1、 高三二轮函数四大性质（讲案）【教学目标】本节内容目标层级是否掌握函数单调性函数奇偶性函数对称性与周期性一、函数奇偶性【知识点】函数奇偶性：函数奇偶性的概念：一般地，对于定义域关于坐标原点对称的函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。一般地，对于定义域关于坐标原点对称的函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有,那么函数就叫做奇函数。注意事项：1.奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；2定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。奇偶函数的图象：奇函数图象关于原点
2、成中心对称的函数，偶函数图象关于轴对称的函数。【例题讲解】（一）判断函数奇偶性类型1. 根据解析式判断奇偶性例题1函数的奇偶性为A偶函数B奇函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数练习1求函数的奇偶性2. 抽象函数奇偶性判断例题2已知函数定义域为实数，对任意的实数、，都有，又当时，且（2）判断的奇偶性练习1（1）已知的定义域为，且，求的解析式，判断的奇偶性并证明（2）函数定义域为，且对于一切实数，都有，试判断的奇偶性并证明练习2定义在实数集上的函数对任意，有，且，（1）求证：（2）求证：是偶函数（二）奇偶性简单应用1. 利用奇偶性求参数例题3若函数为奇函数，则ABCD1练习1若函数为奇函数，则
3、ABCD12. 利用奇偶性求解析式例题4. 已知为定义在上的奇函数，当时，则当时，有ABCD练习1已知为定义在上的奇函数，且当时，（1）求函数的解析式；（2）作出函数的图象（3）若函数在区间，上单调，直接写出实数的取值范围（不必写出演算过程）3. 利用奇偶性求函数最大值与最小值之和例题5已知函数的最大值为，最小值为，则的值为练习1已知函数的最大值为，最小值为，则练习2已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于A2B4CD题型知识点总结：A.利用函数奇偶性判断依据判断一个函数的奇偶性1首先要验证定义域的对称性，只有当函数定义域是关于原点对称的，才可能存在奇偶性；2其次根据定义来判断函数的奇偶性，计
4、算的值来跟原函数做比较即可；3最后根据计算出来的的值，若满足则原函数为奇函数；若满足则原函数为偶函数；若两个等式都满足则原函数既是奇函数又是偶函数，若两个等式都不满足则原函数既不是奇函数也不是偶函数；B.利用奇偶性求参1定义域关于原点对称2定义域含零的奇函数3根据与的关系带入特殊值代特殊值C.利用函数奇偶性求解析式要注意定义域的问题D.对于函数求最大值与最小值之和问题：首先需要对原函数解析式通过变形，一般是分离常数法，找出存在奇偶性的部分，和不存在奇偶性的常数部分；其次要重点提醒学生，存在奇偶性的部分关于原点对称，其和为零；二、函数单调性【知识点】函数单调性：函数单调性的定义：一般地，设函数的
5、定义域为，如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量，当时，都有 ，那么就说在区间上是增函数（减函数）。超越函数单调性：增加增为增，减加减为减，增减减为增，减减增为减复合函数单调性：设复合函数，设中间变量称为内层函数, 称为外层函数，是定义域的某个区间，是映射的象集，即函数的值域。复合函数单调性的判断可以根据下表：内层函数外层函数复合函数增增增增减减减增减减减增分段函数单调性：注意临界值比较大小函数单调性与函数奇偶性综合：A 奇函数的单调性在y轴的两侧是相同的；偶函数的单调性在y轴的两侧是相反的.B 解决含参不等式问题；解决比较大小问题【例题讲解】(一)判断函数单调性类型：1. 定义法判断单
6、调性例题1求证：函数在上是增函数练习1已知函数若，试证：在上单调递增；2. 复合函数单调性判断例题2求函数的单调区间；练习1若函数在递减，求a的取值范围.3. 分段函数单调性判断例题3已知是上的减函数，那么的取值范围是_练习1设函数在内有定义，对于给定的正数，定义函数取函数，当时，求函数的单调递增区间3. 抽象函数单调性判断例题4已知函数对任意，满足，当时， 求证：在上是增函数练习1定义在上的函数，当时，且对任意的，都有.求证：在上是增函数.（二）. 单调性与奇偶性综合例题5定义在上的偶函数满足，且在，上单调递增，设，则，的大小关系是ABCD练习1定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，设，比较
7、的大小.练习2已知定义在上奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ）A. B. C. D. 例题6设奇函数在上为单调递减函数，且（1），则不等式的解集为A，B，C，D，练习1奇函数在上单调递增，且,则的解集为_练习2偶函数在上单调递增，则满足的的范围是_.三、函数周期性与对称性【知识点】函数对称性：对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称。轴对称的等价描述：1关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）2关于轴对称3是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称。中心对称的等价描述：1关于中心对称（当时，恰好就是奇函数）2关于中心对称3关于中心对称4是奇函数，则，进
8、而可得到：关于中心对称。函数周期性：函数周期性的定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期。周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期。最小正周期：正如上面所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常函数。函数周期性的判定：1：可得为周期函数，其周期2：可得为周期函数，其周期3的周期4的周期5的周期6的周期7若一个函数有两个对称性，则必为周期函数W（1）相邻对称轴间为半个周期（2）相邻对称中
9、心间为半个周期（3）一个对称轴和与之相邻的对称中心间为四分之一个周期【例题讲解】例题1（1）设是定义在上的偶函数，对任意,都有,当时，,求的值. （2）(2018全国卷)已知是定义域为 的奇函数，满足 若 ，则 ()A50 B0 C2 D50练习1定义在上的函数满足,当时，; 当时，,求的值.例题2定义在上的函数满足， ,求的周期；练习1定义在上的函数满足，,求的周期及奇偶性；例题3已知函数，求练习1已知函数在定义域上满足，且，求题型知识点总结：1. 函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对
10、称的两个区间上具有相反的单调性(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成的形式，再根据函数的奇偶性与单调性， 列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响2. 已知是周期函数且为偶函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解(1)函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一特别注意“奇函数若在x0处有定义，则一定有；偶函数一定有”在解题中的应用(2)解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解【课后练习】【巩固练习
11、】练习1. 已知是定义域为的奇函数，满足若（1），则（1）（2）（3）AB2C0D99练习2.已知函数满足，且当，时，函数，则函数在区间，上的零点的个数为A9B10C11D12练习3已知函数的定义域为，对于任意的，都有，且当时，若求，（3）的值；练习4函数的对称中心为（ ）A B. C. D. 练习5已知函数满足，且，时，又，则函数在区间，上零点的个数为A2015B2016C2017D2018【拔高练习】练习1设函数的定义域为，当时，且对任意的，有，当时，（1）证明：；（2）证明：对任意的都有；练习2已知是定义域为的奇函数，满足，若（1），则（1）（2）（3）0练习3奇函数在上为增函数，且（1），则不等式的解集为A，B，C，D，练习4若函数满足，且当，时，函数，则函数在区间上的零点的个数是A5B6C7D8练习5若定义在上的奇函数满足：，且，都有则称该函数为满足约束条件的一个“函数”，有下列函数：；，其中为“函数”的是（ ）A B C D练习6已知函数的定义域是，且满足，如果对于，都有（1）求的值；（2）解不等式.
