1、20222023学年度第二学期五校联考阶段测试高一年级数学试题（总分150分 考试时间120分钟）注意事项：1本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分2答题前，务必将自己的姓名、准考证号用005毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上3作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知，为锐角，则的值为（ ）ABCD2若复数满足
2、，则（ ）A3BCD3已知向量，且，则实数等于（ ）A2BC8D4如图，四边形是平行四边形，点，分别为，的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ）ABCD5如图，是用斜二测画法画出的直观图，则的周长为（ ）A12BCD16在中，内角，的对边分别为，则的形状一定为（ ）A直角三角形B钝角三角形C等边三角形D等腰三角形7“阿基米德多面体”被称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多
3、面体已知正方体边长为6，则该半正多面体外接球的表面积为（ ）ABCD8在中，为角的平分线，若，则等于（ ）A0BCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中，下列结论正确的是（ ）A与的夹角为BCD在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）10计算下列各式，结果为的是（ ）ABCD11在中，内角，的对边分别为，下列说法正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，符合条件的有一个，则12如图，正三棱锥和正三棱锥
4、的侧棱长均为，若将正三棱锥绕旋转，使得点，分别旋转至点，处，且，四点共面，点，分别位于两侧，则（ ）AB平面C二面角的平面角的余弦值为D多面体的外接球的体积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是_14已知中，角，所对的边分别为，满足，且，则的取值范围是_15已知，为的共轭复数，若，则_16正三棱锥的底面边长为3，高为，则三棱锥的外接球的表面积是_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）如图，在中，已知，相交于点设，（1）用向量，表示；（2）求，夹角的余弦值18（
5、本小题满分12分）计算（1）求的值；（2）化简19（本小题满分12分）在中，角，的对边分别为，已知（1）证明：（2）若，求的面积20（本小题满分12分）已知复数是方程的一个复数根，且的虚部大于零（1）求；（2）若（，为虚数单位），求21（本小题满分12分）如图，三棱柱的侧面是边长为1的正方形，侧面侧面，是的中点（1）求证：平面平面；（2）若为线段的中点，求三棱锥的体积22（本小题满分12分）十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晩期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动十字测天仪的使用方法如下：如图2，
6、手持十字测天仪，使得眼睛可以从点观察滑动横档使得在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点，的影子恰好是然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置（1）若在某次测量中，横档的长度为20，测得太阳高度角，求影子的长；（2）若在另一次测量中，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值；（3）在杆上有两点，满足当横档的中点位于时，记太阳高度角为（），其中，都是锐角证明：20222023学年度第二学期五校联考阶段测试高一年级数学试题参考答案一、单选题1-5DBDDC 6-8DAC二、多选题9BD 10BD 11ABC12BCD
7、三、填空题13141516四、解答题17（本小题满分10分）（1） （2）解：（1）由题意可得：（2）因为由题意可得：可得即，所以故，夹角的余弦值18（本小题满分12分）（1）1 （2）解：（1）（2）.19（本小题满分12分）（1）证明见解析 （2）解：（1）证明：因为，所以，所以所以，即因为在中、，所以，即，故即（2）解：由（1）可知因为，所以则，由正弦定理可知则故的面积20（本小题满分12分）（1） （2）解：（1）由，即，可得，解得，因为的虚部大于零，所以（2）由（1）知，因为，所以则，解得，所以21（本小题满分12分）22（1）证明见解析 （2）解：（1）在中，则在中，由余弦定理得，因为，即，所以，由已知平面平面，且平面平面，又平面，故平面，又平面，则平面平面（2）由题意知，由（1）知，平面，平面，则，又，且，平面，可得平面，因此为三棱锥的高，因为，所以，又，所以23（本小题满分12分）（1） （2） （3）证明见解析解：（1）如图1，由题意得，且是的中点，所以在中，（2）解法一：由题意，由于是的中点，且，所以，且由余弦定理得从而，即太阳高度角的正弦值为解法二：由题意，由于是的中点，且，所以，且，于是且，从而，即太阳高度角的正弦值为（3）由题意，因为，都是锐角，则，所以，从而根据，可知因为函数在单调递增，且，所以，即
