1、第2讲 两条直线的位置关系 1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2_；k1k2当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2_；当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.k1k212两条直线的交点的求法直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2 为常数)，则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20的解3三种距离【知识拓展】三种
2、常见的直线系方程 (1)平行于直线AxByC0的直线系方程：AxBy0(C)(2)垂直于直线AxByC0的直线系方程：BxAy0.(3)过两条已知直线A1xB1yC10，A2xB2yC20交点的直线系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括直线A2xB2yC20)【解析】解方程组所以直线 2xy10 与 yx1 的交点坐标为(9，8)，代入yax2，得8a(9)2，所以 a23.【答案】232(教材改编)已知点 A(3，2)和 B(1，4)到直线 axy10 的距离相等，则 a 的值为_【解 析】由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 可 知|3a21|a21|a41|a21，解得
3、 a4 或12.【答案】4 或123(教材改编)若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a_【解析】由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.【答案】0或1【答案】0或2 4(教材改编)已知点 M(3，2)，N(1，4)，P(x，1)，若MPN90，则 x_【解析】由题可知 MPNP，即 kMPkNP1，则213x411x1，即 x22x0，解得 x0 或 x2.题组二 常错题 索引：判断两条直线的位置关系忽视斜率是否存在；求两平行线间的距离忽视两直线的系数的对应关系；两直线平行解题时忽略检验两直线重合的情况；求距离的最小
4、值忽视对称性 5若直线(a2)x(1a)y30与直线(a1)x(2a3)y20互相垂直，则a_【解析】由两直线垂直的充要条件，得(a2)(a1)(1a)(2a3)0a21，即a1.【答案】1 6两条平行直线 3x4y30 和 mx8y50 之间的距离是_【解析】由直线 3x4y30 和 mx8y50 平行，得m6，则 6x8y503x4y520，则两条平行直线之间的距离 d35232（4）21110.【答案】1110【答案】1 7若直线 l1：xy10 与直线 l2：xa2ya0 平行，则实数 a_【解析】直线 l1 的斜率 k11，直线 l2 的斜率 k21a2.l1l2，a21，a1 或
5、a1(此时 l1 与 l2 重合，舍去)8点 P 为 x 轴上的一点，A(1，1)，B(3，4)，则|PA|PB|的最小值是_【解析】点 A(1，1)关于 x 轴的对称点为 A(1，1)，则|PA|PB|的最小值是线段 AB 的长，即为 29.【答案】29考点一 平行与垂直问题【例1】(2019金华十校模拟)“直线axy0与直线xay1平行”是“a1”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】由直线axy0与xay1平行，得a21，即a1，所以“直线axy0与xay1平行”是“a1”的必要不充分条件【答案】B【反思归纳】跟踪训练1(1)“m3”是“
6、直线l1：2(m1)x(m3)y75m0与直线l2：(m3)x2y50垂直”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(2)(2019宁夏模拟)若直线l1：x2my10与l2：(3m1)xmy10平行，则实数m的值为_【解析】(1)由 l1l2，得 2(m1)(m3)2(m3)0，m3 或 m2，m3 是 l1l2 的充分不必要条件(2)因为直线 l1：x2my10 与 l2：(3m1)xmy10平行，则斜率相等或者斜率不存在，12m3m1m或者 m0，m16或 0.【答案】(1)A(2)0 或16考点二 交点与距离问题【例2】(1)求经过两条直线l1：x
7、y40和l2：xy20的交点，且与直线2xy10垂直的直线方程为_(2)直线l过点P(1，2)且到点A(2，3)和点B(4，5)的距离相等，则直线l的方程为_【解析】l1与l2的交点坐标为(1，3)设与直线2xy10垂直的直线方程为x2yc0，则123c0，c7.所求直线方程为x2y70.(2)法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知|2k3k2|k21|4k5k2|k21，即|3k1|3k3|，k13，直线 l 的方程为 y213(x1)，即 x3y50.当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，也符合题意 法二：当 ABl 时，有 k
8、kAB13，直线 l 的方程为 y213(x1)，即 x3y50.当 l 过 AB 中点时，AB 的中点为(1，4)，直线 l 的方程为 x1.故所求直线 l 的方程为 x3y50 或 x1.【答案】(1)x2y70(2)x3y50 或 x1【反思归纳】跟踪训练 2(1)(2019河北省“五个一名校联盟”质检)若直线 l1：xay60 与 l2：(a2)x3y2a0 平行，则 l1 与 l2间的距离为()A.2 B.8 23C.3D.8 33(2)已知点 P(4，a)到直线 4x3y10 的距离不大于 3，则a 的取值范围为_【解 析】(1)因 为 l1 l2，所 以1a2 a3 62a，所
9、以解得 a1，所以 l1：xy60，l2：xy230，所以 l1 与 l2 之间的距离 d62328 23，故选 B.(2)由题意得，点 P 到直线的距离为|443a1|5|153a|5.|153a|53，即|153a|15，解得 0a10，所以 a 的取值范围是0，10【答案】(1)B(2)0，10考点三 对称问题 角度1 点关于点的对称【例3】过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，求直线l的方程【解析】设l1与l的交点为A(a，82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a，2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得
10、a4，即点A(4，0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x4y40.角度2 点关于线的对称【例4】若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重 合，点(7，3)与 点(m，n)重 合，则 m n _【解析】由题可知纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线 y2x3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的中垂线，于是【答案】345角度3 直线关于直线的对称【例5】直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是()Ax2y30 Bx2y30 Cx2y10 Dx2y10【解析】设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于xy20的对称点为P(x0，y0)，由点P(x
11、0，y0)在直线2xy30上，则2(y2)(x2)30，即x2y30.【答案】A 角度4 对称问题与物理光学中的对称思想【例6】在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P.若光线QR经过ABC的重心，则AP等于()A2 B1C.83D.43【解析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示 则 A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)设ABC 的重心为 D，则 D 点坐标为43，43.设 P 点坐标为(m，0)，则 P 点关于 y 轴的对称点 P1 为(m，0)，因为直线 BC 方程为 xy40，所以 P 点
12、关于 BC 的对称点 P2 为(4，4m)，根据光线反射原理，P1，P2 均在 QR 所在直线上，kP1DkP2D，即4343m434m434，解得 m43或 m0.当 m0 时，P 点与 A 点重合，故舍去m43.【答案】D【例7】已知直线l：x2y80和两点A(2，0)，B(2，4)(1)在直线l上求一点P，使|PA|PB|最小(2)在直线l上求一点P，使|PB|PA|最大【解析】(1)设 A 关于直线 l 的对称点为 A(m，n)，则故 A(2，8)P 为直线 l 上的一点，则|PA|PB|PA|PB|AB|，当且仅当 B，P，A三点共线时，|PA|PB|取得最小值，为|AB|，点P 即是直线 AB 与直线 l 的交点，解故所求的点 P 的坐标为(2，3)【反思归纳】课时作业
