1、广东省佛山市第二中学2020届高三数学下学期第七次月考试题 理（含解析）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简集合，求得，根据交集定义，即可求得答案【详解】又故故选：A.【点睛】本题主要考查了集合运算，解题关键是掌握集合运算的基础知识和一元二次不等式的解法，考查了分析能力和计算能力,属于基础题.2.已知实数，满足，其中是虚数单位，若，则在复平面内，复
2、数所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义，即可求得答案.【详解】实数满足其中是虚数单位，可得解得.,则在复平面内,复数所对应的点位于第二象限故选：B.【点睛】本题主要考查了根据复数相等求参数和复数的几何意义，解题关键是掌握复数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.3.已知实数，满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先利用指数函数的性质得到，的范围，然后逐一考查所给的不等式，即可求得答案.【详解】由指数函数的单调性, 可得：对于A，由，可得，故A错误；对于B
3、，由，可得，故B正确；对于C，由，可得，故C错误；对于D，根据图象可得，由，与的大小无法确定，故D错误；故选：B【点睛】本题主要考查了根据已知不等式判断所给不等式是否正常，解题关键是掌握不等式比较大小方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4.已知非零向量，满足 ，且 ，则与的夹角为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用向量数量积定义以及向量垂直表示化简条件，解得夹角.【详解】由已知可得，设的夹角为，则有，又因为，所以，故选C.【点睛】本题考查向量数量积定义以及向量垂直表示，考查基本求解能力.5.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据二倍
4、角公式求得，再利用诱导公式求得结果.【详解】 本题正确选项：【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.6.若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】要求函数的最大值，可先分别探究函数与的单调性，从而得到的最大值【详解】易知上单调递增，上单调递增.因为，所以的取值范围为.【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.7.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作
5、钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】要求的值，需将角用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题已知角有，正五边形内角，已知三角函数值有，所以，从而【详解】由题可知，且，则.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力.8.已知函数，则下列说法错误的是（ ）A. 函数的周期为B. 函数的一条对称轴为C. 函数在上单调递
6、增D. 函数的最小值为【答案】C【解析】【分析】化简，可得，逐项判断，即可求得答案.【详解】对于A，函数的周期为： ,故A说法正确；对于B，时，是函数的一条对称轴，故B说法正确；对于C，当时，此时不单调，故C说法错误；对于D， 函数的最小值为，故D说法正确，故选：C.【点睛】解题关键是掌握三角函数的基础知识和正弦函数图象特征，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.9.已知函数的图象的一部分如下图所示，若在上是单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根已知条件求得，可得，根据在上是单调递增函数，即可求得答案.【详解】由图可知，函数的周期为则，可得又
7、，故可得则又在函数图象上，则故故函数的单调增区间为可得即又在上是单调递增函数，解得 故选:C.【点睛】本题主要考查了根据三角函数图象求解函数表达式和根据三角函数在指定区间上单调性求参数范围，解题关键是掌握三角形函数图象的基础知识，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.10.在正方体中，分别为，的中点，现有下面三个结论：为正三角形；异面直线与所成角为；平面.其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】计算出三边是否相等；平移与，使得它们的平行线交于一点，解三角形求角的大小；探究平面内是否有与平行的直线【详解】易证的三边相等，所以它是正三角形.平面截正方体所得截面
8、为正六边形，且该截面与的交点为的中点，易证，从而平面.取的中点，连接，则，易知，所以与所成角不可能是，从而异面直线与所成角不是.故正确.【点睛】本题考查点、线、面的位置关系，考查直观想象与数学运算的核心素养.11.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与的渐近线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】直线l:y=-x+a与渐近线交于,直线l:y=-x+a与渐近线交于,A,因为,所以,双曲线的渐近线方程为,故选D.点睛:本题考查双曲线的性质,属于中档题目.解决本题的关键是设点以及向量坐标化,先求出过右顶点且斜率为-1的直线方程,分别联立该直线
9、与双曲线的两条渐近线,求出交点坐标,代入中,通过化简计算,即可得到a,b的关系式,结合双曲线中,即可求得离心率.12.设函数若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意知：的极值为，所以，因为，所以，所以即，所以，即3，而已知，所以3，故，解得或，故选C.考点：本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，考查分析问题与解决问题的能力.第卷（非选择题 共90分）第1321题为必考题，每道试题考生都必须作答.第2223为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：每小题5分，满分20分.其中第15题第一空2分，第二空3分.13.
