1、南昌十中 20202021 学年上学期高三年级第二次月考理科数学试题一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每小题所给的四个选项中，只有一项 是正确的请将你认为正确选项的序号填涂在答题卡上相应位置1已知集合440Ax xx，22416By xy，则 AB （）A3,3 B2 2,C4,4D2“复数()abi abR，为纯虚数”是“0a”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知,x y 满足约束条件 34yxyxxy，则下列目标函数中，在点(3,1)M处取得最小值的是（）A2zxyB2zxy C12zxy D2zxy4若 na是公比为q 的
2、等比数列，记nS 为 na的前n 项和，则下列说法正确的是（）A若 na是递增数列，则10a，0q B若 na是递减数列，则10a，01qC若0q，则4652SSSD若1nnba，则 nb是等比数列5已知3,2，2sin21 cos2，则 sincossincos（）A13B 13C3D 36设 f x，g x 分别为定义在,上的奇函数和偶函数，且 2cosxf xg xex（e为自然对数的底数），则函数 yf xg x的图象大致为（）ABCD7已知椭圆 C：22213xya 的右焦点为 F，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点 P 满足OFFP，则 C 的方程为（）A221123xyB221
3、83xyC22163xyD22143xy8如图所示，在 ABC中，ADDB，点 F 在线段CD 上，设 ABa，ACb，AFxayb，则 14xy的最小值为（）A9B4 2C64 2D32 29已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，当0 x 时，22f xx.若对任意的1,2x，f xaf x成立，则实数a 的取值范围是（）A0,2B 0,2,6C2,0D 2,06,10已知大于 1 的三个实数a，b，c 满足2(lg)2lg lglg lg0aabbc，则a，b，c 的大小关系不可能是（）AabcBabcCbcaDbac11在数列na 中,1a=1,2a=2,33 a,1)1(13nn
4、naa(Nn),数列na 的前 n 项和为nS,下列结论正确的是（）A数列na 为等差数列B1118 aC317 aD14631 S12如图，在边长为 2 的正方形123APP P 中，线段 BC 的端点 B，C 分别在边12PP，23P P 上滑动，且22P BPCx现将1APB，3APC 分别沿 AB，AC 折起，使点1P，3P 重合，重合后记为点 P，得到三棱锥 PABC则以下结论正确的个数为（）AP 平面 PBC；x 的取值范围为(0,42 2)；当 B，C 分别为12PP，23P P 的中点时，三棱锥 PABC的外接球的表面积为6；三棱锥 PABC体积的最大值为31 A1B2C3D4
5、二填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请将答案填写在答题卡上相应位置13120212022)1ln(dxxxx14已知命题0:0,px，0112xa，若 p 为真命题，则实数 a 的取值范围为15已知直线0AxByC（其中222ABC，0C）与圆226xy交于点 M，N，O 是坐标原点，则OM MN _16已知函数1)2()(xekkxxfx，若不等式0)(xf的解集中恰有三个整数，则实数k的取值范围为三解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17-21 题为必考题，第 22、23 题为选考题，考生可根据要求任选一题作答，若两题都做答，则以第 22 题计分（
6、一）必考题：共 60 分17（12 分）已知nS 是公差不为零的等差数列 na的前n 项和，36S，3a 是1a 与9a 的等比中项（1）求数列 na的通项公式；（2）设数列*24(1)41nnnabnNn，求数列 nb的前2n 项和为2nT18（12 分）ABC中，D 为 BC 上的点，AD 平分BAC，5AD，8AC，ACD的面积为10 3（1）求CD 的长；（2）求sin B 19（12 分）在如图的空间几何体中，四边形 BCED 为直角梯形，90DBC，/BCDE，2BCDE，2ABAC，3CEAE，且平面 BCED 平面 ABC（1）证明：AC 平面 ABD；（2）求二面角 BADE
7、的正弦值20（12 分）已知椭圆2222:10 xyCabab经过点3,1，离心率为63（1）求椭圆C方程；（2）过点4,0M的直线交椭圆于 A、B 两点，若 AMMB，在线段 AB 上取点 D，使ADDB，求证：点 D 在定直线上EDCBA21（12 分）已知函数 2xfxaRxae（1）讨论函数 f x 的零点个数；（2）设1x，2x 是函数 f x 的两个零点，证明：122xx（二）选考题：共 10 分请考生在 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做第 22 题记分22 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中，曲线C 的方程为2220 xxy以原点O 为极
8、点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3R（1）写出曲线C 的极坐标方程，并求出直线l 与曲线C 的交点 M，N 的极坐标；（2）设 P 是椭圆2214xy 上的动点，求PMN面积的最大值23选修 4-5：不等式选讲 已知函数 0,0f xxaxb ab（1）当1ab时，解不等式 2f xx；（2）若 f x 的值域为3,，证明：224281abba b南昌十中 20202021 学年上学期高三年级第二次月考理科数学参考答案一选择题：BABD BADC DDDC二填空题：130；14,2；15 10；16)43,5423ee三解答题：共 70 分17（12 分）解：（1）
