1、课时分层作业(二十)(建议用时:40分钟) 一、选择题1已知点M是平面内的动点,F1,F2是平面内的两个定点,则“点M到点F1,F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件C若点M到点F1,F2的距离之和恰好为F1,F2两点之间的距离,则点M的轨迹不是椭圆,所以前者不能推出后者根据椭圆的定义,椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a,所以后者能推出前者,故前者是后者的必要不充分条件,故选C.2椭圆1的焦点坐标是()A(5,0)B(0,5)C(0,12)D(12,0)C由标准方程知,椭圆的焦点在y轴上,且c2
2、16925144,c12,故焦点为(0,12)3已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|2,若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|,则椭圆C的标准方程为()A1B1或1C1D1或1B2c|F1F2|2,c.2a|PF1|PF2|2|F1F2|4,a2.b2a2c29.故椭圆C的标准方程是1或1.4设F1,F2是椭圆1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|PF2|21,则F1PF2的面积等于()A5B4C3D1B由椭圆方程,得a3,b2,c,|PF1|PF2|2a6,又|PF1|PF2|21,|PF1|4,|PF2|2,由2242(2)2,可知F1PF2是直角三角
3、形,故F1PF2的面积为|PF1|PF2|424,故选B.5已知P为椭圆1上的一点,M,N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点,则|PM|PN|的最小值为()A5B7C13D15B由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|PF2|10,从而|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|127.二、填空题6已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为_1由题意知解得则b2a2c23,故椭圆的标准方程为1.7在平面直角坐标系xOy中,已知ABC的顶点A(4,0),B(4,0),点C在椭圆1上,则_.由题意知|
4、AB|8,|AC|BC|10,所以.8已知P是椭圆1上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且F1PF230,则F1PF2的面积是_84由椭圆的标准方程,知a,b2,c1,|F1F2|2.又由椭圆的定义,知|PF1|PF2|2a2.在F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2,即4(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos 30,即420(2)|PF1|PF2|,|PF1|PF2|16(2)S|PF1|PF2|sinF1PF216(2)84.三、解答题9已知椭圆的中心在原点,两焦点F1,F2在x轴上,且过点A(
5、4,3)若F1AF2A,求椭圆的标准方程解设所求椭圆的标准方程为1(ab0)设焦点F1(c,0),F2(c,0)(c0)F1AF2A,0,而(4c,3),(4c,3),(4c)(4c)320,c225,即c5.F1(5,0),F2(5,0)2a|AF1|AF2|4.a2,b2a2c2(2)25215.所求椭圆的标准方程为1.10已知圆M:(x1)2y21,圆N:(x1)2y29,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程解由已知得圆M的圆心为M(1,0),半径r11;圆N的圆心为N(1,0),半径r23.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内
6、切,所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r242.由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点的椭圆(左顶点除外),则a2,c1,故b2a2c2413,故所求C的方程为1(x2)11(多选题)下列说法中错误的是()A已知F1(4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B已知F1(4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C平面内到点F1(4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D平面内到点F1(4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆ABDA中,|F
7、1F2|8,则平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段,所以A错误;B中,到F1,F2两点的距离之和等于6,小于|F1F2|,这样的轨迹不存在,所以B错误;C中,点M(5,3)到F1,F2两点的距离之和为4|F1F2|8,则其轨迹是椭圆,所以C正确;D中,轨迹应是线段F1F2的垂直平分线,所以D错误故选ABD.12若,方程x2sin y2cos 1表示焦点在y轴上的椭圆,则的取值范围是()ABCDA易知sin 0,cos 0,方程x2sin y2cos 1可化为1.因为椭圆的焦点在y轴上,所以0,即sin cos 0.又,所以.13(一题两空)已知椭圆1的左、右焦点分别为F1,F
8、2,点P在椭圆上,若|PF1|4,则F1PF2_.若F1PF290,则F1PF2的面积是_1202由题得a29,b22,a3,c2a2b2927,c,|F1F2|2.|PF1|4,|PF2|2a|PF1|2.cosF1PF2,又0F1PF2180,F1PF2120.又|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2)228,配方得(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|28,362|PF1|PF2|28,即|PF1|PF2|4,S|PF1|PF2|2.14.如图所示,F1,F2分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点,点P在椭圆上,POF2是面积为的正三角形,则b2_.2设正三角形POF2的边长为c,
9、则c2,解得c2,从而|OF2|PF2|2,连接PF1(略),由|OF1|OF2|OP|知,PF1PF2,则|PF1|2,所以2a|PF1|PF2|22,即a1,所以b2a2c2(1)242.15已知椭圆1(ab0)的焦点分别是F1(0,1),F2(0,1),且3a24b2.(1)求椭圆的标准方程;(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|PF2|1,求F1PF2的余弦值解(1)依题意,知c21,又c2a2b2,且3a24b2,所以a2a21,即a21,所以a24,b23,故椭圆的标准方程为1.(2)由于点P在椭圆上,所以|PF1|PF2|2a224.又|PF1|PF2|1,所以|PF1|,|PF2|.又|F1F2|2c2,所以由余弦定理得cosF1PF2.故F1PF2的余弦值等于.