1、第三章 导数及其应用 第四讲 定积分与微积分基本定理 1.2021 皖南八校联考定积分-(-sInx+x3)dx 的值是()A.B.2 C.2+2cos 2 D.+2cos 2 2.2021 山西太原五中模拟下列表示曲线 y=x2+2 与直线 y=x+2 所围成的封闭图形的面积的式子中正确的是()A.S=(x2-x)dx B.S=(x-x2)dx C.S=(y2-y)dy D.S=(y-)dy 3.2021 安徽省六安中学模拟已知 a=-,b=(-,c=sIn xdx,则实数 a,b,c 的大小关系是()A.acb B.bac C.abc D.cba 4.2021 河南省信阳市一检计算:(-2
2、sIn x)dx=.5.2021 贵阳市四校联考 (x2+)dx=.6.已知函数 f(x)=xcosx,则-x2+f(x)dx=.7.2020 江西吉安市期中若 (+2mx)dx=3+ln 2,则实数 m 的值为 .8.设函数 f(x)=ax2+b(a0,若 f(x)dx=3f(x0),x00,则 x0=.9.二次函数 f(x)=x2-nx+m(n,mR 的图象如图 3-4-1 所示,则定积分 f(x)dx=()图 3-4-1 A.B.C.2 D.3 10.设 f(x)=-,-,-,则-f(x)dx 的值为()A.B.+3 C.D.+3 11.2020 重庆巴蜀中学模拟若-(ax2+bsIn
3、x)dx=1,则 sIn(a-)=.12.2020 河北衡水中学二调如图 3-4-2,阴影部分是由曲线 y=2x2和 x2+y2=3 及 x 轴围成的封闭图形,则阴影部分的面积为 .图 3-4-2 13.交汇题如图 3-4-3,点 A 的坐标为(1,0),函数 y=ax2的图象过点 C(2,4),若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 .图 3-4-3 14.2019 安徽师大附中期中若 f(x)+f(x)dx=x,则 f(x)dx=.答 案 第四讲 定积分与微积分基本定理 1.B 利 用 定 积 分 的 运 算 法 则,将 定 积 分 -(-sin x+x3)dx 展
4、 开 为 -dx+-(-sin x)dx+-x3dx,-dx 表示以(0,0)为圆心,2 为半径的半圆的面积,-dx=4=2.又-(-sin x)dx=cos x-=cos 2-cos(-2)=0,-x3dx=x4-24-(-2)4=0,-(-sin x+x3)dx=2.故选 B.2.B 依题意,在同一平面直角坐标系下画出曲线 y=x2+2 与直线 y=x+2 的图象(图略),注意到它们的交点坐标分别为(0,2)与(1,3),结合图形及定积分的几何意义可知,所围成的封闭图形的面积可用定积分表示为 (x-x2)dx,故选B.3.C c=-cos x =(,b=-=(c,a6=(-)6=,b6=(
5、-)6=bc.4.-2 (-2sin x)dx=2cos x =2cos -2cos 0=-2.5.(x2+)dx=(x3+ln x)=(e3+ln e)-.6.f(x)=xcosx 为奇函数,-xcos xdx=0,-(x2+xcos x)dx=-x2dx=|-.7.1 (+2mx)dx=dx+2mxdx=ln x +mx2 =3m+ln 2,由题意得 ln 2+3m=3+ln 2,故 m=1.8.依题意得 f(x)dx=(ax2+b)dx=(x3+bx)=3(a +b),化简得 3a =9a(a0,即 =3(x00),由此解得 x0=.9.B 由题图可知,所以 ,.所以 f(x)dx=(x
6、2-3x+2)dx=(x3-x2+2x).故选 B.10.A -f(x)dx=-dx+(x2-1)dx=12+(x3-x),故选 A.11.-(ax2+bsin x)dx=x3 -+0=1,a=,sin(a-)=sin(-)=-cos =-.12.记曲线 y=2x2和圆 x2+y2=3 在第一象限内的交点为 A,则 A(,),作出射线 OA,如图 D 3-4-2,图 D 3-4-2 则射线 OA 的方程为 y=x(x0,则射线 OA 与抛物线 y=2x2所围成的面积 S1=(x-2x2)dx=(x2-x3).记圆 x2+y2=3 与 x 轴正半轴交于点 B.易知扇形 AOB 的圆心角为 ,则扇形 AOB 的面积 S2=3=,所以阴影部分的面积 S=S2-S1=.13.因为函数 y=ax2的图象过点 C(2,4),所以 a=1,即 y=x2,又点 A 的坐标为(1,0),所以 S 矩形 ABCD=4,阴影部分的面积S1=4-x2dx=,所以在矩形 ABCD 内随机取一点,此点取自阴影部分的概率 P=矩形 .14.f(x)dx 是一个常数,设为 c,则有 f(x)=x-c,所以 x-c+(x-c)dx=x,解得 c=.故 f(x)dx=.
