1、7.2三角函数概念7.2.1任意角的三角函数学 习 目 标核 心 素 养1理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值(重点、易错点)2会判断给定角的三角函数值的符号(重点)3会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围(难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和数学抽象核心素养在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？1任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，
2、设的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离是r(r0)，那么名称定义定义域正弦sin R余弦cos R正切tan sin ，cos ，tan 分别称为正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数思考1：对于确定的角，sin ，cos ，tan 的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？提示不会因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关思考2：若P(x，y)为角与单位圆的交点，sin ，cos ，tan 的值怎样表示？提示sin y，cos x，tan 2三角函数在各象限的符号3三角函数线(1)有向线段
3、：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段；有向直线：规定了正方向的直线；有向线段的数量：若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行，根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB(2)三角函数线1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)一定时，单位圆的正弦线一定()(2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等()(3)与有相同的正切线()提示结合三角函数线可知(1)(3)正确，(2)错误答案(1)(2)(3)2若角的终边经过点P，则sin ；cos ；tan 1由题意可知|OP|1，sin ；cos ；tan 13(1
4、)若在第三象限，则sin cos 0；(填“”或“”)(2)cos 3tan 40(填“”或“”)(1)(2)(1)在第三象限，sin 0，cos 0，sin cos 0(2)3，4，3是第二象限角，4是第三象限角cos 30cos 3tan 40，y0)根据直角三角形中锐角的邻边是斜边的一半，得x，由勾股定理得y21，y0)，则sin ，cos 当已知的终边上一点求的三角函数值时，用该方法更方便2已知特殊角，求三角函数值的方法(1)先设出角的终边与单位圆交点坐标，由锐角三角形的定义结合勾股定理求出该点的坐标(2)利用三角函数的定义，求出的三角函数值(此时P到原点的距离r1)3当角的终边上点的
5、坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论1已知角终边上一点P(x,3)(x0)，且cos x，求sin ，tan 解由题意知r，由三角函数定义得cos 又cos x，xx0，x1当x1时，P(1,3)，此时sin ，tan 3当x1时，P(1,3)，此时sin ，tan 32 当时，求sin ，cos ，tan 的值解当时，设的终边与单位圆的交点坐标为P(x，y)，(x0，y0)根据直角三角形中锐角的邻边是斜边的一半，得x，由勾股定理得y21，y0，tan 0，点P(cos ，tan )在第四象限(2)解180183270，sin 1830；2，tan 0；50对于已知角，
6、判断的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理.3判断下列式子的符号：(1)tan 108cos 305；(2)；(3)tan 120sin 269解(1)108是第二象限角，tan 1080305是第四象限角，cos 3050从而tan 108cos 3050(2)是第二象限角，是第四象限角，是第二象限角，cos 0，tan0，sin 0从而0(3)120是第二象限角，tan 1200，269是第三象限角，sin 2690从而tan 120sin 2690应用三角函数线解三角不等式探究问题1在单位圆中，满足sin 的正弦线有几条？试在
7、图中明确提示两条，如图所示，MP1与NP2都等于2满足sin 的角的范围是多少？试在单位圆中给予明确提示如图中阴影部分所示，所求角的取值范围为【例3】求函数f(x)ln的定义域思路点拨借助单位圆解不等式组便可解由题意，自变量x应满足不等式组即则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，1利用三角函数线解三角不等式的方法(1)正弦、余弦型不等式的解法对于sin xb，cos xa(sin xb，cos xa)，求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线yb或xa与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围(2)正切型不等式的解法对于tan xc，取点(1，c)，连
8、接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围2利用三角函数线求函数的定义域解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想4在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合：(1)sin ；(2)cos 解(1)作直线y交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图阴影部分)即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为(2)作直线x交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图阴影部分)即
9、为角终边的范围，故满足条件的角的集合为1本节课的重点是三角函数的定义、三角函数值的符号以及三角函数线的画法、利用三角函数线解决问题，难点是三角函数的定义及应用，对三角函数线概念的理解2本节课要重点掌握的规律方法(1)三角函数的定义及应用；(2)三角函数值符号的判断；(3)三角函数线的画法及应用3本节课的易错点(1)已知的终边所在的直线求的三角函数值时，易忽视对所在象限的讨论，造成漏解而发生解题错误(2)画三角函数线的位置以及表示方法1若sin 0，tan 0，则终边所在象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限C由sin 0可知的终边落在第三、四象限及y轴的负半轴上由tan 0可知
10、的终边落在第一、三象限内故同时满足sin 0，tan 0的角为第三象限角2(多选题)下列判断正确的是()A当时，sin cos 0ABC对于A：如图，作出角的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可知sin cos 0，cos 30，所以sin 2cos 3tan 40，所以D错误故选ABC3角的终边经过点P(b,4)且cos ，则b的值为3由三角函数的定义可知，解得b34已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值解角的终边在直线3x4y0上，在角的终边上任取一点P(4t，3t)(t0)，则x4t，y3t，r5|t|，当t0时，r5t，sin ，cos ，tan 当t0时，r5t，sin ，cos ，tan 综上可知，sin ，cos ，tan ；或sin ，cos ，tan
