1、32.2函数模型的应用举例内容标准学科素养1.会利用给定的函数模型解决实际问题2.能够建立确定性函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问题.提升数学运算培养数学建模授课提示：对应学生用书第64页基础认识知识点函数模型的应用(1)某商场销售一批优质衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件于是商场经理决定每件衬衫降价15元那么经理的决定正确吗？提示：正确(2)我们已学过的函数有哪些？提示：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数 知识梳理几种常用的函数模型：一次函
2、数模型：ykxb(k，b为常数，k0)；反比例函数模型：yb，(k，b为常数，k0)；二次函数模型：yax2bxc(a，b，c为常数，a0)；指数型函数模型：yabxc(a，b，c为常数，b0且b1，a0)；对数型函数模型：yalogbxc(a，b，c为常数，b0且b1，a0)；幂函数模型：yaxc(a，c为常数，a0)自我检测某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为yalog2(x1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到()A300只B400只C600只 D700只解析：将x1，y100代
3、入yalog2(x1)得，100alog2(11)，解得a100.所以x7时，y100log2(71)300.答案：A授课提示：对应学生用书第65页探究一二次函数模型例1在经济学中，函数f(x)的边际函数定义为M(x)f(x1)f(x)，利润函数P(x)的边际利润函数定义为M1(x)P(x1)P(x)，某公司最多生产100台报警系统装置，生产x台的收入函数为R(x)3 000x20x2(单位：元)其成本函数为C(x)500x4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差(1)求利润函数P(x)及边际利润函数M1(x)(2)利润函数P(x)与边际利润函数M1(x)是否具有相等的最大值？(3)你认为
4、本题中边际利润函数M1(x)取最大值的实际意义是什么？解析(1)P(x)R(x)C(x)(3 000x20x2)(500x4 000)20x22 500x4 000(1x100，xN)M1(x)P(x1)P(x)2 48040x，(1x100，xN)(2)P(x)20274 125当x62或63时，P(x)min74 120又M1(x)是减函数，当x1时M1(x)max2 440故P(x)与M1(x)不具有相等的最大值(3)边际利润函数M1(x)当x1时取最大值，说明生产第2台与生产第1台的总利润差最大，即第2台报警系统利润最大，M1(x)是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润相比
5、较，利润在减少方法技巧利用二次函数模型解决问题的方法：在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题跟踪探究1.某工厂生产一种机器的固定成本为5 000元，且每生产100部，需要增加投入2 500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入的函数为H(x)500xx2，其中x是产品销售出的数量(0x500)(1)若x为年产量，y表示利润，求yf(x)的解析式；(2)当年产量为何值时，工厂的年利润最大？其最大值是多少？(3)
6、当年产量为何值时，工厂有盈利？(已知4.65)解析：(1)当0x500时，产品全部售出，f(x)500xx2(5 00025x)，即f(x)x2475x5 000，当x500时，产品只能售出500台，f(x)5005005002(5 00025x)，即，f(x)25x120 000.(2)当0x500时，f(x)(x475)2107 812.5，当x500时，f(x)120 00025x5 000，475xx25 000，整理得x2950x10 0000，解得10x940，市场需求量为每年500部，10x500，故当年产量超过10部后，工厂有盈利探究二分段函数模型的应用例2国庆期间，某旅行社组
7、团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解析(1)设旅行团人数为x，飞机票价格为y元，则y即y(2)设旅行社获利S元，则S即S因为S900x15 000在区间(0,30上，当x30时，S取最大值12 000.又S10(x60)221 000在区间(30,75上，当x60时，S取最大值21 000.故当x60时，旅行社可获得最大利润
8、方法技巧1.分段函数模型的应用分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间对每一个区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式需注意分段函数的最值是各区间上所得最值的最大者或最小者2应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集(3)分段函数的值域求法为：先求各段函数值的范围，再求各段函数值范围的并集. 跟踪探究2.某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(g)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据测定
9、：每毫升血液中含药量不少于4 g时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解析：(1)依题意得y(2)设第二次服药在第一次服药后t1小时，则t14，解得t14，因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有t2(t24)4，解得t29小时，故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t3小时(t310)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和(t34)(t39)4，解得t313.5小时，故第四次服药应在20：30.探究三指数、对数
10、型函数模型例3声强级Y(单位：分贝)由公式Y10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)(1)平时常人交谈时的声强约为106W/m2，求其声强级(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，能听到的最低声强为多少？(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5107W/m2，这两位同学是否会影响其他同学休息？解析(1)当I106W/m2时，代入得Y10lg 10lg 10660，即声强级为60分贝(2)当Y0时，即为10lg0，所以1，I1012 W/m2，则能听到的最低声强为1012 W/m2.(3)当声强I5107W/m2时，声强级Y10lg10lg(51
11、05)5010lg 550，所以这两位同学会影响其他同学休息方法技巧指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示通常可以表示为 yN(1p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式跟踪探究3.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 20.301 0，lg 30.477 1)解析：设过滤n次能使产品达到市场要求，依题意，得n，即n.则n(lg 2lg 3)(1lg 2)，故n7.4，考虑到nN，故n8，即至少要过滤8次才能达到市场要求授课提示：对应学生用书第66页课后小结1解应用题要弄清题意，从实际出发，引进数学符号，建立数学模型，列出函数关系，分析函数的性质，从而解决问题解决问题时要注意自变量的取值范围2(1)解应用题的一般思路可表示如下：(2)解应用题的一般步骤：读：阅读并理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一步是基础；建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键；解：求解数学模型，得到数学结论，既要充分注意数学模型中字母的实际意义，也要注意巧思妙解，优化过程；答：将数学结论还原为实际问题的结论
