1、4.2.2对数的运算性质学 习 目 标核 心 素 养1掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算(重点)2了解换底公式3能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数(难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和数学建模的核心素养回顾指数性质：(1)arasars(a0，r，sQ)(2)(ar)sars(a0，r，sQ)(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)那么对数有哪些性质？如loga(MN)？1符号表示如果a0，a1，M0，N0，则(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logalogaMlogaN；(3)logaMnnlogaM(nR)2文字表述(1)两正数的积
2、的对数等于这两个正数的对数的和；(2)两正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；(3)一个正数的n次幂的对数等于n倍的该数的对数3换底公式一般地，我们有logaN，(其中a0，a1，N0，c0，c1)，这个公式称为对数的换底公式4与换底公式有关的几个结论(1)loga blogb a1(a，b0且a，b1)；(2) loga b(a，b0且a，b1，m0)1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)积、商的对数可以直接化为对数的和、差()(2)logaxlogayloga(xy)()(3)loga(2)44loga(2)()提示根据对数的运算性质，只有正数积、商的对数才可以直接化为对数
3、的和、差，(1)错误，(2)错误，(3)中2不能作真数答案(1)(2)(3)2(1)log2 25log2 ；(2)log2 8(1)2(2)3(1)log2 25log2 log2 25log2 4log2 222log2 22(2)log2 8log2 233log2 233若lg 5a，lg 7b，用a，b表示log75log75对数运算性质的应用【例1】计算下列各式的值：(1)lg 2lg 5；(2)log5352loglog5 log5 14；(3)(1log6 3)2log6 2log6 18log6 4思路点拨根据对数的运算性质，先将式子转化为只含有一种或几种真数的形式再进行计算
4、解(1)lg 2lg 5lg (25)lg 101(2)原式log5 2log2log5 5312(3)原式(log6 6log6 3)2log6 2log6(232)log6 4log6 22(log6 2)2(log6 2)22log6 2log6 32log6 2log6 2log6 3log6(23)11对于同底的对数的化简常用的方法(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)2注意对数的性质的应用，如loga10，logaa1，aN3化简的式子中有多重对数符号时，应自内向外逐层化简求值1计算下列各式的值：(1)lg lg
5、 lg ；(2)lg 25lg 8lg 5lg 20(lg 2)2；(3)2log32log3log385解(1)法一：原式(5lg 22lg 7)lg 2(2lg 7lg 5)lg 2lg 72lg 2lg 7lg 5lg 2lg 5(lg 2lg 5)lg 10法二：原式lg lg 4lg 7lg lg ()lg (2)原式2lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(lg 2)22lg 10(lg 5lg 2)22(lg 10)2213(3)原式2log32(log332log39)3log3232log325log3223log3231【例2】化简：(1)log2(2882)；(
6、2)用lg 2和lg 3表示lg 24；(3)用loga x，loga y，loga z表示loga(xy2z)思路点拨将需表示式子中的真数用已知的式子中的真数表示出来解(1)log2(2882)log228(23)2log2(2832)log2 21414(2)lg 24lg (38)lg 3lg 8lg 33lg 2(3)loga(xy2z)loga xloga y2loga zloga x2loga yloga z1这类问题一般有两种处理方法一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算
7、法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值要特别注意loga(MN)loga Mloga N，loga(MN)loga Mloga N2对数的运算性质的推广：loga b(a，b0且a，b1，m0)2化简：(1)log (4582)；(2)log 27log 9；(3)用lg x，lg y，lg z表示lg 换底公式及其应用【例3】(1)已知3a5bc，且2，则c的值为(2)已知x，y，z为正数，3x4y6z,2xpy求p；证明：思路点拨用换底公式统一底数再求解(1)由3a5bc，得alog3c，blog5c，所以logc3，logc5又2，所以logc3logc52，即logc152
8、，c(2)解设3x4y6zk(k1)，则xlog3k，ylog4k，zlog6k，由2xpy，得2log3kplog4k，解得p2log344log32证明：logk6logk3logk2，而logk4logk2故1换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数，从而进行化简、计算或证明换底公式应用时，一般换成以10为底的常用对数，或以e为底的自然对数，但也应该结合已知条件来确定2换底公式推导出的两个恒等式：(1)loga N；(2)loga blogb a1，要注意熟练应用3计算：(log2 125log4 25log8 5)(log5 2log25 4log125 8)对数运算在实际问题中
9、的应用【例4】2019年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年，我国国民生产总值是2019年的2倍？(已知lg 20301 0，lg 30477 1，lg 1080033 4，精确到1年)思路点拨认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解解设经过x年，我国国民生产总值是2019年的2倍经过1年，总产值为a(18%)，经过2年，总产值为a(18%)2，经过x年，总产值为a(18%)x由题意得a(18%)x2a，即108x2，两边取常用对数，得lg 108xlg 2，则x9(年)答：约经过9年，国民生产总值是2019年的2倍解对数应用题的步骤4一种放射
10、性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的(结果保留1位有效数字)？(lg 20.301 0，lg 30.477 1)解假设经过x年，该物质的剩余量是原来的，根据题意得：0.75x，xlog0.75 4故估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的利用对数运算性质解简单的对数方程探究问题1对数的运算性质有哪些？提示loga (MN)loga Mloga N，loga loga Mloga N，loga b，loga Mnnloga M，loga b2解对数方程loga Mloga N应注意什么？提示【例5】已知lg xlg y2lg (x
11、2y)，求log的值思路点拨根据对数的运算性质得到x，y的关系式，解方程即可解lg xlg ylg (xy)2lg (x2y)lg (x2y)2，由题知，xy(x2y)2，即x25xy4y20，540，0，故1或4又当xy时，x2yy0，a1，x0，y0，则下列式子正确的是()Alogaxlogayloga(xy)Blogaxlogayloga(xy)ClogalogaxlogayDloga(xy)logaxlogayD由对数的运算性质知D正确2已知lg 2a，lg 7b，那么用a，b表示log8 98log8 983已知2m5n10，则1因为mlog2 10，nlog5 10，所以lg 2lg 5lg 1014若a，b是方程2(lg x)2lg x410的两个实根，求lg(ab)(logablogba)的值解原方程可化为：2(lg x)24lg x10设lg xt，即原方程为2t24t10所以t1t22，t1t2又因为a，b是方程2(lg x)2lg x410的两个实根，则lg at1，lg bt2，即lg alg b2, lg alg blg(ab)(logablogba)(lg alg b)(lg alg b)212，即lg(ab)(logablogba)12
