1、2015年山东省日照市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数（i是虚数单位）的共轭复数表示的点在（） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【考点】： 复数的代数表示法及其几何意义【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 利用复数代数形式的乘除运算化简，求出表示点的坐标得答案【解析】： 解：=，z的共扼复数为，它表示的点为，在第三象限故选：C【点评】： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2（5分）已知集合M=x|x24x0，N=x|x|
2、2，则MN=（） A （2，4） B 2，4） C （0，2） D （0，2【考点】： 并集及其运算【专题】： 集合【分析】： 先求出集合M，N，再根据并集的定义求出即可【解析】： 解：集合M=x|x24x0=（0，4），N=x|x|2=2.2MN=2，4），故选：B【点评】： 本题考查了集合得并集运算，属于基础题3（5分）采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8抽到的50人中，编号落入区间1，400的人做问卷A，编号落入区间401，750的人做问卷B，其余的人做问卷C则抽到的人中，做问卷C
3、的人数为（） A 12 B 13 C 14 D 15【考点】： 系统抽样方法【专题】： 概率与统计【分析】： 由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an，由751an1000 求得正整数n的个数，即为所求【解析】： 解：由100050=20，故由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为an=8+（n1）20=20n12由 75120n121000 解得 38.2n50.6再由n为正整数可得 39n50，且 nZ，故做问卷C的人数为12，故选A【点评】： 本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法
4、，属于基础题4（5分）函数（e是自然对数的底数）的部分图象大致是（） A B C D 【考点】： 函数的图象【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 利用排除法，先判断函数的奇偶性，再根据函数的值域即可判断【解析】： 解：f（x）=f（x），函数f（x）为偶函数，排除A，B，0，故排除D，故选：C【点评】： 本题考查了图象的识别，根据函数的奇偶性和函数的值域，是常用的方法，属于基础题5（5分）下列说法不正确的是（） A 若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题 B 命题“x0R，x02x010”的否定是“xR，x2x10” C “=”是“y=sin（2x+）为偶函数”的充要条件 D a0时，
5、幂函数y=xa在（0，+）上单调递减【考点】： 命题的真假判断与应用【专题】： 简易逻辑【分析】： 分别根据复合命题真假之间的关系，含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解析】： 解：A若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题，正确B命题“x0R，x02x010”的否定是“xR，x2x10”，正确，C“=”是“y=sin（2x+）为偶函数”的充分不必要条件，故C错误Da0时，幂函数y=xa在（0，+）上单调递减，正确故选：C【点评】： 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，比较基础6（5分）执行如图所示的程序框图，输出的T=（） A 29 B 44 C 52
6、D 62【考点】： 循环结构【专题】： 算法和程序框图【分析】： 执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T，n的值，当S=12，n=4，T=29时，满足条件T2S，退出循环，输出T的值为29【解析】： 解：执行程序框图，有S=3，n=1，T=2，不满足条件T2S，S=6，n=2，T=8不满足条件T2S，S=9，n=3，T=17不满足条件T2S，S=12，n=4，T=29满足条件T2S，退出循环，输出T的值为29故选：A【点评】： 本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查7（5分）将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是（） A B C D
7、 【考点】： 函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 根据三角函数的图象变换关系进行求解即可【解析】： 解：将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=sin（），由=+k，即+2k，kZ，当k=0时，函数的对称轴为，故选：D【点评】： 本题主要考查三角函数的图象变换关系以及三角函数对称轴的计算，求出函数的解析式是解决本题的关键8（5分）变量 x y、满足线性约束条件，则目标函数 z=kxy，仅在点（0，2）取得最小值，则k的取值范围是（） A k3 B k1 C 3k1 D 1k1【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及
8、应用【分析】： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围【解析】： 解：作出不等式对应的平面区域，由z=kxy得y=kxz，要使目标函数y=kxz仅在点A（0，2）处取得最小值，则阴影部分区域在直线y=kxz的下方，目标函数的斜率k满足3k1，故选：C【点评】： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法根据条件目标函数 z=kxy，仅在点（0，2）取得最小值，确定直线的位置是解决本题的关键9（5分）函数y=的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为等比数列的公比的数是（） A B C D 【考点
