1、湖北省黄冈市2017届高三3月份质量检测理数试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】集合,集合,所以,故选A.2. 设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，若，是虚数单位，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】A考点：复数的运算3. 下列四个结论：若，则恒成立；命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；命题“”的否定是“”.其中正确结论的个数是（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C考
2、点：1.向量的坐标运算；2.三角恒等变换；3.三角函数的性质.【名师点睛】本题考查逻辑联结词与命题、特称命题与全称命题，属中档题；全称命题的否定与特称命题的否定是高考考查的重点，对特称命题的否定，将存在换成任意，后边变为其否定形式，注意全称命题与特称命题否定的书写，是常规题，很好考查了学生对双基的掌握程度.4. 孙子算经中有道算术题：“今有百鹿人城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”意思是有100头鹿，每户分1头还有剩余；再每3户共分1头，正好分完，问共有多少户人家？设计框图如下，则输出的值是（ ）A. 74 B. 75 C. 76 D. 77【答案】B【解析】由题意可知，当时，
3、即时，结束循环，输出，此时，故选B.5. 某一简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】几何体为一个正四棱柱,底面正方形边长为,侧棱长为3,外接球球心为上下底面中心连线的中点,球半径为 , 表面积是,选C. 6. 已知，则（ ）A. 或0 B. 或0 C. D. 【答案】A7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的离心率为，若双曲线上一点使，则的值为（ ）A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B【解析】试题分析：双曲线的左、右焦点分别为，可得，在中，由正弦定理得，又结合这两个条件得，由余弦定理可得,故选B.考点：1、双曲线的定义
4、；2、正弦定理、余弦定理及平面向量数量积公式.8. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数为偶函数，故排除B.当时，,，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增故选D.9. 已知事件“在矩形的边上随机取一点，使的最大边是”发生的概率恰好为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】记“在矩形的边上随机取一点，使的最大边是”为事件，试验的全部结果构成的长度即为线段，为中点，若的最大边是”发生的概率为，则，设,则，则，则时，即，即，所以，即故选：C.10. 已知，则（ ）A. 2017 B. 4034 C. D. 0【答案】C点睛：本题主要考查二项展开的相关性质
5、，求二项式系数和的问题一般都是赋值法，本题中，要求的式子中都带着一个常数，观察常数恰为每一项的指数，故利用求到即可得到，再令即可.11. 如图，矩形中，为边的中点，将沿直线翻转成，构成四棱锥，若为线段的中点，在翻转过程中有如下4个命题：平面；存在某个位置，使；存在某个位置，使；点在半径为的圆周上运动，其中正确的命题个数是（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C【解析】取中点,连接,则,所以平面平面,所以平面，故正确因为在平面中的射影为，与不垂直，所以存在某个位置,使不正确，故不正确。由,可得平面平面时,，故正确。的中点是定点=, 所以点是在以为圆心,为半径的圆上，故正确，
6、故正确，故选C.12. 已知函数，如在区间上存在个不同的数，使得比值成立，则的取值集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为的几何意义为点)与原点的连线的斜率，所以的几何意义为点与原点的连线有相同的斜率，函数的图象,在区间上，与的交点个数有1个，2个或者3个，故或，即的取值集合是，故选：B.点睛：本题考查两函数的交点问题，通过分析信息得到的图象,在区间上，与的交点个数.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒
7、成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.第卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知两个平面向量满足，且与的夹角为，则_【答案】2【解析】试题分析：考点：向量数量积【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式ab|a|b|cos ；二是坐标公式abx1x2y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.14. 当实数满足不
8、等式组：时，恒有成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：满足不等式组的平面区域如图所示，由于对任意的实数，不等式恒成立，根据图形，可得斜率或，解得，则实数的取值范围是考点：简单的线性规划的应用【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中涉及直线的斜率公式，二元一次不等式所表示的平面区域，不等式的恒成立问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合和转化思想的应用，本题的解答中正确画出约束条件所表示的平面区域，合理转化恒成立问题是解答的关键，属于中档试题15. 如图，在中，点在线段上，且，则的面积为_【答案】【解析】因为，所以两边同时平方，
