1、7.3 正切函数的诱导公式教学分析 正切函数的诱导公式是高中阶段最后研究的一个函数的压轴公式,它前承正、余弦函数,后有同角三角函数的基本关系,不仅是对正、余弦诱导公式探究方法的一种再现,更是一种提升,同时又为以后研究三角函数问题奠定了基石.教材安排上是单刀直入,只给出正切函数图像,没有给出任何提示就直接得出诱导公式.教材这样处理很微妙,说明正切函数与正弦、余弦函数在研究方法上类似,学生完全可以运用类比的思想方法自己得出结论,这样处理发展了学生的思维,留给了学生一定的提示空间;这样不仅发挥了学生的主观能动性,增强动脑、动手的能力,而且在此过程中,学生更会有一个回顾及施展自己能力的机会.教学过程中
2、,教师不要侵占了学生这一空间. 我们已经看出来,在正、余弦函数中,是先学诱导公式,再学图像与性质的,而在学正切函数时,却是先学图像与性质,再学诱导公式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图像,通过观察图像获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识如正切函数的定义、正切线等先来研究图像和性质,再来研究它的诱导公式.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法. 三维目标1知识与技能理解正切函数的定义，了解正切线的概念
3、，会画正切函数的图像理解正切函数的性质，并能掌握正切函数的诱导公式2过程与方法通过正切函数的学习，培养学生运用数形结合思想分析、解决问题的能力3情感、态度与价值观通过本节的学习，培养学生严谨的学习态度，培养学生类比推理问题的能力，从而形成从具体到抽象、从感性到理性的思维过程重点难点教学重点:正切函数的概念、诱导公式及其应用.教学难点:熟练运用诱导公式和性质对三角函数进行求值、化简和比较大小课时安排1课时教学过程一导入新课思路1.先让学生回忆正弦、余弦函数诱导公式的探究过程,因是在学习正弦、余弦函数图像与性质前,所以是借助单位圆推得的.学过正弦、余弦函数图像后,你能从正弦、余弦函数图像上看出来吗
4、？我们上节课已经学过了正切函数的图像和性质,你能观察归纳出正切函数的诱导公式吗？让学生画图归纳正切函数的诱导公式,由此展开新课.思路2.设置情景,先让学生画正切函数图像二提出问题，新课引入观察图像得到 归纳角与2+,2-,-,-,+的正切函数值的关系.角与角有怎样的关系？类比正弦、余弦诱导公式的记忆方法,怎样记忆正切函数的诱导公式？学过三角函数诱导公式后,想一想,怎样将任意角的三角函数问题转化为锐角三角函数的问题？活动:学生完成问题的计算后,心中就已经有了结论;然后教师让学生动手画出正切函数图像,以加强学生对正切函数图像的感知;实际上,学生画图的过程就是集中注意力对已有的猜想进行进一步观察、思
5、考、归纳、验证的过程.教师适时地演示课件,动态演示函数ytanx与y=tan(2+x),y=tanx与y=tan(-x),y=tanx与y=tan(2-x),y=tanx与y=tan(-x),y=tanx与y=tan(+x)的图像,让学生观察同一自变量的值所对应不同函数的函数值之间的关系,从而归纳得出正切函数以下的诱导公式:图1tan(2+)tan;tan(-)=-tan;tan(2-)-tan;tan(-)-tan;tan(+)tan. 以上公式都叫作正切函数的诱导公式，它们分别反映了-, 2+,2-,-, + 的三角函数与的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？提示
6、：-, 2+,2-,-, +的三角函数值等于的同名函数值，再放上原函数的象限符号. 简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀我们可以验证,无论角是哪个象限的角,上面的诱导公式都是正确的;利用我们学习过的诱导公式很容易证明以下公式tan(+)=cot; tan(-)=cot.以上六个公式都叫作正切函数的诱导公式,其中角可以为使得等式两边都有意义的任意角.这样,我们就可以利用诱导公式将任意角的三角函数问题转化为锐角三角函数问题,利用三角函数诱导公式的变换程序可用如下的框图来表示: 要求学生熟记2,-,的正切函数的诱导公式,这些诱导公式可以帮助我们把任意角化到0,360)范围内,进而找到锐角,利用这些
7、熟知角进行化简、求值或证明等.让学生类比正弦、余弦函数诱导公式的记忆歌诀,自己得出正切函数诱导公式的记忆歌诀. 我们最熟悉的三角函数值是角在0到90之间,利用三角函数诱导公式,我们就能将0到360之内的角化为0到90之间的角来求它的三角函数值,对于任一0到360的角,有四种可能(其中为不大于90的非负角),解题时可根据题目条件灵活选用.=小试身手1.判断下列命题是否正确。（正确的打“”错误的打“”）(1)tan(2)tan ()(2)tan()tan ()(3)tan（/2）cot ( )2化简tan()tan(3) ()A0B2tan Ctan D2tan 3tan(1 920)的值是 ()
8、A 1 B1C. 3 D3三课堂练习题型一：利用正切函数诱导公式化简求值例1 ：化简求值 强调：在利用公式进行化简时，一定要注意公式变形时符号及函数名称是否变化变式训练：化.简 _.题型二：利用正切函数单调性比较大小例2：不求值，比较下列各组中的两个正切函数值的大小(1)tan 156与tan 171；(2)tan与tan .解：(1)90156171270，而90，270.函数ytan x在上是增加的，tan 156tan 171. (2)tantantantan，tantantantan.函数ytan x在上是增加的，而，tantan，即tantan.小结：比较tan 与tan 的大小时，
9、可利用诱导公式化为增区间上的角的正切值进行比较变式训练不求值，比较下列各组中两个正切函数值得大小 四课堂小结 让学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有哪些？在本节课的学习过程中,你的探究能力表现的如何？你对本节课学习的深刻体会有哪些？教师在此基础上进行画龙点睛:在运用诱导公式进行三角函数的求值或化简、证明中,使用了转化的数学思想,对角进行适当的变换,使之符合诱导公式中角的结构特征,培养了我们思维的灵活性,在发现正切函数诱导公式的过程中,提高了探究能力.要求熟记并灵活运用三角函数的诱导公式.要将本节知识纳入系统之中,从总体上把握诱导公式.五课后作业课本习题16 A组8、
10、10.六课后反思 本节教案设计主线是:始终抓住以类比思想,数形结合思想,让学生在巩固原有知识的基础上,通过类比,结合图形,由学生自己来对新知识进行分析、猜想、验证、应用,使新旧知识点有机地结合在一起,学生对新知识也较易接受;同时通过多媒体教学,使学生通过对图像的观察,对知识点的理解更加直观、形象,提高学生的学习兴趣,教学过程流畅,符合高中课程标准理念. 本节教案设计理念是:坚持以学生为本,以学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗透,合理运用各种教学课件,让学生学会通过对图像的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比、数形结合等重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果.