9、】： 等比数列的通项公式；数列的函数特性【分析】： 由题意可知，函数图象为上半圆，根据图象可得圆上点到原点的最短距离为2，最大距离为8根据等比数列的性质建立方程，可计算出公比的范围，从而判断出结论【解析】： 解：函数y=的等价于，表示圆心在（5，0），半径为3的上半圆（如图所示），圆上点到原点的最短距离为2（点2处），最大距离为8（点8处），若存在三点成等比数列，则最大的公比q应有8=2q2，即q2=4，q=2，最小的公比应满足2=8q2，即q2=，解得q=又不同的三点到原点的距离不相等，故q1，公比的取值范围为q2，且q1，故选：D【点评】： 本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的定义，
10、等比中项以及函数作图，属中档题10（5分）在（1，+）上的函数f（x）满足：f（2x）=cf（x）（c为正常数）；当2x4时，f（x）=1（x3）2若f（x）图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上则c=（） A 1或 B C 1或3 D 1或2【考点】： 函数与方程的综合运用【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 由已知中定义在1，+）上的函数f（x）满足：f（2x）=cf（x）（c为正常数）；当2x4时，f（x）=1（x3）2我们可得分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，进而根据三点共线，则任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于c的方程，解方程可得答案【解析】： 解：
11、当2x4时，f（x）=1（x3）2当1x2时，22x4，则f（x）=f（2x）=1（2x3）2，此时当x=时，函数取极大值；当2x4时，f（x）=1（x3）2此时当x=3时，函数取极大值1；当4x8时，24，则f（x）=cf（）=c1（3）2，此时当x=6时，函数取极大值c函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点（，），（3，1），（6，c）共线，=，解得c=1或2故选：D【点评】： 本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11（5分）如果双曲线的一条渐
12、近线与直线平行，则双曲线的离心率为2【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 利用曲线的渐近线，推出a、b关系，然后求解离心率【解析】： 解：由题意双曲线的一条渐近线与直线平行，可知，可得，所以，离心率e=故答案为：2【点评】： 本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查12（5分）已知（ax+1）5的展开式中x2的系数与的展开式中x3的系数相等，则a=【考点】： 二项式定理的应用；二项式系数的性质【专题】： 计算题【分析】： 分别计算出（ax+1）5的展开式中x2的系数和的展开式中x3的系数，利用它们相等，建立方程关系，进行求解即可【解析】： 解：（a
13、x+1）5的展开式中x2的项为=10a2x2，x2的系数为10a2，与的展开式中x3的项为=5x3，x3的系数为5，10a2=5，即a2=，解得a=故答案为：【点评】： 本题主要考查二项式定理的应用，利用展开式的通项公式确定项的系数是解决本题的关键13（5分）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 画出几何体的直观图，然后利用三视图的数据求解几何体的体积即可【解析】： 解：由图知此几何体为边长为2的正方体裁去一个三棱锥（如右图），所以此几何体的体积为：2=故答案为：【点评】： 本题考查几何体的三视图与直观图的关系，
14、几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力14（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r=【考点】： 直线与圆的位置关系【专题】： 直线与圆【分析】： 设，由=+两边同时平方可求cos，结合的范围及公式可求，结合三角函数及点到直线的距离公式可求圆心O到直线x+y2=0的距离为d，进而可求r【解析】： 解：由题意可得，=r设，0，则=r2cos=+两边同时平方可得，=即cos=，且cos=设圆心O到直线x+y2=0的距离为d，则d=rcos=即r=故答案为：【点评】： 本题主要考查了直线与圆心的位置关系，三角
15、函数知识的灵活的应用是求解本题的关键15（5分）函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定（A，B）=叫曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数y=x3x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1，2，则（A，B）；（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；（3）设点A、B是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则（A，B）2；（4）设曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=1，若t（A，B）1恒成立，则实数t的取值范围是（，1）；以上正确命题的序号为（2）（3）（写
16、出所有正确的）【考点】： 命题的真假判断与应用【专题】： 函数的性质及应用；简易逻辑【分析】： 由新定义，利用导数逐一求出函数y=x3x2+1、y=x2+1在点A与点B之间的“弯曲度”判断（1）、（3）；举例说明（2）正确；求出曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“弯曲度”，然后结合t（A，B）1得不等式，举反例说明（4）错误【解析】： 解：对于（1），由y=x3x2+1，得y=3x22x，则，y1=1，y2=5，则，（A，B）=，（1）错误；对于（2），常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确；对于（3），设A（x1，y1），B（x2，y2
17、），y=2x，则kAkB=2x12x2，=（A，B）=，（3）正确；对于（4），由y=ex，得y=ex，（A，B）=t（A，B）1恒成立，即恒成立，t=1时该式成立，（4）错误故答案为：（2）（3）【点评】： 本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了函数恒成立问题，关键是对题意的理解，是中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分.16（12分）在ABC中，已知，cos（B）=（1）求sinA与B的值；（2）若角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值【考点】： 正弦定理【专题】： 三角函数的图像与性质；解三角形【分析】： （1