9、得：，有，解得，.16. 设，在上恒成立，则的最大值为_【答案】2017点睛：本题属于恒成立问题，需要将不等式问题转化为函数零点问题，这是解题的难点和突破口，另外，对参数的分类讨论，结合一次函数和二次函数的图象和性质，根据的范围来确定的范围，最后才能求出的最大值。三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 数列中，.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，若数列的前项和是，求证：.【答案】() ;() 见解析.【解析】试题分析：（1）将原式两边除以，结合等比数列的定义和通项公式，即可得证；（2）运用数列的求和方法：裂项相消求和，结
10、合不等式的性质，即可得证试题解析：()由题设，数列是首项为2，公比的等比数列 所以， () ，注意对任意， 所以 所以 18. 在如图所示的几何体中，平面 平面，四边形是菱形，是矩形，是中点.（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.【答案】()见解析；() 【解析】试题分析：（1）推导出，进而平面，由此能证明平面平面（2）以为原点，为轴建立如图所示的坐标系，求出平面的一个法向量、平面的法向量利用向量的夹角公式，建立方程，即可得出结论试题解析：()连结BD，由四边形是菱形，是的中点. 所以， 因为四边形是矩形，平面平面且交线为所以
11、平面，又平面，所以又，所以平面；又平面，所以平面平面；()方法1：由，故，因为四边形是矩形，平面平面且交线为，所以平面；以为原点，为轴建立如图所示的坐标系，则，设（），平面，平面的法向量为 设平面的法向量为，即，取，假设在线段上存在点，使二面角的大小为则，所以点在线段上，符合题意的点存在，此时 () 方法2：如图所示，假设在线段上存在点，使二面角的大小为延长交于点则,过作于,连结因为四边形是矩形，平面平面，所以平面，又在平面内，所以又,所以，是二面角的平面角， 由题意，在中，, .由面积公式可得，所以在中，所以点在线段上，符合题意的点存在，此时 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”
12、：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19. 已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化验病毒来确定是否感染.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止.方案乙：将6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒，则在另外一组中逐个进行化验.（1）求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率.（2）首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方
13、案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要体验费多少元？【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】试题分析：（1）方案乙中所需化验次数恰好为2次的事件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不含病毒DNA，再从另一组任取一个样品进行化验，可得恰含有病毒的概率；第二种，先化验一组，结果含有病毒DNA，再从中逐个化验，恰第一个样品含有病毒的概率，利用互斥事件的概率计算公式即可得出；（2）设方案甲化验的次数为，则可能的取值为1，2，3，4，5，对应的化验费为元，利用相互独立事件的概率计算公式可得：，（2）设方案甲化验的次数为，则可能的取值为1,2,3,4,5,对应的化验费用为元,则，则其化验费
14、用的分布列为所以（元）.所以甲方案平均需要化验费元20. 如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的下方），且.（1）求圆的方程；（2）过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接、，求证：.【答案】（）圆的方程为（）见解析（2）把代入方程，解得或.即点，当轴时，可知；当与轴不垂直时，可设直线的方程为.联立方程，消去得，设直线交椭圆于，则，若，即，.21. 已知函数.（1）若，恒有成立，求实数的取值范围；（2）若函数有两个极值点，求证：.【答案】（1）;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可；（2）函数有两个极值点，即导函数有两个不同的实数根，
15、对进行分类讨论，令，构造，利用的单调性证明不等式即可.（2）函数有两个相异的极值点，即有两个不同的实数根当时， 单调递增， 不可能有两个不同的实根；当时，设，当时，单调递增；当时，单调递减；，不妨设，先证，即证，即证，令，即证，设，则，函数在单调递减，又，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线的极坐标方程为，点的极坐标为，在平面直角坐标系中，直线经过点，斜率为.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.【答案】（）曲线: ， (为参数);（）试题解析
16、：（）曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，点的极坐标为：，化为直角坐标为直线的参数方程为，即 (为参数)（）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，整理得：，显然有，则，所以23. 已知函数.（1）当时，求的解集；（2）若的解集包含集合，求实数的取值范围.【答案】（1） ;（2）.【解析】试题分析：（1）根据绝对值的意义，分类讨论，得到不等式组，求解各个不等式组，取并集得到不等式的解集；（2）把的解集包含,转化为当时,不等式恒成立，利用绝对值不等式的意义，即可求解实数的取值范围.（2）的解集包含,当时, 不等式恒成立,即在上恒成立,即,在上恒成立,的取值范围是.考点：绝对值不等式的求解；绝对值的几何意义