1、一比较法学习目标1.理解和掌握比较法证明不等式的理论依据.2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.3.通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用.知识链接1.比较法作差后变形的目的是什么？提示作差后变形的目的是为了容易判别差的正、负.常用变形方法为：一是配方法，二是分解因式.2.具有什么特点的不等式的证明适合作商比较法？哪些类型的不等式证明常用作商、哪些常用作差？提示当不等式两端的式子同号时，可用作商比较法.一般地，证指数不等式常用作商法，证对数不等式时，常用作差法.预习导引1.比较法的种类比较法一般分为两种：作差比较法和作商比较法.2.作差比较法(1)作差比较法的证明依据：abab
2、0；abab0；abab0.(2)基本步骤：作差；变形；判断符号；下结论.3.作商比较法(1)作商比较法的证明依据：当a，b0时，(2)基本步骤：作商；变形；判断与“1”的大小；下结论.要点一利用作差比较法证明不等式例1已知a1，求证：.证明()()0，.规律方法根据左、右两边都含无理式的特点，也可以采取两边平方的方法来比较，但是应先判断不等式两边的符号，当不等式两边的符号都大于0时，两边平方是等价变形，当不等式两边的符号都小于0时，两边平方后要改变不等号的方向.跟踪演练1已知a，b，cR，求证：lglglglg.证明将商的对数化成对数的差，就是“化整为零”，有利于符号的确定.lglglglg
3、(lg clg a)(lg clg b)(lg alg b)(lg blg a)lg2c(lg alg b)lg clg alg b(lg alg b)2lg2c(lg ab)lg c(lg alg b)20，lg lg lglg.要点二利用作商比较法证明不等式例2已知a0，b0，求证：.证明，又a2b22ab，1，当且仅当ab0时取等号，.规律方法作商比较法的前提条件是两个数a，b都大于0，对进行整理，直到能清晰看出与1的大小关系为止.在运算过程中注意运用计算技巧.跟踪演练2已知a，b，c为正数，求证：a2ab2bc2cabcbaccab.证明a，b，c均为正数，a2abcb2bacc2ca
4、baabaacbbabbcccaccb.若ab，则1，ab0，1；若ab，则01，ab0，1.即1总成立.同理1，1总成立.1成立，a2ab2bc2cabcbaccab.要点三比较法在综合题目中的应用例3已知数列an的首项a15，前n项和为Sn，且Sn12Snn5(nN).(1)证明：数列an1是等比数列；(2)令f(x)a1xa2x2anxn，求函数f(x)在点x1处的导数f(1)，并比较2f(1)与23n213n的大小.(1)证明由已知Sn12Snn5，n2时，Sn2Sn1n4，两式相减，得Sn1Sn2(SnSn1)1，即an12an1，从而an112(an1).当n1时，S22S115，
5、a1a22a16.又a15，故a211，从而a212(a11).故总有an112(an1)，nN.由a15，得a110，从而2，即an1是以a116为首项，2为公比的等比数列.(2)解由(1)可知an32n1.f(x)a1xa2x2anxn，f(x)a12a2xnanxn1.从而f(1)a12a2nan(321)2(3221)n(32n1)3(2222n2n)(123n)3n2n1(2222n)3(n2n12n12)3(n1)2n16.则2f(1)(23n213n)12(n1)2n12(2n2n1)12(n1)2n12(n1)(2n1)12(n1)2n(2n1).(*)当n1时，(*)式0，2
6、f(1)23n213n；当n2时，(*)式120，2f(1)23n213n；当n3时，n10.令f(x)2x(2x1)，则f(x)2xln 22，当x3时，f(x)0，又f(3)0，当n3时，2n2n1.(n1)2n(2n1)0，即(*)式0，从而2f(1)23n213n.规律方法此类比较大小的题是典型的结论不唯一的题.在数列中，大小问题可能会随“n”的变化而变化.往往n1，2，前几个自然数对应的值与后面nn0的值大小不一样，这就要求在解答这样的题时，要时刻有“大小关系不一定唯一”的念头，即时刻提醒自己所求解的问题是否需要讨论.跟踪演练3已知an是正数组成的数列，a11，且点(，an1)(nN
7、)在函数yx21的图象上.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足b11，bn1bn2an.求证：bnbn2b.(1)解由已知得an1an1，即an1an1.又a11，所以数列an是以1为首项，公差为1的等差数列.故an1(n1)1n.(2)证明由(1)知ann，从而bn1bn2n.bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b12n12n2212n1.因为bnbn2b(2n1)(2n21)(2n11)2(22n22n22n1)(22n222n11)52n42n2n0，所以bnbn2b.1.作差比较法证明不等式的一般步骤：(1)作差；(2)变形；(3)判断符号；(4)结论.若差式的等
