1、 数学试题（十一）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则的子集的个数是（ ）A 1 B 2 C4 D 82.已知为虚数单位，则复数=（ ）A B C D3.已知函数关于直线对称，且周期为2，当时，则（ ）A0 B C D14.已知，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5.已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则6.若直线与直线平行，则的值为（ ）A -2 B -1 C D 17.
2、某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（ ）A10 B9 C8 D78.依次连接正六边形各边的中点，得到一个小正六边形，再依次连接这个小正六边形各边的中点，得到一个更小的正六边形，往原正六边形内随机洒一粒种子，则种子落在最小的正六边形内的概率为（ ）A B C D9.已知等差数列的前项和为，定义为数列的前项奇数项之和，则（ ）A B C D10.设均为正数，且，则的最小值为（ ）A16 B15 C10 D911.在中，角所对的边分别
3、为，已知，且，则面积的最大值为（ ）A2 B1 C D12.如图所示，已知椭圆的左、右焦点分别为，点与的焦点不重合，分别延长到，使得，是椭圆上一点，延长到，若，则（ ）A 10 B5 C 6 D 3第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数的定义域为 .14.下图是一个算法的流程图，则最后输出的值为 .15. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 .16.已知数列为等比数列，若，则的值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的
4、最小正周期；（2）求函数在上的值域.18. （本小题满分12分）某市为增强市民的环境保护意识，征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第一组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该市决定从3,4组抽取的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.19. （本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）若，试在上找一点，使平面，并证明你的结
5、论.20. （本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点.（1）若直线过焦点，且与抛物线交于两点，若是的一个靠近点的三等分点，且点的横坐标为1，弦长时，求抛物线的方程；（2）在（1）的条件下，若是抛物线上位于曲线（为坐标原点，不含端点）上的一点，求的最大面积.21. （本小题满分12分）设函数.（1）当时，求函数曲线在区间上的最值；（2）若恒成立，求实数的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，为圆的切线，为切点，交圆于两点，的角平分线与和圆分别交于点和.（1）求证：；（
6、2）求的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若分别是曲线和上的任意一点，求的最小值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知为非零实数，且，.（1）求证：；（2）求实数的取值范围.参考答案1.C 因为，所以，所以的子集的个数是，故选.2.A ，故选A.3.B ，故选B.4.C 由，得；由，得，则“”是“”的充要条件，故选C.5.B 中，由线面垂直的判定定理可知，需满足：是两条相交直线
7、，结论才成立，故项错误；中，因为，所以. 又，所以，故项正确；中，由线面平行的判定定理可知，需满足：在平面外，结论才成立，故项错误；中，与还可以相交或异面，故项错误，故选.6.A 因为直线与直线平行，所以，解得，故选.7.A 因为高一学生210人，从高一学生中抽取的人数为7人，所以每人抽取1人，所以从高三学生中抽取的人数应为. 故选A.8.B 如图，原正六边形为，最小的正六边形为，设，由已知得， ，所以由几何概型得，种子落在最小的正六边形内的概率为，故选B.9.C 由已知得，解得，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以.10.D 因为均为正数，且，所以，整理可得：，由基本不等式可得，整
8、理可得，解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号，故的最小值为9，故选D.11.D 由正弦定理得，即，代入余弦定理得，所以，又由，得，解得，所以面积为，当且仅当时等号成立，故面积的最大值为，故选D.12.A 由，得，得，所以，又已知，所以，所以，所以，所以，所以，又根据椭圆的定义，得，所以，故选A.13. 由题意得，解得，即函数的定义域为.14.-9 根据流程图知，第一次循环后，；第二次循环后，；第三次循环后，此时，退出循环，故输出.15. 根据几何体的三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥，则，则，在中，由余弦定理得：，则，所以，所以三棱锥中，面积最大的面是，其面积为.16.64 .17.解:
9、（1）因为，所以函数的最小正周期.（2）因为，所以，所以，所以，所以函数在上的值域是.18解：（1）由频率直方图可知：第3组的人数为，第4组的人数为，第5组的人数为，所以用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：，第4组：，第5组：，所以应从第3,4,5组中分别抽取3人，2人，1人.（2）记第3组的3名志愿者为，第4组的2名志愿者为.则5名志愿者中抽取2名志愿者有：，共10种，其中第4组的2名志愿者为，至少有一名志愿者被抽中的有：共有7种.所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为.19（1）证明：如图，连结（为的中点），由分别为的中点，可得，又因为平面，平面
10、，所以平面，所以由是直三棱柱，从而有平面.（2）解：作交于，延长交于，连接，则平面，点即为所求.因为平面，又平面，所以.又，,所以平面.此时点为的中点.20.解：（1）设点，则，所以由抛物线的定义，得，解得，所以抛物线的方程为.（2）由（1）得，焦点，.将代入抛物线中，得，得点；将代入抛物线中，得，得点.当取点时，点，此时直线的方程为.数形结合易知，当与直线平行的直线与抛物线相切于第一象限的点时，的面积取得最大值.由，得，取导数，令，得.将代入抛物线中，得.所以当点的坐标为时，的面积取得最大值，此时点到直线的距离是，所以的最大面积是.当取点时，点，同理，也验证的最大面积是；综上，的最大面积是.
11、21.解：（1）当时，其定义域为，则.令，得；令，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数在区间上的最小值为；又，且，所以，所以函数在区间上的最大值为.（2）当时，令，得；令，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以函数在区间上的最小值为；若恒成立，则，即，即，又因为，所以，解得，所以；当时，恒成立，所以符合题意；当时，令，得；令，得，所以函数在区间上单调递增在区间上单调递减且数形结合易知，一定存在某个，使得在区间上，函数的图象在函数的图象的下方，即满足，即，即.所以不恒成立，故不符合题意，舍去；综上，实数的取值范围是.22.证明：（1）因为为圆的切线，所以由弦切角定理得：.又为公共角，所以，所以.（2）解：因为为圆的切线，是过点的割线，所以，所以.又因为，所以.又由（1）知，所以.连接，则.所以.所以.所以.23.解：（1）因为，所以.即.所以曲线的直角坐标方程为.（2）设，易知，所以，当，取得最小值，所以24.（1）证明：由柯西不等式得，即，所以.（2）解：由已知得：，.所以，即，解得或.又，所以，即实数的取值范围是.