10、随着互联网的发展，网购早已融入人们的日常生活.网购的苹果在运输过程中容易出现碰伤，假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购2箱苹果恰有1箱在运输中出现碰伤的概率为_.【答案】0.42【解析】【分析】要求概率，可先分析概率模型，再用公式求解【详解】题目可转化为独立重复试验，即重复做2次试验，每次事件发生的概率为0.7，则恰有1次发生的概率为.【点睛】本题考查独立重复试验，考查应用意识与数学抽象的核心素养.14.设，分别为内角，的对边.已知，则_.【答案】2【解析】【分析】要求的值，可考虑将已知条件化成三角函数式的形式，利用三角恒等式化简计算【详解】因为， 所以
11、，所以【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查运算求解能力.15.已知点满足，则取值范围为_.【答案】【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用两点间的斜率公式进行求解,即可求得答案.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图，的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最小，OC的斜率最大，由,可得此时OC斜率由,可得此时OB斜率，则的取值范围为故答案为：.【点睛】本题考查线性规划问题,关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数.在平面区域中,求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义,从而确定目标函数在何处取得最优解.16.如图，在四棱锥中，平面，底面为
12、正方形，且.若四棱锥的每个顶点都在球的球面上，则球的表面积的最小值为_；当四棱锥的体积取得最大值时，二面角的正切值为_. 【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】(1)要求球的表面积的最小值，需求出球的表面积的算式，为此又需求出球的半径，从而根据算式的特点，用函数的单调性或不等式求出最小值 (2)列出四棱锥的体积的算式，求出体积取得最大值时变量的取值，从而求出二面角的正切值【详解】(1)设，则.平面，又，平面，则四棱锥可补形成一个长方体，球的球心为的中点，从而球的表面积为.(2)四棱锥的体积，则，当时，；当时，.故，此时，.过作于，连接，则为二面角的平面角.，.【点睛】本题考查四棱锥的体
13、积与球体的表面积，考查函数与方程的数学思想以及直观想象的数学核心素养.当棱锥中有线面垂直条件时，可考虑将棱锥补形成长方体，简化思考便于计算找二面角平面角的常用方法有：定义法，三垂线法三、解答题：本大题共7小题.共70分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足，.（1）求数列的通项公式：（2）求数列的前项和；（3）求数列的前项和.【答案】（1）.（2）.（3）【解析】【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式，即可求得答案；（2）由，可得，进一步利用裂项相消法求出数列的和，即可求得答案；（3）由，可得，根据错位相减求和，即可求得答案.【详解】（1）当.，当时，由
14、可得两式相减可得：即且上式对于也成立，数列的通项公式为：（2）（3），由可得：【点睛】本题考查求数列通项公式和求数列和，解题关键是掌握常见数列求和的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18.已知三棱柱中，.（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面所成二面角的余弦值.【答案】（1）答案见解析.（2）【解析】【分析】（1）要证平面，只需求证，结合已知，即可求得答案；（2）以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，根据，即可求得答案.【详解】（1）,.在中,由余弦定理得,.又,又,平面.（2）由（1），又在中，可得又平面；由（1）得平面， 又以
15、为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，如图：则,又解得：，故设平面法向量为由，可得故：取，则设平面法向量为由，可得故：取可得：平面与平面所成二面角的余弦值.【点睛】本题主要考查了线面垂直和向量法求二面角，解题关键是掌握线面垂直的证法和向量法求面面角的解法，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.19.某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：年份2012201320142015201620172018投资金额（万元）4.55.05.56.06.57.07.5年利润增长（万元）6.07.07.48.18.99.61
