1、新课程标准解读核心素养1了解全概率公式和贝叶斯公式的概念(重点)2掌握利用全概率公式和贝叶斯公式求概率的方法(难点)3能利用全概率公式和贝叶斯公式解决生活中一些简单的实际问题1通过对全概率公式和贝叶斯公式概念的学习，体会数学抽象素养2借助全概率公式和贝叶斯公式求解概率，提升数学运算和逻辑推理素养.新课引入从a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不放回显然，第一次摸到红球的概率为aab，那么第二次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？探究点1 全概率公式 用 Ri表示事件“第i次摸到红球”,Bi表示事件“第i次摸到蓝球”,i=1,2.事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或
2、蓝球)表示为两个互斥事件的并,即R2=R1R2UB1R2.利用概率的加法公式和乘法公式,得P(R1)R1P(R2|R1)R2 R1R2B2 R1B2P(B1)B1R2 B1R2B2 B1B2P(B2|R1)P(R2|B1)P(B2|B1)P(R2)=P(R1R2B1R2)=P(R1R2)+P(B1R2)=P(R1)P(R2|R1)+P(B1)P(R2|B1)aab=a+b-1a-1+a+b-1aa+ba aab=A=“第一次取到红球”B=“第二次取到红球”AABAB AB()()P BP ABAB()()P ABP AB()(|)()(|)P A P B AP A P B A全概率公式 一 般
3、 地，设 A1，A2，An 是 一 组 两 两 互 斥 的 事 件，A1A2An，且P(Ai)0，i1，2，n，则对任意的事件B，有P(B)ni=1 P(Ai)P(B|Ai)121niniBBABABABA1()()niiP BP BA 1()(|)niiiP AP B A例1:某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响,可根据第1天可能去的餐厅,将样本空间表示为“第1
4、天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并,利用全概率公式求解。解：设A1=“第1天去A餐厅”用餐，B1=“第1天去B餐厅”用餐，A2=“第2天去A餐厅”用餐,则=A1B1，且A1与B1互斥，P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.8,由全概率公式,得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.50.6+0.50.8=0.7有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.(1)任取一个零
5、件,计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.A1A2A3 A3BA1BA2B解：设B=“任取一个零件为次品”，Ai=“第i台车床加工”(i=1,2,3),则=A1A2A3，且A1，A2，A3两两互斥，P(A1)=0.25，P(A2)=0.3，P(A3)=0.45，P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=P(B|A3)=0.05,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.250.06+0.30.05+0.450.05=0.0525(2)“如果取到得零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)
6、台车床加工的概率”,就是计算在B发生的条件下,事件Ai发生的概率.P(A1|B)P(A1B)P(B)=P(B)=P(A1)P(B|A1)0.0525=0.250.0627=P(A2|B)P(A2B)P(B)=P(B)=P(A2)P(B|A2)0.0525=0.30.0527=P(A3|B)P(A3B)P(B)=P(B)=P(A3)P(B|A3)0.0525=0.450.0537=P(Ai)是试验之前就已知的概率，它是第i台机床加工所占的比例，称为先验概率，当已知的零件是次品(B发生)，P(Ai|B)是这件次品来自于第i台机床加工的可能性大小，通常称为后验概率.全概率公式的使用要点1如果所考虑问
7、题的试验分两步，第一步试验结果可确定为样本空间的一个划分，求与第二步试验结果有关的事件的概率，此时可用全概率公式解决2用全概率公式的关键是确定样本空间的一个划分，这可以从第一步试验的结果确定探究点2 贝叶斯公式有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.123记 Ai=球取自i号箱,i=1,2,3;B=取得红球求P(A1|B).P(A1|B)P(A1B)P(B)=P(A1)P(B|A1)3i=1 P(Ai)P(B|Ai)贝叶斯公式 设A1,A2,An是两两互
8、斥的事件，且P(Ai)0，i=1,2,n,另有一事件B，它总是与A1,A2,An之一同时发生，则P(A1|B)P(A1B)P(B)=P(A1)P(B|A1)ni=1 P(Ai)P(B|Ai)该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.Bayes公式的使用我们把事件B看作某一过程的结果，因，看作该过程的若干个原把nAAA,21根据历史资料，每一原因发生的概率已知，已知即nAP而且每一原因对结果的影响程度已知，已知即nABP如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式BAPi即求例2 同一种产品
9、由甲、乙、丙三个厂供应。由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为2:3:5，混合在一起。(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；解:设事件A表示“取到的产品为正品”，B1,B2,B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”P(B1)=0.2，P(B2)=0.3，P(B3)=0.5，P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.90,P(A|B3)=0.80,3i=1 P(Bi)P(A|Bi)P(A)=0.20.95+0.30.90+0.50.80=0.86,P(B1|A)P(B1A)P(A)=P(B1)P(A|B1)P(A)0.86=0.20.95=0.
10、2209P(B2|A)P(B2A)P(A)=P(B2)P(A|B2)P(A)0.86=0.30.9=0.3140P(B3|A)P(B3A)P(A)=P(B3)P(A|B3)P(A)0.86=0.50.8=0.4651由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小。例3:在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列。由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.(1)分别求接收的信号为0和1的概率；解：设
11、A=“发送的信号为0”，B=“接收的信号为0”，则A=“发送的信号为1”,B=“接收的信号为1”P(A)=P(A)=0.5,P(B|A)=0.9,P(B|A)=0.1,P(B|A)=0.05,P(B|A)=0.95,P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.50.9+0.50.05=0.475P(B)=1-P(B)=0.525*(2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率.P(A|B)=P(A)P(B|A)P(B)0.475=0.50.05=1191车险中考虑两类投保人的问题.如果假设易出事故的人在一年内出事故的概率为0.4，不易出事故的人则为0.2,且第一类人占总人口的比
12、例是30%，(1)那么随机选取一名投保人，他会在一年内出事故的概率是多少？(2)假设他在一年内出了事故，则他属于易出事故的人的概率为多少？令A为“他是易出事故者”，A1为“他在一年内出事故”第一个问题用全概率公式：P(A1)P(A1|A)P(A)P(A1|)P(A)0.40.30.20.70.26.第二个问题用贝叶斯公式：P(A|A1)P(AA1)P(A1)P(A)P(A1|A)P(A1)0.30.40.26 613.全概率公式和贝叶斯公式的使用策略若随机试验可以分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体怎样未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2)如果
13、第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式.2.试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案设该考生会做这道题的概率为0.85.(1)求该考生选出此题正确答案的概率；(2)已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率设A表示“该考生会做这道题”，B表示“该考生选出正确答案”，则P(A)0.85，P(A)0.15，P(B|A)1，P(B|A)0.25.(1)由全概率公式得P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)0.8510.
14、150.250.887 5.(2)由贝叶斯公式得P(A|B)PAPB|APB0.8510.887 50.958.课堂小结 1在运用全概率公式时的已知、未知条件为(1)划分后的每个小事件的概率，即P(Bi)，i1,2，n；(2)每个小事件发生的条件下，A发生的概率，即P(A|Bi)，i1,2，n；(3)求解目标是计算A发生的概率，即P(A)2在运用贝叶斯公式时，一般已知、未知条件为(1)事件B的多种情况中到底哪种情况发生了是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Bj)，j1,2，n；(2)事件A是已经发生的确定事实，且已知每种事件B发生条件下事件A发生的概率，即P(A|Bj)，j1,2，n；(3)P(A)未知，需要使用全概率公式计算得到