8、号不能确定，与某些字母的取值有关时，需对这些字母进行讨论.2.作商比较法的前提条件是两个数a，b都大于0，对进行整理，直到能清晰看出与1的大小关系为止，在运算过程中注意运用计算技巧.1.下列四个数中最大的是()A.lg 2 B.lg C.(lg 2)2 D.lg(lg 2)解析因为lg 2lg ，(lg 2)2lg 2lg 2lg 2，而lg(lg 2)0，所以lg 2最大.答案A2.已知a，b都是正数，P，Q，则P，Q的大小关系是()A.PQ B.PQC.PQ D.PQ解析 a，b都是正数，P0，Q0.P2Q2()20.P2Q20.PQ.答案D3.设A，B(a0，b0)，则A，B的大小关系为
9、_.解析AB，a0，b0，2ab0，ab0，又(ab)20，AB.答案AB4.已知ab，求证：a3b3ab(ab).证明a3b3ab(ab)a3b3a2bab2a2(ab)b2(ab)(ab)(a2b2)，ab，ab0，a2b20.a3b3ab(ab)0，即a3b3ab(ab).一、基础达标1.设0ba1，则下列不等式成立的是()A.abb21 B.logbloga0C.2b2a2 D.a2ab1解析0ba1，abbbb2，故A不正确.0b1，0a1，logb0，loga0，故B项不正确.由0ba1，可知a2ab，故D项不正确.故选C.答案C2.如果loga3logb3，且ab1，那么()A.
10、0ab1 B.0ba1C.1ab D.1ba解析a0，b0，又ab1，0a1，0b1，lg a0，lg b0，由loga3logb3000lg blg aba.0ab1.答案A3.若P，Q，R，则P，Q，R的大小关系是()A.PQR B.PRQC.QPR D.QRP解析2，即PQ；又()292，()292.，即QR.PQR.答案A4.已知ab0，cd0，m，n，则m与n的大小关系是()A.mn B.mnC.mn D.mn解析ab0，cd0，acbd0，m0，n0.又m2acbd2，n2acbd(adbc)，又由adbc2，2adbc，m2n2.mn.答案B5.当x1时，x3与x2x1的大小关系
11、是_.解析x3(x2x1)x3x2x1x2(x1)(x1)(x1)(x21)，且x1，(x1)(x21)0.x3(x2x1)0，即x3x2x1.答案x3x2x16.设abc0，x，y，z，则x，y，z的大小关系为_.解析abc0，x0，y0，z0.而x2y2a2b22bcc2(b2c22aca2)2bc2ac2c(ba)0，x2y2，即xy；又y2z2b2(ca)2c2(ab)22ac2ab2a(cb)0，yz.xyz.答案xyz7.设a，b为非负实数，求证：a3b3(a2b2).证明由a，b是非负实数，作差得a3b3(a2b2)a2()b2()()()5()5.当ab时，从而()5()5，得
12、()()5()50；当ab时，从而()5()5，得()()5()50.所以a3b3(a2b2).二、能力提升8.当ab0时，下列关系式中成立的是()A. B.lg b2lg a2C.1 D.解析法一取特殊值a4，b1，则知选项A，C，D不正确，选项B正确，故选B；法二ab0，a2b2.而函数ylg x(x0)为增函数，lg b2lg a2，B项正确.答案B9.已知a0，且a1，Ploga(a31)，Qloga(a21)，则P，Q的大小关系是()A.PQ B.PQC.PQ D.大小不确定解析PQloga(a31)loga(a21)loga.当0a1时，0a31a21，则01，loga0，即PQ0
13、.PQ.当a1时，a31a210，1，loga0，即PQ0.PQ.综上可知，PQ.答案A10.比较大小：log_log.解析loglog，又loglog1，1.loglog.答案 11.设不等式|2x1|1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，bM，试比较ab1与ab的大小.解(1)由|2x1|1得12x11，解得0x1，所以Mx|0x1.(2)由(1)知a，bM，可知0a1，0b1.所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0，故ab1ab.12.设a0，b0，且ab，求证：aabb(ab).证明ab.当ab0时ab011，当ba0时ab011.总有1，即1.又(ab)0，aabb(ab).三
14、、探究与创新13.已知an是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列.(1)求q的值；(2)设bn是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.解(1)由题设知2a3a1a2，即2a1q2a1a1q.又a10，2q2q10.q1或.(2)若q1，则Sn2n.当n2时，SnbnSn10，故Snbn.若q，则Sn2n.当n2时，SnbnSn1，故对于nN，当2n9时，Snbn；当n10时，Snbn；当n11时，Snbn.二综合法与分析法学习目标1.理解综合法、分析法证明不等式的原理和思维特点.2.掌握综合法、分析法证明简单不等式的方法和步骤
