1、导数综合必刷题一、单选题1过曲线C：上一点作斜率为的直线，该直线与曲线C的另一交点为P，曲线C在点P处的切线交y轴于点N若的面积为，则（）ABCD2以下使得函数单调递增的区间是（）ABCD3已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（）ABCD4已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）ABCD5若函数在上恰有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（）ABCD6已知函数在上恰有两个极值点，则的取值范围是（）ABCD7若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（）ABC D8设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）AB
2、CD9已知函数的导函数为，对任意的实数都有，且，若在上有极值点，则实数的取值范围是（）ABCD10设实数，若对任意的，不等于恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD11已知定义在，上的函数满足，且当x，1时，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A(，B(，C(，D(，12已知函数，若都有，则实数的取值范围为（）ABCD13设函数，定义在上的连续函数使得是奇函数，当时，若存在，使得，则实数的取值范围为（）ABCD14已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（）ABCD15若不等式恒成立，则a的取值范围是（）ABCD二、填空题16已知函数，则的最大值为_.17若函数
3、在R上是增函数.则实数a的最小值是_.18在处取得极值，则_.19已知函数，若、，使得，则实数的取值范围为_.20设函数，对任意正实数，不等式恒成立，则正数的取值范围是_.21已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_22已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为_.23设函数恰有两个极值点，则实数t的取值范围为_.24若函数在区间有三个不同的零点，则实数m的取值范围是_.25设函数，若存在唯一的整数使得，则实数m的取值范围是_.26已知关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是_三、解答题27已知函数(1)讨论函数在区间上的单调性；(2)求函数的最值28已知函数，.(1)求函
4、数的极值；(2)当时，证明：在上恒成立.29已知函数（1）当时，求在区间上的最值；（2）当时，求的取值范围30已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围.1B【详解】设，切线方程为：，令，过P作x轴的垂线，垂足为M，梯形PNOM面积，即，显然是该方程的一个根，设，由题意可知：，所以，此时函数单调递增，故方程有唯一实根，即，故选：B2D【详解】解：由题意得，当或时，函数在区间，上都有极值点，故不单调；当时，不合题意；当时，函数单调递增，符合题意.故选：D.3A【详解】因为偶函数的定义域为，设，则，即也是偶函数.当时，根据题意，则在上是减函数，而函数为偶函数，
5、则在上是增函数.于是，所以.故选：A.4C【详解】设，则，则在单增，对A，化简得，故A错；对B，化简得，故B错；对C，化简得，故C正确；对D，化简得，故D错，故选：C5B【详解】由于，所以，要使在上恰有两个不同的极值点，则在上有两个不同的解，令，即二次函数在上有两个不同的解，所以，解得.故选：B6D【详解】，根据题意得在有2个变号零点，当时，显然不合题意，当时，方程等价于，令，令，因为，解得，可得在单调递减，在单调递增，又因为，要使与的图像有2个不同的交点，需要满足，解得，故选：D7B【详解】设公切线与函数切于点，切线的斜率为，则切线方程为，即设公切线与函数切于点，切线的斜率为，则切线方程为，
6、即所以有因为，所以，可得，即，由可得：，所以，令，则，设，则，所以在上为减函数，则，所以，所以实数的取值范围是，故选：B（1）设切点（2）求出在处的导数，即在点处的切线斜率；（3）构建关系解得；（4）由点斜式求得切线方程.8D【详解】解：令，在恒成立，在为增函数，故选：D.9C【详解】令，则，故，又，即，则，在上有极值点，在上有零点，且，则，即.故选：C10B【详解】因为，不等式成立，即，转化为恒成立，构造函数（）.所以，当，单调递增，所以不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，进而转化为恒成立.设，可得，当时，单调递增；当时，单调递减.所以当，函数取得最大值，所以，即实数的取值范围是故选：B11
7、B【详解】当时，当时，综上，当时，则在上单调递增，当时，则在上单调递减，有三个不同的实数根，的图像和直线有三个不同的交点，作的大致图像如图所示，当直线和的图像相切时，设切点为，可得，代入，可得，当过点时，由图知，实数的取值范围为.故选：B.【点睛】关键点点睛：将方程有三个不同的实数根转化为函数图象有三个不同交点问题，应用数形结合思想及导数研究函数图象的交点情况，求参数.12B【详解】因为，由得或，又因为 ，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以，若都有，则转化为恒成立，对于恒成立，对于恒成立，设，当时，所以单调递减，所以单调递减，当时，当时，所以时，单调递增，时，单调递减，所以，所以.故选
