1、第三节三角函数的图象与性质1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x0,2图象的五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)余弦函数ycos x，x0,2图象的五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1,11,1R单调性递增区间：kZ，递减区间：kZ递增区间：2k，2kkZ，递减区间：2k，2kkZ递增区间(kZ)奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(k，0)kZ对称中心kZ对称中心kZ对称轴xk(kZ)对称轴xk(kZ)周期性221(思考辨析)判断下列结论的正误(正
2、确的打“”，错误的打“”)(1)常数函数f(x)a是周期函数，它没有最小正周期()(2)函数ysin x的图象关于点(k，0)(kZ)中心对称()(3)正切函数ytan x在定义域内是增函数()(4)ysin |x|是偶函数()答案(1)(2)(3)(4)2函数f(x)cos的图象关于()A原点对称By轴对称C直线x对称D直线x对称A函数f(x)cossin 2x是奇函数，则图象关于原点对称，故选A.3函数ytan 2x的定义域是()A.B.C.D.D由2xk，kZ，得x，kZ，ytan 2x的定义域为.4(2017绍兴模拟(一)函数ysin，x2，2的单调递增区间是()A.B.和C.D.C令
3、zx，函数ysin z的单调递增区间为(kZ)，由2kx2k得4kx4k，而x2，2，故其单调递增区间是，故选C.5(教材改编)函数f(x)42cos x的最小值是_，取得最小值时，x的取值集合为_2x|x6k，kZf(x)min422，此时，x2k(kZ)，x6k(kZ)，所以x的取值集合为x|x6k，kZ三角函数的定义域与值域(1)函数f(x)cos 2x6cos的最大值为()A4B5C6D7(2)函数ylg(sin 2x)的定义域为_. 【导学号：51062103】(1)B(2)(1)f(x)cos 2x6coscos 2x6sin x12sin2x6sin x22，又sin x1,1，
4、当sin x1时，f(x)取得最大值5.故选B.(2)由得3x或0x，函数ylg(sin 2x)的定义域为.规律方法1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解2求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解(2)化一法：把所给三角函数化为yAsin(x)k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域(3)换元法：把sin x，cos x，sin xcos x或sin xcos x换成t，转化为二次函数求解变式训练1(1)已知函数y2cos x的定义域为，值域为a，b，则ba的值是()A2B3C
5、.2D2(2)求函数ycos2xsin x的最大值与最小值(1)Bx，cos x，故y2cos x的值域为2,1，ba3.(2)令tsin x，|x|，t，3分yt2t12，当t时，ymax，当t时，ymin，7分函数ycos2xsin x的最大值为，最小值为.12分三角函数的单调性(1)(2017杭州学军中学)已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A.B.C.D(0,2(2)函数f(x)sin的单调减区间为_(1)A(2)(kZ)(1)由x得x，由题意知，所以解得.(2)由已知函数为ysin，欲求函数的单调减区间，只需求ysin的单调增区间即可由2k2x2k，kZ，得kx
6、k，kZ.故所求函数的单调减区间为(kZ)规律方法1.求三角函数单调区间的两种方法(1)求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”(2)求形如yAsin(x)(0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解若0，应先用诱导公式化x的系数为正数，以防止把单调性弄错2已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解变式训练2(1)函数f(x)tan的单调递增区间是_(2)若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则_. 【导学号：51062104】(1)(kZ)(2)(1)由k2xk(kZ)，得x
7、(kZ)(2)f(x)sin x(0)过原点，当0x，即0x时，ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数由f(x)sin x(0)在上单调递增，在上单调递减知，.三角函数的奇偶性、周期性、对称性角度1奇偶性与周期性的判断(1)在函数：ycos|2x|，y|cos x|，ycos2x，ytan中，最小正周期为的所有函数为()ABCD(2)函数y12sin2是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数(1)C(2)A(1)ycos|2x|cos 2x，T.由图象知，函数的周期T.T.T.综上可知，最小正周期为的所有函数为.(2)y1
8、2sin2cos 2sin 2x，所以f(x)是最小正周期为的奇函数角度2求三角函数的对称轴、对称中心(2017金华十校3月联考)已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为4，且对任意xR，都有f(x)f成立，则f(x)图象的一个对称中心的坐标是()A.B.C.D.A由f(x)sin (x)的最小正周期为4，得.因为f(x)f恒成立，所以f(x)maxf，即2k(kZ)，2k(kZ)，由|，得，故f(x)sin.令xk(kZ)，得x2k(kZ)，故f(x)图象的对称中心为(kZ)，当k0时，f(x)图象的一个对称中心的坐标为，故选A.角度3三角函数对称性的应用(1)如果函数y3cos(2x)的
9、图象关于点中心对称，那么|的最小值为()A.B.C.D.(2)已知函数f(x)sin xacos x的图象关于直线x对称，则实数a的值为()ABC.D.(1)A(2)B(1)由题意得3cos3cos3cos0，k，kZ，k，kZ，取k0，得|的最小值为.(2)由x是f(x)图象的对称轴，可得f(0)f，即sin 0acos 0sinacos，解得a.规律方法1.对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断2求三角函数周期的方法：(1)利用周期函数的定