15、.3.能综合运用综合法、分析法证明不等式.知识链接1.以前我们用综合法证明过不等式和等式，那么综合法证明不等式时常用的基本不等式有哪些？提示 (1)|a|0，a20，(ab)20 (a，bR)(2)a2b22ab，a，bR，ab2，a，bR.(3)2 (ab0).(4)|a|b|ab|a|b| (a，bR).2.在阅读教材的基础上，想一想分析法有哪几种书写格式？提示第一种：要证，只需证，只需证，直到出现已知条件或已知定理或明显成立的事实.第二种：有些命题的证明上、下步之间都是充要条件，所以分析法证明每步之间都可用符号“”直到出现已知条件、定理、明显的事实.第三种：各步之间用符号“”.预习导引1
16、.综合法一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果法.2.分析法证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法.要点一综合法证明不等式例1已知a，bR，且ab1，求证：.证明法一a，bR，且ab1，ab.4(a2b2)4(ab)22ab4(12ab)4.法二左边a2b244a2b24a2b2114(a2b2)22422224
17、242.规律方法（1）综合法证明不等式，揭示了条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知条件，这是证明的关键.（2）综合法证明不等式中所依赖的已知不等式主要是重要不等式，其中常用的有如下几个：a20(aR). (ab)20(a，bR)，其变形有：a2b22ab，ab，a2b2(ab)2.若a，b为正实数，则.特别2.a2b2c2abbcca.跟踪演练1已知a，b，cR，且互不相等，且abc1，求证：.证明法一a，b，cR，且互不相等，且abc1，.法二22；22；22.以上三式相加，得 .又a，b，c互不相等，.法三a，b，c是不等正数，且a
18、bc1，bccaab.要点二分析法证明不等式例2a，bR，且2cab，求证：cac.证明要证cac，只需证ac，即证|ac|，两边平方得a22acc2c2ab，也即证a2ab2ac，即a(ab)2ac.a，bR.且ab2c，a(ab)2ac显然成立.原不等式成立.规律方法分析法证题的本质是从被证的不等式出发寻求使结论成立的充分条件.证明的关键是推理的每一步都必须可逆.跟踪演练2已知ab0，求证：.证明要证原不等式成立，只需证ab2，即证()2，只需证，即1，即证1.只需证1.ab0，1 成立.原不等式成立.要点三分析综合法证明不等式例3已知实数a、b、c满足cba，abc1，a2b2c21.求
19、证：1ab.证明abc1，欲证结论等价于11c，即c0.又a2b2c21，则有abc2c.由ab1c.由得a、b是方程x2(1c)xc2c0的两个不等实根，从而(1c)24(c2c)0，解得c1.cba，(ca)(cb)c2c(ab)abc2c(1c)c2c0，解得c0或c(舍).c0，即1ab.规律方法不等式证明过程中，往往把综合法与分析法结合在一起来解题，有时需要从条件出发，有时需要从结论出发，本题的证明就是既有综合法，又有分析法.跟踪演练3已知ABC的三边长是a，b，c，且m为正数.求证：.证明要证，只需证a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)0，即证abcabmacma
20、m2abcabmbcmbm2abcacmbcmcm20，即证abc2abm(abc)m20.由于a，b，c是ABC的边长，m0，故有abc，即(abc)m20.所以abc2abm(abc)m20是成立的.因此成立.1.综合法证明不等式中所依赖的已知不等式主要是重要不等式，其中常用的有如下几个：(1)a20(aR).(2)(ab)20(a，bR)，其变形有：a2b22ab，ab.a2b2(ab)2.(3)若a，b为正实数，.特别2.(4)a2b2c2abbcca.2.对于不等式的证明，一般要会综合运用比较法、分析法、综合法等证明简单的不等式.1.下列三个不等式：a0b；ba0；b0a，其中能使成
21、立的充分条件有()A. B. C. D.解析a0b；ba0；b0a.故选A.答案A2.若ab0，则下列不等式中成立的是()A. B.abC.ba D.解析ab0，故选项A，B错误，而选项C正确.选项D中，取b1，则0，而0，故选项D错误.答案C3.已知x，yR，且1x2y22，zx2xyy2，则z的取值范围是_.解析xy，(x2y2)x2xyy2(x2y2).又1x2y22，z3.答案4.已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.证明因为x0，y0，所以1xy230，1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.一、基础达标1.设a，b0，A，B，则A，B的大小关系是()A.
