1、导数综合必刷题一、单选题1过曲线C:上一点作斜率为的直线,该直线与曲线C的另一交点为P,曲线C在点P处的切线交y轴于点N若的面积为,则()ABCD2以下使得函数单调递增的区间是()ABCD3已知偶函数的定义域为,其导函数为,当时,有成立,则关于的不等式的解集为()ABCD4已知函数对于任意的满足(其中是函数的导函数),则下列不等式成立的是()ABCD5若函数在上恰有两个不同的极值点,则实数的取值范围是()ABCD6已知函数在上恰有两个极值点,则的取值范围是()ABCD7若函数与函数有公切线,则实数的取值范围是()ABC D8设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为()AB
2、CD9已知函数的导函数为,对任意的实数都有,且,若在上有极值点,则实数的取值范围是()ABCD10设实数,若对任意的,不等于恒成立,则实数的取值范围是()ABCD11已知定义在,上的函数满足,且当x,1时,若方程有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是()A(,B(,C(,D(,12已知函数,若都有,则实数的取值范围为()ABCD13设函数,定义在上的连续函数使得是奇函数,当时,若存在,使得,则实数的取值范围为()ABCD14已知函数的定义域为,其导函数是.有,则关于x的不等式的解集为()ABCD15若不等式恒成立,则a的取值范围是()ABCD二、填空题16已知函数,则的最大值为_.17若函数
3、在R上是增函数.则实数a的最小值是_.18在处取得极值,则_.19已知函数,若、,使得,则实数的取值范围为_.20设函数,对任意正实数,不等式恒成立,则正数的取值范围是_.21已知关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围是_22已知函数有两个极值点,则实数m的取值范围为_.23设函数恰有两个极值点,则实数t的取值范围为_.24若函数在区间有三个不同的零点,则实数m的取值范围是_.25设函数,若存在唯一的整数使得,则实数m的取值范围是_.26已知关于的方程在上有两个不相等的实根,则实数的取值范围是_三、解答题27已知函数(1)讨论函数在区间上的单调性;(2)求函数的最值28已知函数,.(1)求函
4、数的极值;(2)当时,证明:在上恒成立.29已知函数(1)当时,求在区间上的最值;(2)当时,求的取值范围30已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)若函数在上有两个极值点,求实数的取值范围.1B【详解】设,切线方程为:,令,过P作x轴的垂线,垂足为M,梯形PNOM面积,即,显然是该方程的一个根,设,由题意可知:,所以,此时函数单调递增,故方程有唯一实根,即,故选:B2D【详解】解:由题意得,当或时,函数在区间,上都有极值点,故不单调;当时,不合题意;当时,函数单调递增,符合题意.故选:D.3A【详解】因为偶函数的定义域为,设,则,即也是偶函数.当时,根据题意,则在上是减函数,而函数为偶函数,
5、则在上是增函数.于是,所以.故选:A.4C【详解】设,则,则在单增,对A,化简得,故A错;对B,化简得,故B错;对C,化简得,故C正确;对D,化简得,故D错,故选:C5B【详解】由于,所以,要使在上恰有两个不同的极值点,则在上有两个不同的解,令,即二次函数在上有两个不同的解,所以,解得.故选:B6D【详解】,根据题意得在有2个变号零点,当时,显然不合题意,当时,方程等价于,令,令,因为,解得,可得在单调递减,在单调递增,又因为,要使与的图像有2个不同的交点,需要满足,解得,故选:D7B【详解】设公切线与函数切于点,切线的斜率为,则切线方程为,即设公切线与函数切于点,切线的斜率为,则切线方程为,
6、即所以有因为,所以,可得,即,由可得:,所以,令,则,设,则,所以在上为减函数,则,所以,所以实数的取值范围是,故选:B(1)设切点(2)求出在处的导数,即在点处的切线斜率;(3)构建关系解得;(4)由点斜式求得切线方程.8D【详解】解:令,在恒成立,在为增函数,故选:D.9C【详解】令,则,故,又,即,则,在上有极值点,在上有零点,且,则,即.故选:C10B【详解】因为,不等式成立,即,转化为恒成立,构造函数().所以,当,单调递增,所以不等式恒成立等价于恒成立,即恒成立,进而转化为恒成立.设,可得,当时,单调递增;当时,单调递减.所以当,函数取得最大值,所以,即实数的取值范围是故选:B11
7、B【详解】当时,当时,综上,当时,则在上单调递增,当时,则在上单调递减,有三个不同的实数根,的图像和直线有三个不同的交点,作的大致图像如图所示,当直线和的图像相切时,设切点为,可得,代入,可得,当过点时,由图知,实数的取值范围为.故选:B.【点睛】关键点点睛:将方程有三个不同的实数根转化为函数图象有三个不同交点问题,应用数形结合思想及导数研究函数图象的交点情况,求参数.12B【详解】因为,由得或,又因为 ,当时,单调递减,当时,单调递增,所以,所以,若都有,则转化为恒成立,对于恒成立,对于恒成立,设,当时,所以单调递减,所以单调递减,当时,当时,所以时,单调递增,时,单调递减,所以,所以.故选
