1、第8课时对数(3) 教学过程一、 问题情境问题1不是常用对数和自然对数的对数如何运算?问题2能否通过转化,将一般对数化为常用对数或自然对数?二、 数学建构探究:以具体对数log35为例,如何将它转化为以10为底的对数呢?设t=log35,则3t=5.两边取常用对数,得lg3t=lg5,即tlg3=lg5,所以t=,故log35=.问题3对于一般的对数logaN,如何将它转化为以其他的数为底的对数呢?记p=logaN,则ap=N.两边同时取以c为底的对数(c0, c1):logcap=logcN,得plogca=logcN,所以p=,即logaN=.这个公式称为对数的换底公式.推论: logba
2、logax=logbx(a0且a1, b0且b1, x0); logbalogab=1(a0且a1, b0且b1); lobm=logab(a0且a1, b0, m, nR, n0).三、 数学运用【例1】(教材P77例7)求log89log332的值.(见学生用书课堂本P47)处理建议引导学生尽量将不同底的对数化为同底的对数,然后直接运用性质进行计算.规范板书解log89log332=.【例2】已知log189=a, 18b=5,用含有a, b的式子表示log3645.(见学生用书课堂本P47)处理建议已知对数和幂的底数都是18,所以先将所要求的对数化为与已知对数同底再求解.规范板书解由已知
3、得b=log185,所以log182=1-a.log3645=.变式已知log1227=a,试用a表示log616.处理建议引导学生利用换底公式处理底数不同这一情形.规范板书解 log1227=a, (3-a)lg3=2alg2, lg3=. lg616=.题后反思分析两个式子的差异,利用换底公式可减少运算量,从而达到目的.【例3】求证:logxylogyz=logxz.(见学生用书课堂本P48)处理建议(1)注意到等式右边是以x为底数的对数,故将logyz化成以x为底的对数;(2)化成常用对数.规范板书证法一logxylogyz=logxy=logxz.证法二logxylogyz=logxz
4、.题后反思在具体解题的过程中,不仅能正用换底公式,还要能逆用换底公式,如=logxz就是换底公式的逆用.【例4】(教材P77例8)如图,2000年我国国内生产总值(GDP)为89442亿元.如果我国GDP年均增长7.8%,那么按照这个增长速度,在2000年的基础上,经过多少年以后,我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标?(见学生用书课堂本P48)19982002年我国GDP数据图(例4)规范板书解假设经过x年实现GDP比2000年翻两番的目标.根据题意,得89442(1+7.8%)x=894424,即1.078x=4,故x=log1.0784=18.5.答:约经过19年以后,我国GDP才能
5、实现比2000年翻两番的目标.变式(教材P62例9)在本章第3.1.2节的开头问题中,已知测得出土的古莲子中14C的残余量占原来的87.9%,试推算古莲子的生活年代.规范板书解根据本章第3.1.2节的讨论可以知道,经过x年后的残余量是y=0.999879x.由y=87.9%=0.879可知0.879=0.999879x,即xlg0.999879=lg0.879,从而x=1066,所以古莲子约是1066年前的遗物.回到本节开始提出的问题,用计算器计算,得log0.840.5=4.结论是:约经过4年以后,物质的剩留量是原来的一半.*【例5】设x, y, z为非零实数,且3x=4y=6z,求证:-=
6、.处理建议由于条件中提供了相等的三个幂值,故可设其为k,这样x, y, z都可用k表示出来,从而证明x, y, z满足的等式.另外,注重指数式与对数式的互化.规范板书证法一设3x=4y=6z=k,则有x=log3k, y=log4k, z=log6k,所以-=-=logk6-logk3=logk2.又=logk4=logk2,所以-=.证法二对3x=4y=6z取常用对数,得lg3x=lg4y=lg6z, xlg3=ylg4=zlg6,=log46,=log43.于是-=log46-log43=log42=,所以-=.证法三 6=23, lg6=lg2+lg3.由已知得xlg3=ylg4=zlg
7、6=k0, lg3=, lg2=, lg6=,则有+=,所以-=.题后反思本题证法一、证法三通过引入参数k,将x, y, z或lg2, lg3, lg6用同一参数k表示是解题的关键;证法二通过对已知等式取对数这一等价变形,将等式转化为x, y, z之间的比例关系,然后对照结论进行变换.上述证法中,对数的运算性质与换底公式的熟练掌握是解题的基础.变式已知x0, y0, z0,且2x=3y=5z,试比较, , 的大小关系.规范板书解因为x0, y0, z0,设2x=3y=5z=k,则k1, lgk0. x=, y=, z=,=, =, =. =, =, . lglg0,故.四、 课堂练习1. 设log34log48log8m=log416,则实数m=9.2. 计算:(1) +=1;(2) =.3. 计算:(1) log23log34log45log1516=4;(2) log2log3log5=-12.4. 若log53=a, log54=b,则log2512=.(用a, b表示)五、 课堂小结本节课主要学习了对数的换底公式,利用对数的换底公式将“底数化异为同”是解决对数问题的基本方法,它在求值和恒等变形中起着重要作用,在解题过程中应注意:(1) 针对具体问题,选择好底数;(2) 对数的换底公式与对数的运算法则应结合使用;(3) 对数的换底公式的正用与逆用应结合使用.