22、AB B.ABC.AB D.大小不确定解析用综合法：()2a2b，所以A2B20.所以A2B2.又A0，B0，所以AB.答案C2.当x1时，不等式xa恒成立，则实数a的取值范围是()A.(，2 B.2，)C.3，) D.(，3解析要使xa恒成立，只需f(x)x的最小值大于等于a即可，而xx11213.f(x)的最小值为3，a3.答案D3.已知a，b，c为三角形的三边，且Sa2b2c2，Pabbcca，则()A.S2P B.PS2PC.SP D.PS2P解析a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，a2b2c2abbcca，即SP.又三角形中|ab|c，a2b22abc2，同理b22bcc
23、2a2，c22aca2b2，a2b2c22(abbcca)，即S2P.答案D4.若a，b，cR，且abbcac1，则下列不等式成立的是()A.a2b2c22 B.(abc)23C.2 D.abc(abc)解析因为a2b22ab，a2c22ac，b2c22bc，将三式相加，得2(a2b2c2)2ab2bc2ca，即a2b2c21.又因为(abc)2a2b2c22ab2bc2ac，所以(abc)21213.故选项B成立.答案B5.若a0，b0，则下列两式的大小关系为：lg_lg(1a)lg(1b).解析lg(1a)lg(1b)lg(1a)(1b)lg(1a)(1b)，lglg.a0，b0，a10，
24、b10，(a1)(1b)，lglg(1a)(1b).即lglg(1a)lg(1b).答案6.建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为_元.解析设水池底长为x(x0) m，则宽为(m).水池造价y120804803204801 2801 760(元)，当且仅当x2时取等号.答案1 7607.设a、b、c、d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd|的充要条件.证明(1)因为()2ab2，()2cd2，由题设abcd，abcd得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，则(ab)2
25、(cd)2, 即(ab)24ab(cd)24cd.因为abcd，所以abcd.由(1)得.若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.综上，是|ab|cd|的充要条件.二、能力提升8.已知0a1b，下面不等式中一定成立的是()A.logablogba20 B.logablogba20C.logablogba20 D.logablogba20解析0a1b，logab0.logab0.(logab)2，当且仅当0a1b，且ab1时等号成立.2，即logab2.logablogba2.logablogb
26、a20.答案D9.设1，则()A.aaabba B.aabaabC.abaaba D.abbaaa解析1，0ab1，aab1，abaa，01，a0，1，aaba，abaaba.答案C10.若x0，y0，且xy(xy)1，则xy的最小值为_.解析由xy(xy)1，得y1.又x0，y0，x1.xyx1(x1)222.当且仅当x1，即x1时，等号成立.答案2211.已知abc1，求证：abbcca.证明abc1，a2b2c22ab2bc2ca1.又a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，将以上三个不等式相加，得2(a2b2c2)2(abbcca).a2b2c2abbcca.1a2b2c22a
27、b2bc2caabbcca2ab2bc2ca3(abbcca).abbcca.12.已知a，b，c都是正数，求证：23.证明法一要证23，只需证ab2abc3，即2c3.移项，得c23.由a，b，c都为正数，得c2c3.原不等式成立.法二a，b，c都是正数，c33，即c23.故2c3.ab2abc3.23.三、探究与创新13.在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，使x，a，y成等差数列，若插入两个数b，c使x，b，c，y成等比数列，求证：(a1)2(b1)(c1).证明法一由条件得消去x，y即得2a，且有a0，b0，c0，要证(a1)2(b1)(c1)，只要证a1.1，只要证2abc，而2a