8、:B13B【详解】由题设,等价于,当时,即,在上递减,又是奇函数,在上递减,又连续,在上递减,则,可得.又的定义域为,且,即在定义域上递增,题设条件为:存在使,即使,在上有解,则在上有零点,由,即递增,又,且时,只需,即即可.故选:B14B【详解】由题意,函数满足,令,则函数是定义域内的单调递减函数,由于,关于的不等式可化为,即,所以且,解得,不等式的解集为.故选:B15A【详解】由不等式恒成立,可知对x0恒成立.设,则该函数为上的增函数,故,故对任意的恒成立,设,则,当时,故为上的增函数,而当时,有,不合题意;当时,对任意的恒成立,当时,若,则,当时,故在为减函数,在为增函数,故,故 综上:
9、的取值范围是.故选:A16【详解】由,则,所以是函数的一个周期,当时,设,且,则当时,;当时,;当时,;所以在,上递增,在上递减,因为,且,所以,所以,所以的最大值为.故答案为:.17【详解】因为,所以,又函数在上是增函数,所以在上恒成立,即在上恒成立,令,则,所以当时,单调递增;当时,单调递减;又为使取得最大值,必有;所以当,即时,取得最大值.故答案为:.18【详解】解:由已知,因为在处取得极值,即,因为,即,故答案为:19【详解】因为,所以,因此在时,单调递减,所以有.当时,函数是单调递增函数,当时,即,因为、,使得,所以有:,令,因为,所以,因此函数 单调递增,所以有,因此不等式组的解集
10、为:,而,所以;当时,函数是单调递减函数,当时,即,因为、,使得,所以有:,令,因为,所以,因此函数 单调递减,所以有,因此不等式组 的解集为空集,综上所述:.故答案为:20【详解】,当时,单调递减,当时,单调递增,因此当时,函数有最大值,最大值为:,因此对任意正实数,有,因为,所以,因为,当时,函数是单调递增函数,所以,因此任意正实数,有,因此有,所以要想对任意正实数,不等式恒成立,只需恒成立,而,所以由,故答案为:21【详解】因为,所以,因此由,可得构造函数,当,单调递增,当时,单调递减,因此有,即,当且仅当时取等号,所以有,当且仅当存在,使得即可,设,即,因此当时,必存在一个零点,因此成
11、立,故,即实数的取值范围是故答案为:22【详解】的定义域为,.要使函数有两个极值点,只需有两个不同正根,并且在的两侧的单调性相反,在的两侧的单调性相反.由得,.令,要使函数有两个极值点,只需和有两个交点.,令得:x1;令得:0x1;所以在上单减,在上单增.当时,;当时,;作出和的图像如图,所以-1m0即实数m的取值范围为.故答案为:(1)确定零点的个数问题:可利用数形结合的办法判断交点个数,如果函数较为复杂,可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象;(2)方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题,可参变分离,转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数g(x)的方法,把问题转化为研究
12、构造的函数g(x)的零点问题;(3)利用导数硏究函数零点或方程根,通常有三种思路:利用最值或极值研究;利用数形结合思想研究;构造辅助函数硏究,23【详解】因为,所以,因为有两个极值点,所以恰有两个正根,即为一个根,则有唯一正根,且,即有唯一正根,且,设,则的图象与图象有一个交点,所以时,所以在为增函数,又,因为,所以所以只需且,即可满足题意,所以实数t的取值范围为.故答案为:24【详解】,当时,;当时,;在上单调递增,在上单调递减,又,显然,则在区间有三个不同的零点,则其大致图象如下图所示:,解得,即实数m的取值范围为.故答案为:.25【详解】由题意知:函数定义域为,且,当时,单调递增,显然不
13、止有一个整数使,不合题意;当时,要使,则,令,则,有,易知上,单调递增,上,单调递减,且;令,过定点,图象如下:要使存在唯一的整数使得,即的解集只有一个整数,则与的一个交点在、之间含,当过时,可得;当过时,可得;.故答案为:26【详解】解: 由,则方程,即,令,则由单调性可知,函数是递增的,故时,值域为.而转化为,当时,方程为,不成立,故,即转化为在有两个不相等的实根,即和,有两个不同的交点.,当和时,即在上递减,在上递减;当时,递增.另外,时,;时,;.结合函数,图象可知,当时,和,的图象有两个不同的交点.故答案为:.27(1)在区间和上单调递增,在和上单调递减(2)的最大值为1,最小值为(
14、1)由题意,令,解得或或,当时,;当时,在区间和上单调递增,在和上单调递减;(2)由,易知是以为周期的周期函数,故可取这一周期讨论最值,因为在区间和上单调递增,在和上单调递减,故在和取得极小值,在取得极大值,因为,所以的最大值为1,最小值为28(1)极小值为,无极大值;(2)证明见解析.(1),令,即,又,则,变化情况如下表,极小值极小值为,无极大值.(2)证明:,令,则,令,在上单调递增,即,则在单调递增,即在上恒成立.29(1),;(2).(1)先求出函数的导数,再判断单调性,可求出最值(2)先得到,时,再求出函数的最小值即得解【详解】解:(1)当时,当,时,在,上单调递增,(2)当,时,当时,在,上单调递增,的取值范围为,30(1)单调递增区间是,单调递减区间是;(2).【详解】解:(1)因为,所以.因为,当,即时,当,即时,所以在上单调递增,在上单调递减.所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是(2)由(1)知,因为,所以,所以,由题意在上有两个不等实根,即有两个实根且在每个实根两侧的符号不同.设,则,令,得,当时,所以在上单调递增;当时,所以在上单调递减.所以,所以当时,在上有两个实根.即的取值范围为.