1、湖北省黄冈市2017届高三3月份质量检测理数试题一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,集合,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】集合,集合,所以,故选A.2. 设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称,若,是虚数单位,则的虚部为( )A. B. C. D. 【答案】A考点:复数的运算3. 下列四个结论:若,则恒成立;命题“若,则”的逆否命题为“若,则”;“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件;命题“”的否定是“”.其中正确结论的个数是( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C考
2、点:1.向量的坐标运算;2.三角恒等变换;3.三角函数的性质.【名师点睛】本题考查逻辑联结词与命题、特称命题与全称命题,属中档题;全称命题的否定与特称命题的否定是高考考查的重点,对特称命题的否定,将存在换成任意,后边变为其否定形式,注意全称命题与特称命题否定的书写,是常规题,很好考查了学生对双基的掌握程度.4. 孙子算经中有道算术题:“今有百鹿人城,家取一鹿不尽,又三家共一鹿适尽,问城中家几何?”意思是有100头鹿,每户分1头还有剩余;再每3户共分1头,正好分完,问共有多少户人家?设计框图如下,则输出的值是( )A. 74 B. 75 C. 76 D. 77【答案】B【解析】由题意可知,当时,
3、即时,结束循环,输出,此时,故选B.5. 某一简单几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】几何体为一个正四棱柱,底面正方形边长为,侧棱长为3,外接球球心为上下底面中心连线的中点,球半径为 , 表面积是,选C. 6. 已知,则( )A. 或0 B. 或0 C. D. 【答案】A7. 已知双曲线的左、右焦点分别为,双曲线的离心率为,若双曲线上一点使,则的值为( )A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B【解析】试题分析:双曲线的左、右焦点分别为,可得,在中,由正弦定理得,又结合这两个条件得,由余弦定理可得,故选B.考点:1、双曲线的定义
4、;2、正弦定理、余弦定理及平面向量数量积公式.8. 函数的图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数为偶函数,故排除B.当时,,,当时,函数单调递减,当时,函数单调递增故选D.9. 已知事件“在矩形的边上随机取一点,使的最大边是”发生的概率恰好为,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】记“在矩形的边上随机取一点,使的最大边是”为事件,试验的全部结果构成的长度即为线段,为中点,若的最大边是”发生的概率为,则,设,则,则,则时,即,即,所以,即故选:C.10. 已知,则( )A. 2017 B. 4034 C. D. 0【答案】C点睛:本题主要考查二项展开的相关性质
5、,求二项式系数和的问题一般都是赋值法,本题中,要求的式子中都带着一个常数,观察常数恰为每一项的指数,故利用求到即可得到,再令即可.11. 如图,矩形中,为边的中点,将沿直线翻转成,构成四棱锥,若为线段的中点,在翻转过程中有如下4个命题:平面;存在某个位置,使;存在某个位置,使;点在半径为的圆周上运动,其中正确的命题个数是( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C【解析】取中点,连接,则,所以平面平面,所以平面,故正确因为在平面中的射影为,与不垂直,所以存在某个位置,使不正确,故不正确。由,可得平面平面时,,故正确。的中点是定点=, 所以点是在以为圆心,为半径的圆上,故正确,
6、故正确,故选C.12. 已知函数,如在区间上存在个不同的数,使得比值成立,则的取值集合是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为的几何意义为点)与原点的连线的斜率,所以的几何意义为点与原点的连线有相同的斜率,函数的图象,在区间上,与的交点个数有1个,2个或者3个,故或,即的取值集合是,故选:B.点睛:本题考查两函数的交点问题,通过分析信息得到的图象,在区间上,与的交点个数.确定零点的个数问题:可利用数形结合的办法判断交点个数,如果函数较为复杂,可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题,可参变分离,转化为求函数的值域问题处理. 恒
7、成立问题以及可转化为恒成立问题的问题,往往可利用参变分离的方法,转化为求函数最值处理也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.第卷(非选择题 共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 已知两个平面向量满足,且与的夹角为,则_【答案】2【解析】试题分析:考点:向量数量积【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法:一是夹角公式ab|a|b|cos ;二是坐标公式abx1x2y1y2;三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.14. 当实数满足不
8、等式组:时,恒有成立,则实数的取值范围是_【答案】【解析】试题分析:满足不等式组的平面区域如图所示,由于对任意的实数,不等式恒成立,根据图形,可得斜率或,解得,则实数的取值范围是考点:简单的线性规划的应用【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划的应用,其中解答中涉及直线的斜率公式,二元一次不等式所表示的平面区域,不等式的恒成立问题等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及数形结合和转化思想的应用,本题的解答中正确画出约束条件所表示的平面区域,合理转化恒成立问题是解答的关键,属于中档试题15. 如图,在中,点在线段上,且,则的面积为_【答案】【解析】因为,所以两边同时平方,