28、，只要证bc，即b3c3bc(bc)，即b2c2bcbc，即(bc)20，上式显然成立.原不等式成立.法二由等差、等比数列的定义知用x，y表示a，b，c得(b1)(c1)(1)(1)(2xy3)(x2y3)(a1)2.原不等式成立.三反证法与放缩法学习目标1.理解反证法在证明不等式中的作用，掌握用反证法证明不等式的方法.2.掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式.知识链接1.在阅读教材的基础上，想一想哪些命题或不等式适合用反证法证明？提示存在性命题、否定性命题、唯一性命题或结论中出现“至少”、“至多”、“全都”等字词的命题或不等式.2.用放缩法证明不等式常用的放缩方法有哪些？提示添加或
29、舍去一些项；将分子或分母放大(或缩小)；真分数的性质：若0ab，m0，则；利用基本不等式；利用函数的单调性；绝对值不等式：|a|b|ab|a|b|.利用函数的有界性：如：|sin x|1(xR)；x2x(xR)；2x0(xR).预习导引1.反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质，明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法.2.放缩法将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简，达到证明目的.如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分
30、式的值缩小，反之，把分母缩小，则分式的值放大.要点一反证法证明不等式例1设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1b)，4b(1c)，4c(1d)，4d(1a)这四个数不可能都大于1.证明假设4a(1b)1，4b(1c)1，4c(1d)1，4d(1a)1，则有a(1b)，b(1c)，c(1d)，d(1a).，.又，.将上面各式相加得22，矛盾.4a(1b)，4b(1c)，4c(1d)，4d(1a)这四个数不可能都大于1.规律方法(1)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法.(2)用反证法证明不等式，其实质是从否
31、定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立.跟踪演练1已知a，b，c(0，1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能同时大于.证明法一假设三式同时大于，即有(1a)b，(1b)c，(1c)a，三式同时相乘，得(1a)a(1b)b(1c)c.又(1a)a.同理，(1b)b，(1c)c.(1a)a(1b)b(1c)c，与假设矛盾，则结论正确.法二假设三式同时大于，0a1，1a0，.同理，都大于.三式相加，得，矛盾.原命题成立.要点二放缩法证明不等式例2求证：12(nN*且n2).证明k(k1)k2k(k1)，即(kN*且k2).分别令k2，3，n得1，将
32、这些不等式相加得1，即1，1111，即12(nN*且n2)成立.规律方法(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败.(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作办法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项和负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的.跟踪演练2设n是正整数，求证：1.证明由2nnkn(k1，2，n)，得.当k1时，；当k2时，；当kn时，1.要点三放缩法在数列中的综合应用例3已知数列an满足a11，an12an1(
33、nN).(1)求数列an的通项；(2)证明：(nN).(1)解an12an1(nN)，an112(an1)，数列an1是以a112为首项，2为公比的等比数列.an12n，即an2n1(nN).(2)证明，.，k1，2，3，n.(nN).规律方法解数列不等式综合题要注意（1）数列不等式综合题难度大，内容丰富，是考查数学能力的良好载体；（2）数列问题重点在数列通项上，解决问题的方法也蕴含在其中，注意考察的方式；（3）注意放缩的尺度，过大过小都不能解决问题.跟踪演练3求证：3(nN).证明设S，将等式两边乘以得，S.将两式相减得，S21.S3，又0，S3，即3(nN).(1)当证明的结论中含有“不是
