1米，故答案为2.1【点睛】本题考查中位数的定义，考查基本概念，是基础题14.曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】由题意可得切点，对求导可得，即为切线斜率，由此可求其切线方程.【详解】由，可得切点，其切线方程为即.故答案为：.【点睛】本题考查应用导数求切线方程，求出函数的导数
10、即可得到切线斜率，再根据点斜式即可求出切线方程，属于简单题.15.已知实数满足约束条件，则的取值范围是_【答案】【解析】【详解】画出不等式组表示的平面区域如图所示，由不等式组所表示的平面区域知：点到点的距离最大，故；点到直线的距离最小，即，所以的取值范围是点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义16.若函数满足对任意的，都有 成立，则称函数在区间上是“被约束的”.若函数在区间上是“被2约束的”，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据新定义把问题转化为不等式恒成立问题【详解】
11、函数在区间上是“被2约束的”，对任意的，不等式恒成立，即不等式恒成立，由，得，则，函数的对称轴是，由，而，的取值范围是故答案为【点睛】本题考查新定义问题，解题关键是明确新定义的含义本题中利用新定义把问题转化为对任意的，不等式恒成立，然后由二次函数的知识求解三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立（1）求在未来的连续4天
12、中，有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率；（2）用表示在未来4天里日销售量不低于100枝的天数，求随机变量的分布列和数学期望【答案】（1）;（2）见解析.【解析】试题分析：根据频率分布直方图求频率要注意小条形的面积代表频率，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件的概率，可根据4天中有2天发生的概率公式计算，根据二项分布列出频率分布列，计算数学期望.试题解析：（1）设日销量为，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件则，（2）日销售量不低于100枝的概率，则，于是，则分布列为01234【点睛】频率分布直方图、茎叶图、线性回归、独立性检验是高
13、考需要掌握的统计知识，概率分布问题注意一些常用的概率分布，如二项分布，超几何分布等，会计算概率，正确列出分布列，正确计算数学期望及方差.18.设函数，且是的极值点.（）求实数的值；（）求函数的单调区间.【答案】（）（）单调增区间是和；单调减区间是和.【解析】【分析】（）求导，根据是函数的极值点，由求解.（）由（）知，求导，再根据求增区间，求减区间.【详解】（）.因为是函数的极值点.所以，即，因此，经验证，当时，是函数的极值点.（）可知，.因为，当或，当或，所以的单调增区间是和；单调减区间是和.【点睛】本题主要考查导数与函数的极值，导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.如
14、图所示，直三棱柱的各棱长均相等，点为的中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）通过证明平面即可证得；（2）建立空间直角坐标系，利用向量求解.【详解】（1）设与交点为，连接，.由题可知四边形为正方形，所以，且为中点.又因，所以，所以.又因为，所以平面.因平面，所以.（2）取的中点，连接，在平面过点内作的垂线，如图所示，建立空间直角坐标系.设，则，.所以，.设平面的一个法向量为，则，令，则.由（1）可知平面的一个法向量为，则.由图可知二面角为锐角，所以其余弦值为.【点睛】此题考查通过线面垂直证明线线垂直，通过空间向量求解二面角的大小，关键在
15、于根据定理准确推导，计算求解.20.已知椭圆的离心率为，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为.（1）求椭圆E的方程；（2）若直线与椭圆E相交于A，B两点，设P为椭圆E上一动点，且满足（O为坐标原点）.当时，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由离心率及四边形的面积和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（2）将直线与椭圆联立求出两根之和及两根之积，可得.进而写出P的坐标，P在椭圆上求出m的范围，进而求出的表达式，由反比例函数的单调性求出它的最小值.【详解】解：（1）依题意得，.以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为，则，解得，.所以椭圆E的方程为.（2）设A，B两
16、点的坐标分别为，联立方程得，因为，即，所以.所以点，又点P在椭圆C上，所以有，化简得，所以，化简，因为，所以，因为，又，所以.令，则，当时，取得最小值，最小值为.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了求平面向量数量积的最小值问题，考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了数学运算能力.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在区间内有唯一的零点，证明：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）依题可知，若在区间内有唯一的零点，由（1）可知，且，于是： ， 由得，设g(x)lnx，(x(0，1)，求
17、出函数的导数，根据函数的单调性证明即可试题解析：（1），当时，在上单调递增 当时，设的两个根为，且 在单调递増，在单调递减.（2）依题可知，若在区间内有唯一的零点，由（1）可知，且. 于是： 由得，设，则，因此在上单调递减，又， 根据零点存在定理，故.点睛：本题考查了函数的单调性,零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，关键是利用零点的等式消去参数a得出关于的等式，通过构造函数的方法，零点存在性定理即可得出的范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，曲线
18、C的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）过点，倾斜角为的直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用，消去参数，将曲线C的参数方程化为普通方程，再运用 ，将曲线C的直角坐标方程化为极坐标方程；（2）根据条件求出直线l具有几何意义的参数方程，代入曲线C普通方程，利用韦达定理以及直线参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）因为曲线C的参数方程为，（为参数），所以曲线C的直角坐标方程为，即，将，代入上式得.（2）直线l的参数方程为，（t为参数），将代入，整理得，设点M，N所对应的参数分别为，则，因为，异号，所以.【点睛】本题考查参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程，考查直线参数方程几何意义应用，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）对，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】【详解】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集得原不等式解集，（2）先根据绝对值三角不等式得，再利用均值不等式证不等式.试题解析：解：（1）令当时，由，得，当时，由，得，不等式的解集为 （2），又，（当且仅当时取等），