9、2193a aa，1ad，3336Sad，11ad.所以数列 na是以 1 为首项和公差的等差数列，故nan，*nN.6 分（2）由（1）知241111412121nnnnbnnn ，所以11111111113355723212121nTnnnn 1121n 12 分18（12 分）解：（1）因为5AD，8AC，ACD面积为10 3，15 8sin10 32DAC，3sin2DAC，0180BAC ，AD 平分BAC，090DAC ，60DAC，在 ACD中，由余弦定理，得222222cos582 5 8 cos6049CDADACACADDAC ，7CD.6 分（2）在 ACD 中，由余弦定
10、理，得2225781cos2 5 77ADC，214 3sin1 cos1497ADCADC，因为 AD 平分BAC，所以60BADCAD，sinsin60sincos60cossin60BADCADCADC 4 31133 372721412 分19（12 分）解：（1）证明：分别取 AB AC 中点 F G，连接GE GF 和 DF，则/GFBC，12GFBC，/DEBC，12DEBC，故/GFDE，且GFDE，四边形GFDE 为平行四边形，故/GEDF.CEAE，GEAC，又/GEDF，则 DFAC.平面 BCED 平面 ABC，平面 BCED平面 ABCBC，DBBC，DB 平面 AB
11、C，又 AC 平面 ABC，DBAC，又 DFAC，BDDFD，,BD DF 平面 ABD，AC 平面 ABD；6 分（2）由（1）知 AC 平面 ABD ACAB，2ABAC，2 2BC，2DE，取 BC 中点O 连接OE 和OA，四边形 BCED 为直角梯形，则/OEDB，DB 平面 ABC，OE 平面 ABC，故OEBC，OEOA，ABAC，OABC，以OA为 x 轴，OB 为 y 轴，OE 为 z 轴建立空间直角坐标系，3CEAE，1OE ，则 0,2,1D，0,0,1E，2,0,0A，0,2,0C，2,2,1AD ，2,0,1AE ，2,2,0CA，则2,2,0CA 为平面 ABD的
12、一个法向量，设平面 ADE 的一个法向量为,nx y z，则00n ADn AE ，即22020 xyzxz，令1x，则2z，0y，则1,0,2n，yxzOGFEDCBA设二面角 BADE为，则6coscos,6n CAn CAnCA，故二面角 BADE的正弦值为306.12 分20（12 分）解：（1）由题意得2222263311caabcab，解得26a，22b.所以椭圆C 的方程是22162xy；4 分（2）设直线 AB 的方程为4xmy，11,A x y、22,B xy、00,D x y，由224162xmyxy，得2238100mymy.222840305mmm，则有12283myy
13、m，122103y ym，由 AMMB，得12yy，由 ADDB，可得12012011xxxyyy，21212112012122102442233444811213mmymyxxmymy ymxymyymy，212112012122102225381213yyyy ymyymyymmy，综上，点 D 在定直线32x 上.12 分21（12 分）解：（1）由 0f x 得2xax e，令 2xg xx e，函数 f x 的零点个数即直线 ya与曲线 2xg xx e的交点个数，21xxxgxex ex e，由 0gx 得1x ；由 0gx 得1x，函数 g x 在,1单调递增，函数 g x 在1
14、,单调递减.当1x 时，函数 g x 有最大值，max1gxge，又当2x 时，0g x，20g，当2x 时，0g x，当ae时，函数 f x 没有零点；当 ae或0a 时，函数 f x 有一个零点；当0ae时，函数 f x 有两个零点.5 分（2）证法一：函数 f x 的零点即直线 ya与曲线 2xg xx e的交点横坐标，由（1）知0ae，不妨设121xx，得221x，函数 2xg xx e在,1上单调递增，在1,上单调递减，函数 G xg xa 在,1单调递减，在1,上单调递增；要证122xx，只需证122xx，只需证 122G xGx，又 10G x，即要证220Gx由2ag x得22
15、222222 2(221)xxGxgxax exex ，构造函数 22xxxexhex，则 21xxhxxee，当1x 时，2xxee，0hx，即函数 h x 在1,上单调递减，10h xh，即当21x 时，220Gx，即122xx.12 分证法二：由（1）知0a，不妨设121xx，则221x设 21F xg xgxx，22xxF xx exe，由于 21xxxeFex，又易知2 xxyee是减函数，当1x 时，有20 xxeeee ，又10 x ，得 0Fx，所以 F x 在1,递减，10F xF，2g xgx.由21x 得 222g xgx，又 21g xag x，122g xgx，由 2
16、xg xx e在,1上单调递增，又121xx，221x，122xx，即122xx.12 分22解：（1）曲线C 的极方程：2cos，联立2cos3得，(0,0)M，(1,)3N.5 分（2）易知1MN ，直线l：3yx.设点(2cos,sin)P，则点 P 到直线l 的距离2 3cossin2d，13sin()124PMNSMN d（其中 tan2 3）.PMN面积的最大值为 134.10 分23解：（1）当1ab时，不等式为112xxx，当1x 时，不等式化为2223xxx，此时不等式无解；当 11x 时，不等式化为220 xx，故01x；当1x 时，不等式化为222xxx，故12x综上可知，不等式的解集为02xx5 分（2）f xxaxbab，当且仅当 xa与 xb异号时，f x 取得最小值ab，f x 的值域为3,，且0a，0b，故3ab2211222abab（当且仅当12ab 时取等号），2218ab又121aba b（当且仅当12ab 时取等号），41a b，411a b ，224(1)91aba b，224281abba b10 分