34、”“不都”“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体.(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式与已知相矛盾，与假设矛盾，与显然成立的事实相矛盾.(3)放缩法常用结论有：2()，2()(kN，k1)；(程度大)；(程度小).1.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程x3axb0没有实根B.方程x3axb0至多有一个实根C.方程x3axb0至多有两个实根D.方程x3axb0恰好有两个实根解析依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定.方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3ax
35、b0没有实根，故应选A.答案A2.用放缩法证明不等式时，下列各式正确的是()A. B.C.x2x3x23 D.|a1|a|1解析由绝对值不等式知|a1|a|1.故选D.答案D3.如果abab，则实数a，b应满足的条件是_.解析由及知a0，b0，但又abab，知ab，a0，b0，a0.答案a0，b0，ab4.若正数a，b，c满足abc，求证：.证明a0，b0，c0，abc，.一、基础达标1.P(a，b，c均为正数)与3的大小关系为()A.P3 B.P3C.P3 D.P3解析a，b，c均为正数，P3，即P3，故选C.答案C2.用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，其假设为()A.a，bc，全不为
36、0B.a，b，c至少有一个为0C.a，b，c至少有一个不为0D.a，b，c至多有一个不为0解析“a，b，c全为0”的反面应为“a，b，c至少有一个不为0”.故选C.答案C3.设x，y，z都是正实数，ax，by，cz，则a，b，c三个数()A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2解析abcxyz2226，当且仅当xyz时等号成立，a，b，c三者中至少有一个不小于2.答案C4.已知a0，b0，c0，且a2b2c2，则anbn与cn的大小关系为(n3，nN)()A.anbncn B.anbncnC.anbncn D.anbncn解析a2b2c2，1.，.1.anbncn.
37、故选B.答案B5.A1与(nN)的大小关系是_.解析A.答案A6.设a，b，c均为正数，Pabc，Qbca，Rcab，则“PQR0”是“P，Q，R同时大于零”的_条件.解析必要性是显然成立的；当PQR0时，若P，Q，R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P0，Q0，R0，则QR2c0，这与c0矛盾，即充分性也成立.答案充要7.若a3b32，求证：ab2.证明法一假设ab2，而a2abb2b20.但取等号的条件为ab0，显然不可能，a2abb20.则a3b3(ab)(a2abb2)2(a2abb2)，而a3b32，故a2abb21.1aba2b22ab.从而ab1.a2b21ab2.(
38、ab)2a2b22ab22ab4.ab2.这与假设矛盾，故ab2.法二假设ab2，则a2b，故2a3b3(2b)3b3，即2812b6b2，即(b1)20，这不可能，从而ab2.法三假设ab2，则(ab)3a3b33ab(ab)8.由a3b32，得3ab(ab)6.故ab(ab)2.又a3b3(ab)(a2abb2)2.ab(ab)(ab)(a2abb2).a2abb2ab，即(ab)20.这不可能，故ab2.二、能力提升8.设x0，y0，A，B，则A与B的大小关系为()A.AB B.AB C.AB D.AB解析x0，y0，AB.答案D9.对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：(ab
39、)2(bc)2(ca)20；ab与ab及ac中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立.其中判断正确的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3解析对于，假设(ab)2(bc)2(ca)20，这时abc，与已知矛盾，故(ab)2(bc)2(ca)20，故正确.对于，假设ab与ab及ac都不成立，这时abc，与已知矛盾，故ab与ab及ac中至少有一个成立，故正确.对于，显然不正确.答案C10.若A，则A与1的大小关系为_.解析A1.答案A111.若a，b，c均为实数，且ax22y，by22z，cz22x.求证：a，b，c中至少有一个大于0.证明假设a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0，则a
40、bc0，而abcx22yy22zz22x(x1)2(y1)2(z1)23.30，且(x1)2(y1)2(z1)20，abc0，这与abc0矛盾，因此假设不成立，a，b，c中至少有一个大于0.12.已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明.证明(1)由an13an1得an13.又a1，所以是首项为，公比为3的等比数列.所以an，因此an的通项公式为an.(2)由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以.于是1.所以b0，则下列不等式中一定成立的是()A.ab B.C.ab D.解析ab0，0，ab.答案A2.已知xyz，且xyz1，则下列不