16、1.1（1）请用最小二乘法求出关于的回归直线方程（结果保留两位小数）；（2）现从20122018年这7年中抽出三年进行调查，记年利润增长投资金额，设这三年中（万元）的年份数为，求随机变量的分布列与期望.参考公式：，.参考数据：，.【答案】（1）.（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求出，根据公式求出，即可求得答案；（2）由所给数据可得，的可能取值为1，2，3，求得即可求得答案.【详解】（1），故关的回归直线方程为：，（2）由表格可知，年这年中年份20122013201420152016201720181.521.92.12.42.63.6的可能取值为1，2，3可得：123【点睛】本题主要考查
17、了求回归直线方程和随机变量的分布列与期望，解题关键是掌握回归直线的求法和统计学基础知识，考查了分析能力和计算能力,属于基础题.20.已知椭圆：的离心率为，右焦点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在点，使得为正三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）.（2）在轴上是存在点，坐标为，【解析】【分析】（1）因为椭圆：的离心率为，可得，右焦点到直线的距离为，故，即可求得答案；（2）设线段的中点，若是正三角形，且，结合已知，即可求得答案.【详解】（1）椭圆：的离心率为，可得故右焦点到直线的距离为.当时，将代入可得整
18、理可得：即解得：（舍去）或由，可得，即根据可得：当时，将代入可得整理可得：方程无解（2）过点作与坐标轴不垂直的直线设直线的方程为 联立直线的方程和椭圆方程可得：，消掉可得：根据韦达定理可得： 设线段的中点，则，是正三角形且根据，可得由可得：可得：，解得：设，将其代入可得可得故在轴上是存在点，使得为正三角形，坐标为，【点睛】本题主要考查了求椭圆方程和椭圆中的三角形问题，解题关键是掌握圆锥基础知识和椭圆中三角问题的解法，圆锥曲线与直线位置关系问题，要通过直线和圆锥曲线联立方程，通过韦达定理，建立起直线斜率与目标直线的关系，考查了分析能力和计算能力,属于难题.21.已知函数.（1）讨论的单调性.（2
19、）试问是否存在，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2) 存在；的取值范围为.【解析】【分析】（1），所以得，所以通过对与的大小关系进行分类讨论得的单调性；(2)假设存在满足题意的的值，由题意需，所以由(1)的单调性求即可；又因为对恒成立，所以可以考虑从区间内任取一个值代入，解出的取值范围，从而将的范围缩小减少讨论.【详解】解：（1），.当时，在上单调递增当时，在上单调递减，在上单调递增 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增. （2）假设存在，使得对恒成立.则，即，设，则存在，使得， 因为，所以在上单调递增，因为
20、，所以时即. 又因为对恒成立时，需，所以由（1）得：当时，在上单调递增，所以，且成立，从而满足题意. 当时，在上单调递减，在，上单调递增，所以所以（*）设，则在上单调递增，因为， 所以的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为，所以即.综上，存在，使得对恒成立，且的取值范围为.【点睛】求可导函数的单调区间的一般步骤是：（1）求定义域；（2）求；（3）讨论的零点是否存在；若的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；（4）判断在每个区间内的正负号，得的单调区间.当在区间上恒成立时，需.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清楚题号.选修4-4：坐标
21、系与参数方程选讲22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知为锐角，直线与曲线的交点为（异于极点），与曲线的交点为，若，求的直角坐标方程.【答案】(1) ；(2) 【解析】【分析】(1)先消去参数，得到曲线的普通方程，再化成极坐标方程；(2)由题意知，直线是过原点的，所以求出的斜率或的值即可写出的方程.【详解】解：（1）由题意知曲线的直角坐标方程为， 即， 所以，即，故曲线的极坐标方程为.（2）因为曲线的极坐标方程为，所以，将代入，得因为曲线的极坐标方程为，所以 所以， 则，故的直角坐标方程为【点睛】设为平面上一点，其直角坐标为，极坐标为，则，选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1），当，可得，即可求得答案；（2）由，可得，结合已知，即可求得答案.【详解】（1）当，可得若则，即，显然成立若，可得，故若，可得，显然不成立.综上所述，（2）要保证不等式恒成立，只需保证，解得综上所述，【点睛】本题主要考查了求解带绝对值不等和根据不等式恒成立求参数，解题关键是掌握带绝对值不等式和不等式恒成立求参数范围的解法，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
