1、课时分层训练(十一)函数与方程A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1若函数f (x)axb有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是()【导学号：66482079】A0,2B0，C0， D2，C由题意知2ab0，即b2a.令g(x)bx2ax0，得x0或x.2函数f (x)exx2的零点所在的区间为()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)C因为f (0)e00210，f (1)e112e10，故f (0)f (1)0，故选C.3函数f (x)2xx32在区间(0,2)内的零点个数是()A0B1 C2D3B由指数函数、幂函数的性质可知，f (x)2xx32在区间(
2、0,2)内递增，且f (0)10，f (2)100，所以f (0)f (2)0，即函数f (x)2xx32在区间(0,2)内有唯一一个零点，故选B.4已知函数f (x)则使函数g(x)f (x)xm有零点的实数m的取值范围是()A0,1) B(，1)C(，1(2，) D(，0(1，)D函数g(x)f (x)xm的零点就是方程f (x)xm的根，画出h(x)f (x)x的大致图像(图略)观察它与直线ym的交点，得知当m0或m1时，有交点，即函数g(x)f (x)xm有零点5(2016湖北七校2月联考)已知f (x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数yf (2x21)f (x)只有一个零点，则实数
3、的值是()【导学号：66482080】A.B CDC令yf (2x21)f (x)0，则f (2x21)f (x)f (x)，因为f (x)是R上的单调函数，所以2x21x只有一个实根，即2x2x10只有一个实根，则18(1)0，解得.故选C.二、填空题6已知关于x的方程x2mx60的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是_(，1)设函数f (x)x2mx6，则根据条件有f (2)0，即42m60，解得m1.7(2016浙江高考)设函数f (x)x33x21，已知a0，且f (x)f (a)(xb)(xa)2，xR，则实数a_，b_.21f (x)x33x21，则f (a)a33a
4、21，f (x)f (a)(xb)(xa)2(xb)(x22axa2)x3(2ab)x2(a22ab)xa2bx33x2a33a2.由此可得a0，由得a2b，代入式得b1，a2.8(2015湖南高考)若函数f (x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_(0,2)由f (x)|2x2|b0得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图像，如图所示，则当0b2时，两函数图像有两个交点，从而函数f (x)|2x2|b有两个零点三、解答题9已知函数f (x)x3x2.证明：存在x0，使f (x0)x0.证明令g(x)f (x)x. 2分g(0)，gf ，g(0)g0. 7分
5、又函数g(x)在上连续，存在x0，使g(x0)0，即f (x0)x0. 12分10已知二次函数f (x)x2(2a1)x12a，(1)判断命题：“对于任意的aR，方程f (x)1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若yf (x)在区间(1,0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围.【导学号：66482081】解(1)“对于任意的aR，方程f (x)1必有实数根”是真命题依题意，f (x)1有实根，即x2(2a1)x2a0有实根. 3分因为(2a1)28a(2a1)20对于任意的aR恒成立，即x2(2a1)x2a0必有实根，从而f (x)1必有实根. 5分(2)依题意，要使yf (x)在区
6、间(1,0)及内各有一个零点，只需7分即解得a. 10分故实数a的取值范围为. 12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017郑州模拟)已知函数f (x)(aR)，若函数f (x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A(，1) B(，1C1,0) D(0,1D因为当x0时，f (x)2x1，由f (x)0得x.所以要使f (x)在R上有两个零点，则必须2xa0在(，0上有唯一实数解又当x(，0时，2x(0,1，且y2x在(，0上递增，故所求a的取值范围是(0,12函数f (x)则函数yf f (x)1的所有零点所构成的集合为_.【导学号：66482082】由题意知f f (x)1，由f
7、 (x)1得x2或x，则函数yf f (x)1的零点就是使f (x)2或f (x)的x的值解f (x)2得x3或x，解f (x)得x或x，从而函数yf f (x)1的零点构成的集合为.3若关于x的方程22x2xaa10有实根，求实数a的取值范围.【导学号：66482083】解法一(换元法)：设t2x(t0)，则原方程可变为t2ata10，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根令f (t)t2ata1. 3分若方程(*)有两个正实根t1，t2，则解得1a22；6分若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则f (0)a10，解得a1；9分若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f (0)0且0，解得a1.综上，a的取值范围是(，22. 12分法二(分离变量法)：由方程，解得a，3分设t2x(t0)，则a2，其中t11，9分由基本不等式，得(t1)2，当且仅当t1时取等号，故a22. 12分