41、等式中恒成立的是()A.xyyz B.xzyzC.x|y|z|y| D.xyxz解析令x2，y0，z1，可排除选项A，B，C，故选D.答案D3.已知实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系是()A.cba B.acbC.cba D.acb解析cb(a2)20，cb.由题中两式相减，得ba21，baa2a10.ba，cba.答案A4.已知ba0，且ab1，那么()A.2abbB.2abbC.2abbD.2abb解析取特殊值法.令a，b，则2ab，故选B.答案B5.若实数a，b满足ab2，则3a3b的最小值是()A.18 B.6 C.2 D.2解析3a3b2223
42、6(当且仅当ab1时，等号成立).答案B6.对于任意的x0，1，不等式ax2b0恒成立，则代数式a3b的值()A.恒为正值 B.恒为非负值C.恒为负值 D.不确定解析令f(x)ax2b，则在0，1上，若a0，则fmin(x)f(0)2b0；若a0，则fmin(x)f(1)a2b0，a3bba2b0.答案A7.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是()A.|ab|ac|bc|B.a2aC.|ab|2D.解析因为ab的符号不确定，所以|ab|2不一定正确，所以应选C.答案C8.若x，yR，且xy，下列四个数中最小的一个是()A. B.C. D.解析2，.由，故选D.答案D9.要使成
43、立，a，b应满足的条件是()A.ab0，且abB.ab0，且abC.ab0，且abD.ab0，且ab或ab0，且ab解析ab33ab，当ab0时，有，即ba.当ab0时.有，即ba.答案D10.在ABC中，A，B，C分别为边a，b，c所对的角，且a，b，c成等差数列，则角B适合的条件是()A.0B B.0BC.0B D.B解析2bac，cos B.当且仅当abc时等号成立.余弦函数在上为减函数，0B.答案B二、填空题11.lg 9lg 11与1的大小关系是_.解析lg 90，lg 110，1.lg 9lg 111.答案lg 9lg 11112.已知a，b0，则xabba，yaabb的大小关系是
44、_.解析ababab，若ab0，则1，而ba0，1.若0ab，则1，而ba0，1.综上，yx.答案yx13.设a，b，c，则a，b，c的大小顺序是_.解析ab()，而()282，()282，.ab0，即ab.同理可知bc.abc.答案abc14.已知a，b，c，d都为正数，且S，则S的取值范围是_.解析由放缩法，得；.以上四个不等式相加，得1S2.答案(1，2)三、解答题15.设a0，b0，且ab.证明：ab2；a2a2与b2b2不可能同时成立.证明由ab，a0，b0，得ab1.由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a2及a0得0a1；同理，0b1
45、，从而ab1，这与ab1矛盾.故a2a2与b2b2不可能同时成立.16.已知a，b，c为三角形的三边，求证：，也可以构成一个三角形.证明设f(x)，x(0，)，0x1x2，则f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上为增函数.a，b，c为三角形的三边，abc，即，同理可证，以，为边可构成一个三角形.17.已知数列an满足a1且an1ana(nN*).(1)证明：12(nN*)；(2)设数列a的前n项和为Sn，证明：(nN*).(1)证明由题意得an1ana0，即an1an，故an.由an(1an1)an1得an(1an1)(1an2)(1a1)a10.由0an得(1，2
46、，所以12.(2)解由题意得aanan1，所以Sna1an1，由和12得12，所以n2n，因此an1(nN*).由得(nN*).18.设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn满足S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.(1)解令n1代入得a12(负值舍去).(2)解由S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*得Sn(n2n)(Sn3)0，又已知各项均为正数，故Snn2n，当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，当n1时，a12也满足上式，所以an2n(nN*).(3)证明kN*，4k22k(3k23k)k2kk(k1)0，4k22k3k23k，.原不等式成立.