8、：B13B【详解】由题设，等价于，当时，即，在上递减，又是奇函数，在上递减，又连续，在上递减，则，可得.又的定义域为，且，即在定义域上递增，题设条件为：存在使，即使，在上有解，则在上有零点，由，即递增，又，且时，只需，即即可.故选：B14B【详解】由题意，函数满足，令，则函数是定义域内的单调递减函数，由于，关于的不等式可化为，即，所以且，解得，不等式的解集为.故选：B15A【详解】由不等式恒成立，可知对x0恒成立.设，则该函数为上的增函数，故，故对任意的恒成立，设，则，当时，故为上的增函数，而当时，有，不合题意；当时，对任意的恒成立，当时，若，则，当时，故在为减函数，在为增函数，故，故 综上：
9、的取值范围是.故选：A16【详解】由，则，所以是函数的一个周期，当时，设，且，则当时，；当时，；当时，；所以在，上递增，在上递减，因为，且，所以，所以，所以的最大值为.故答案为：.17【详解】因为，所以，又函数在上是增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，则，所以当时，单调递增；当时，单调递减；又为使取得最大值，必有；所以当，即时，取得最大值.故答案为：.18【详解】解：由已知，因为在处取得极值，即，因为，即，故答案为：19【详解】因为，所以，因此在时，单调递减，所以有.当时，函数是单调递增函数，当时，即，因为、，使得，所以有：，令，因为，所以，因此函数 单调递增，所以有，因此不等式组的解集
10、为：，而，所以；当时，函数是单调递减函数，当时，即，因为、，使得，所以有：，令，因为，所以，因此函数 单调递减，所以有，因此不等式组 的解集为空集，综上所述：.故答案为：20【详解】，当时，单调递减，当时，单调递增，因此当时，函数有最大值，最大值为：，因此对任意正实数，有，因为，所以，因为，当时，函数是单调递增函数，所以，因此任意正实数，有，因此有，所以要想对任意正实数，不等式恒成立，只需恒成立，而，所以由，故答案为：21【详解】因为，所以，因此由，可得构造函数，当，单调递增，当时，单调递减，因此有，即，当且仅当时取等号，所以有，当且仅当存在，使得即可，设，即，因此当时，必存在一个零点，因此成
11、立，故，即实数的取值范围是故答案为：22【详解】的定义域为，.要使函数有两个极值点，只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧的单调性相反.由得，.令，要使函数有两个极值点，只需和有两个交点.，令得：x1；令得：0x1；所以在上单减，在上单增.当时，；当时，；作出和的图像如图，所以-1m0即实数m的取值范围为.故答案为：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数g（x）的方法，把问题转化为研究
12、构造的函数g（x）的零点问题；（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：利用最值或极值研究；利用数形结合思想研究；构造辅助函数硏究，23【详解】因为，所以，因为有两个极值点，所以恰有两个正根，即为一个根，则有唯一正根，且，即有唯一正根，且，设，则的图象与图象有一个交点，所以时，所以在为增函数，又，因为，所以所以只需且，即可满足题意，所以实数t的取值范围为.故答案为：24【详解】，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，又，显然，则在区间有三个不同的零点，则其大致图象如下图所示：，解得，即实数m的取值范围为.故答案为：.25【详解】由题意知：函数定义域为，且，当时，单调递增，显然不
13、止有一个整数使，不合题意；当时，要使，则，令，则，有，易知上，单调递增，上，单调递减，且；令，过定点，图象如下：要使存在唯一的整数使得，即的解集只有一个整数，则与的一个交点在、之间含，当过时，可得；当过时，可得；.故答案为：26【详解】解: 由，则方程，即，令，则由单调性可知，函数是递增的，故时，值域为.而转化为，当时，方程为，不成立，故，即转化为在有两个不相等的实根，即和，有两个不同的交点.，当和时，即在上递减，在上递减；当时，递增.另外，时，；时，；.结合函数，图象可知，当时，和，的图象有两个不同的交点.故答案为：.27(1)在区间和上单调递增，在和上单调递减(2)的最大值为1，最小值为(
14、1)由题意，令，解得或或，当时，；当时，在区间和上单调递增，在和上单调递减；(2)由，易知是以为周期的周期函数，故可取这一周期讨论最值，因为在区间和上单调递增，在和上单调递减，故在和取得极小值，在取得极大值，因为，所以的最大值为1，最小值为28(1)极小值为，无极大值；(2)证明见解析.(1)，令，即，又，则，变化情况如下表，极小值极小值为，无极大值.(2)证明：，令，则，令，在上单调递增，即，则在单调递增，即在上恒成立.29（1），；（2）.（1）先求出函数的导数，再判断单调性，可求出最值（2）先得到，时，再求出函数的最小值即得解【详解】解：（1）当时，当，时，在，上单调递增，（2）当，时，当时，在，上单调递增，的取值范围为，30（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）.【详解】解：（1）因为，所以.因为，当，即时，当，即时，所以在上单调递增，在上单调递减.所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是（2）由（1）知，因为，所以，所以，由题意在上有两个不等实根，即有两个实根且在每个实根两侧的符号不同.设，则，令，得，当时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减.所以，所以当时，在上有两个实根.即的取值范围为.