10、义(2)利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.(3)借助函数的图象思想与方法1讨论三角函数性质，应先把函数式化成yAsin(x)(0)的形式，再用换元法令tx，将其转化为研究ysin t的性质2求三角函数值域(最值)的常用方法：(1)将函数变形化为yAsin(x)k的形式，逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)(2)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求二次函数在区间上的值域(最值)问题3若f(x)Asin(x)(A0，0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是
11、k(kZ)易错与防范1闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响2求yAsin(x)(A0)的单调区间，要注意的正负，只有当0时，才能将“x”整体代入相应单调区间3利用换元法求三角函数最值时，注意cos x(或sin x)的有界性4正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上；正切函数的图象只是中心对称图形课时分层训练(十七)三角函数的图象与性质A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1函数y的定义域为()A.B.(kZ)C.(kZ)DRC由cos x0，得cos x，2kx2k，kZ.2已知函数f(x)sin(
12、0)的最小正周期为，则f()A1B.C1DA由题设知，所以2，f(x)sin，所以fsinsin 1.3下列函数中，最小正周期为的奇函数是()Aysin Bycos Cysin 2xcos 2xDysin xcos xBA项，ysin cos 2x，最小正周期为，且为偶函数，不符合题意；B项，ycos sin 2x，最小正周期为，且为奇函数，符合题意；C项，ysin 2xcos 2xsin ，最小正周期为，为非奇非偶函数，不符合题意；D项，ysin xcos xsin ，最小正周期为2，为非奇非偶函数，不符合题意4若函数ycos(N*)图象的一个对称中心是，则的最小值为() 【导学号：5106
13、2105】A1B2 C4D8B由题意知k(kZ)6k2(kZ)，又N*，min2，故选B.5(2017台州二次适应性测试)若函数f(x)sincos x(0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为，则f(x)的一个单调递增区间为()A.B.C.D.A依题意得f(x)sin xcos xsin的图象相邻两个对称中心之间的距离为，于是有T2，2，f(x)sin.当2k2x2k，即kxk，kZ时，f(x)sin单调递增因此结合各选项知f(x)sin的一个单调递增区间为，故选A.二、填空题6函数f(x)sin(2x)的单调增区间是_(kZ)由f(x)sin(2x)sin 2x,2k2x2k得kxk(kZ)
14、7已知函数f(x)2sin(x)，对于任意x都有ff，则f的值为_. 【导学号：51062106】2或2ff，x是函数f(x)2sin(x)的一条对称轴，f2.8函数ytan的图象与x轴交点的坐标是_，kZ由2xk(kZ)得，x(kZ)，函数ytan的图象与x轴交点的坐标是，kZ.三、解答题9已知函数f(x)2sin xcos xcos 2x(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)求f(x)的单调递增区间. 【导学号：51062107】解(1)因为f(x)2sin xcos xcos 2xsin 2xcos 2xsin，所以f(x)的最小正周期T.4分依题意，得，解得1.7分(2)由(1)知
15、f(x)sin.函数ysin x的单调递增区间为(kZ).10分由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以f(x)的单调递增区间为(kZ).14分10已知函数f(x)(sin xcos x)2cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)因为f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2x1sin 2xcos 2xsin1，3分所以函数f(x)的最小正周期为T.7分(2)由(1)的计算结果知，f(x)sin1.10分当x时，2x，由正弦函数ysin x在上的图象知，当2x，即x时，f(x)取最大值1；12分当2x，即x时，f(x)取
16、最小值0.综上，f(x)在上的最大值为1，最小值为0.15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017台州二次质量预测)将函数f(x)cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)，则g(x)具有性质()A最大值为1，图象关于直线x对称B在上单调递减，为奇函数C在上单调递增，为偶函数D周期为，图象关于点对称B由题意得函数g(x)cossin 2x，易知其为奇函数，由2k2x2k，kZ得kxk，kZ，所以函数g(x)sin 2x的单调递减区间为，kZ，所以函数g(x)sin 2x在上单调递减，故选B.2设f(x)sin 3xcos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|a，则实数a的取值范
17、围是_. 【导学号：51062108】2，)f(x)sin 3xcos 3x2sin2,2又|f(x)|a恒成立，a|f(x)|max，a2.3已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为.(1)求当f(x)为偶函数时的值；(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间解f(x)的最小正周期为，则T，2，f(x)sin(2x).2分(1)当f(x)为偶函数时，f(x)f(x)，sin(2x)sin(2x)，将上式展开整理得sin 2xcos 0，由已知上式对xR都成立，cos 0.0，.7分(2)f(x)的图象过点时，sin，即sin.10分又0，f(x)sin.13分令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，f(x)的单调递增区间为，kZ.15分
