1、第二节函数的单调性与最值1增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果对于任意x1，x2D，且x1x2，则都有：(1)f(x)在区间D上是增函数f(x1)f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)2单调性、单调区间的定义若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间3函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M结论M是yf(x)的最大
2、值M是yf(x)的最小值1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)对于函数f(x)，xD，若对任意x1，x2D，x1x2且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在区间D上是增函数()(2)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(3)函数y|x|是R上的增函数()(4)所有的单调函数都有最值()答案(1)(2)(3)(4)2下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是()AyBycos xCyln(x1)Dy2xD选项A中，y在(，1)和(1，)上为增函数，故y在(1,1)上为增函数；选项B中，ycos x在(1,1)上先增后减；选项C中，yln(x1)在
3、(1，)上为增函数，故yln(x1)在(1,1)上为增函数；选项D中，y2xx在R上为减函数，故y2x在(1,1)上是减函数3(教材改编)已知函数f(x)，x2,6，则f(x)的最大值为_，最小值为_2可判断函数f(x)在2,6上为减函数，所以f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6).4函数y(2k1)xb在R上是减函数，则k的取值范围是_. 【导学号：51062019】由题意知2k10，得k.5f(x)x22x，x2,3的单调增区间为_，f(x)max_.1,38f(x)(x1)21，故f(x)的单调增区间为1,3，f(x)maxf(2)8.函数单调性的判断(1)函数f(x)log2
4、(x21)的单调递减区间为_(2)试讨论函数f(x)x(k0)的单调性(1)(，1)由x210得x1或x1，即函数f(x)的定义域为(，1)(1，)令tx21，因为ylog2t在t(0，)上为增函数，tx21在x(，1)上是减函数，所以函数f(x)log2(x21)的单调递减区间为(，1)(2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(，0)(0，)在(0，)内任取x1，x2，令0x1x2，那么f(x2)f(x1)(x2x1)k(x2x1).2分因为0x1x2，所以x2x10，x1x20.故当x1，x2(，)时，f(x1)f(x2)，即函数在(，)上单调递增.6分当x1，x2(0，)时，f(x1)f
5、(x2)，即函数在(0，)上单调递减考虑到函数f(x)x(k0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(，)上单调递增，在(，0)上单调递减综上，函数f(x)在(，)和(，)上单调递增，在(，0)和(0，)上单调递减.15分法二：f(x)1.2分令f(x)0得x2k，即x(，)或x(，)，故函数的单调增区间为(，)和(，).6分令f(x)0得x2k，即x(，0)或x(0，)，故函数的单调减区间为(，0)和(0，).12分故函数f(x)在(，)和(，)上单调递增，在(，0)和(0，)上单调递减.15分规律方法1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底2
6、利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)变式训练1(1)(2017湖州二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是()Ayx3ByCyDyx(2)函数f(x)log(x24)的单调递增区间是()A(0，)B(，0)C(2，)D(，2)(1)C(2)D(1)选项A，B中函数在定义域内均为单调递增函数，选项D为在定义域内为单调递减函数，选项C中，设x1x2(x1，x20)，则y2y1，因为x1x20，当x1，x2同号时x1x20，0，当x1，x2异号时x1x20，0，所以函数y在定义域上不是单调
7、函数，故选C.(2)由x240得x2或x2，所以函数f(x)的定义域为(，2)(2，)，因为ylogt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数tx24的单调递减区间，可知所求区间为(，2)利用函数的单调性求最值已知f(x)，x1，)，且a1.(1)当a时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围思路点拨(1)先判断函数f(x)在1，)上的单调性，再求最小值；(2)根据f(x)min0求a的范围，而求f(x)min应对a分类讨论解(1)当a时，f(x)x2，f(x)10，x1，)，即f(x)在1，)上是增函数，f(x)minf(1)1
8、2.4分(2)f(x)x2，x1，)法一：当a0时，f(x)在1，)内为增函数f(x)minf(1)a3.要使f(x)0在x1，)上恒成立，只需a30，3a0.7分当0a1时，f(x)在1，)内为增函数，f(x)minf(1)a3，a30，a3，0a1.综上所述，f(x)在1，)上恒大于零时，a的取值范围是(3,1.15分法二：f(x)x20，x1，x22xa0，8分a(x22x)，而(x22x)在x1时取得最大值3，3a1，即a的取值范围为(3,1.15分规律方法利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f(x)在闭区间a，b上是增函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小
9、值为f(a)请思考，若函数f(x)在闭区间a，b上是减函数呢？变式训练2函数f(x)(x2)的最大值为_2法一：f(x)，x2时，f(x)0恒成立，f(x)在2，)上单调递减，f(x)在2，)上的最大值为f(2)2.法二：f(x)1，f(x)的图象是将y的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的y在2，)上单调递减，f(x)在2，)上单调递减，故f(x)在2，)上的最大值为f(2)2.法三：由题意可得f(x)1.x2，x11，01，112，即12.故f(x)在2，)上的最大值为2.函数单调性的应用角度1比较大小(2017浙江冲刺卷四)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在区间0,1上是增函数，则()AfffBfffCfffDff0，所以fff(0)0，即有ff0，又ff(0)0，则ff0，从而有ff1时，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.3分(2)证明：任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，当x1时，f(x)0，f0，5分即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数.9分(3)f(x)在(0，)上是单调递减函数，f(x)在2,9上的最小值为f(9)由ff(x1)f(x2)，得ff(9)f(3)，12分而f(3)1，f(9)2.f(x)在2,9上的最小值为2.15分