9、得:,有,解得,.16. 设,在上恒成立,则的最大值为_【答案】2017点睛:本题属于恒成立问题,需要将不等式问题转化为函数零点问题,这是解题的难点和突破口,另外,对参数的分类讨论,结合一次函数和二次函数的图象和性质,根据的范围来确定的范围,最后才能求出的最大值。三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 数列中,.(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;(2)设,若数列的前项和是,求证:.【答案】() ;() 见解析.【解析】试题分析:(1)将原式两边除以,结合等比数列的定义和通项公式,即可得证;(2)运用数列的求和方法:裂项相消求和,结
10、合不等式的性质,即可得证试题解析:()由题设,数列是首项为2,公比的等比数列 所以, () ,注意对任意, 所以 所以 18. 在如图所示的几何体中,平面 平面,四边形是菱形,是矩形,是中点.(1)求证:平面平面;(2)在线段上是否存在点,使二面角的大小为?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.【答案】()见解析;() 【解析】试题分析:(1)推导出,进而平面,由此能证明平面平面(2)以为原点,为轴建立如图所示的坐标系,求出平面的一个法向量、平面的法向量利用向量的夹角公式,建立方程,即可得出结论试题解析:()连结BD,由四边形是菱形,是的中点. 所以, 因为四边形是矩形,平面平面且交线为所以
11、平面,又平面,所以又,所以平面;又平面,所以平面平面;()方法1:由,故,因为四边形是矩形,平面平面且交线为,所以平面;以为原点,为轴建立如图所示的坐标系,则,设(),平面,平面的法向量为 设平面的法向量为,即,取,假设在线段上存在点,使二面角的大小为则,所以点在线段上,符合题意的点存在,此时 () 方法2:如图所示,假设在线段上存在点,使二面角的大小为延长交于点则,过作于,连结因为四边形是矩形,平面平面,所以平面,又在平面内,所以又,所以,是二面角的平面角, 由题意,在中,, .由面积公式可得,所以在中,所以点在线段上,符合题意的点存在,此时 点睛:利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”
12、:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.19. 已知6只小白鼠有1只被病毒感染,需要通过对其化验病毒来确定是否感染.下面是两种化验方案:方案甲:逐个化验,直到能确定感染为止.方案乙:将6只分为两组,每组三个,并将它们混合在一起化验,若存在病毒,则表明感染在这三只当中,然后逐个化验,直到确定感染为止;若结果不含病毒,则在另外一组中逐个进行化验.(1)求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率.(2)首次化验化验费为10元,第二次化验化验费为8元,第三次及其以后每次化验费都是6元,列出方
13、案甲所需化验费用的分布列,并估计用方案甲平均需要体验费多少元?【答案】(1);(2)分布列见解析,.【解析】试题分析:(1)方案乙中所需化验次数恰好为2次的事件有两种情况:第一种,先化验一组,结果不含病毒DNA,再从另一组任取一个样品进行化验,可得恰含有病毒的概率;第二种,先化验一组,结果含有病毒DNA,再从中逐个化验,恰第一个样品含有病毒的概率,利用互斥事件的概率计算公式即可得出;(2)设方案甲化验的次数为,则可能的取值为1,2,3,4,5,对应的化验费为元,利用相互独立事件的概率计算公式可得:,(2)设方案甲化验的次数为,则可能的取值为1,2,3,4,5,对应的化验费用为元,则,则其化验费
14、用的分布列为所以(元).所以甲方案平均需要化验费元20. 如图,圆与轴相切于点,与轴正半轴相交于两点(点在点的下方),且.(1)求圆的方程;(2)过点任作一条直线与椭圆相交于两点,连接、,求证:.【答案】()圆的方程为()见解析(2)把代入方程,解得或.即点,当轴时,可知;当与轴不垂直时,可设直线的方程为.联立方程,消去得,设直线交椭圆于,则,若,即,.21. 已知函数.(1)若,恒有成立,求实数的取值范围;(2)若函数有两个极值点,求证:.【答案】(1);(2)见解析.【解析】试题分析:(1)分离参数,构造函数,利用导数求出函数的最值即可;(2)函数有两个极值点,即导函数有两个不同的实数根,
15、对进行分类讨论,令,构造,利用的单调性证明不等式即可.(2)函数有两个相异的极值点,即有两个不同的实数根当时, 单调递增, 不可能有两个不同的实根;当时,设,当时,单调递增;当时,单调递减;,不妨设,先证,即证,即证,令,即证,设,则,函数在单调递减,又,请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系中,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线的极坐标方程为,点的极坐标为,在平面直角坐标系中,直线经过点,斜率为.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程;(2)设直线与曲线相交于两点,求的值.【答案】()曲线: , (为参数);()试题解析
16、:()曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为,点的极坐标为:,化为直角坐标为直线的参数方程为,即 (为参数)()将的参数方程代入曲线的直角坐标方程,得,整理得:,显然有,则,所以23. 已知函数.(1)当时,求的解集;(2)若的解集包含集合,求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2).【解析】试题分析:(1)根据绝对值的意义,分类讨论,得到不等式组,求解各个不等式组,取并集得到不等式的解集;(2)把的解集包含,转化为当时,不等式恒成立,利用绝对值不等式的意义,即可求解实数的取值范围.(2)的解集包含,当时, 不等式恒成立,即在上恒成立,即,在上恒成立,的取值范围是.考点:绝对值不等式的求解;绝对值的几何意义