18、）利用诱导公式与同角三角函数基本关系式即可得出；（2）利用正弦定理与余弦定理即可得出【解析】： 解：（1），又0A，且0B，（2）由正弦定理得，另由b2=a2+c22accosB得49=25+c25c，解得c=8或c=3（舍去），b=7，c=8【点评】： 本题主要考查解三角形的基础知识，正、余弦定理，诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和与差的余弦公式等知识，考查了考生运算求解的能力，属于中档题17（12分）直三棱柱ABCA1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AEA1B1，D为棱A1B1上的点（1）证明：DFAE；（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平
19、面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由【考点】： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质【专题】： 空间位置关系与距离；空间向量及应用【分析】： （1）先证明ABAC，然后以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则能写出各点坐标，由与共线可得D（，0，1），所以=0，即DFAE； （2）通过计算，面DEF的法向量为可写成=（3，1+2，2（1），又面ABC的法向量=（0，0，1），令|cos，|=，解出的值即可【解析】： （1）证明：AEA1B1，A1B1AB，AEAB，又AA1AB，AA1AE=A，AB面A1ACC1，又AC面A1ACC1，ABAC，以A
20、为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），设D（x，y，z）， 且0，1，即（x，y，z1）=（1，0，0），则 D（，0，1），所以=（，1），=（0，1，），=0，所以DFAE； （2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为理由如下：设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，=（，），=（，1），即，令z=2（1），则=（3，1+2，2（1）由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，|cos，|=，即=，解得或（舍），所以当D
21、为A1B1中点时满足要求【点评】： 本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题18（12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2个、3个、4个，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3个，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球（1）若左右手各取一球，问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少？（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为X，求X的分布列和数学期望【考点】： 离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列【专题】：
22、计算题【分析】： （1）设事件A为“两手所取的球不同色”，由此能求出P（A）=1（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，左手所取的两球颜色相同的概率为=，右手所取的两球颜色相同的概率为=分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），由此能求出X的分布列和EX【解析】： 解：（1）设事件A为“两手所取的球不同色”，则P（A）=1（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，左手所取的两球颜色相同的概率为=，右手所取的两球颜色相同的概率为=P（X=0）=（1）（1）=；P（X=1）=；P（X=2）=X的分布列为：EX=0+1+2=【点评】： 本题考查概率的求法和求离散型随机变量的分布列和数学期望，是
23、历年高考的必考题型解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用19（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n，（nN*）（I）求数列an的通项公式；（II）设集合A=x|x=2n+2，nN*，B=x|x=2an，nN*，等差数列cn的任一项cnAB，其中c1是AB中的最小数，110c10115，求数列cn的通项公式【考点】： 数列的求和；交集及其运算【专题】： 点列、递归数列与数学归纳法；集合【分析】： （）利用an=SnSn1计算并验证即可；（）通过A、B间的包含关系可得c1=6，从而可得，利用110c10115，可得c10=114，根据等差数列的性质计算即可【解析】：
24、 解：（）当n2时，an=SnSn1=2n+1，当n=1时，a1=S1=3满足上式，所以数列an的通项公式为an=2n+1；（）A=x|x=2n+2，nN*，B=x|x=4n+2，nN*，AB=B又cnAB，其中c1是AB中的最小数，c1=6，cn的公差是4的倍数，又110c10115，解得m=27，所以c10=114，设等差数列的公差为d，则，cn=6+（n1）12=12n6，所以cn的通项公式为cn=12n6【点评】： 本题考查数列的基本性质，通项公式，集合的交集及其运算，注意解题方法的积累，属于中档题20（13分）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于A、B两点；
25、椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e=（1）求椭圆E的方程；（2）经过A、B两点分别作抛物线C的切线l1、l2，切线l1与l2相交于点M证明：ABMF；（3）椭圆E上是否存在一点M，经过点M作抛物线C的两条切线MA、MB（A、B为切点），使得直线AB过点F？若存在，求出抛物线C与切线MA、MB所围成图形的面积；若不存在，试说明理由【考点】： 圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题【专题】： 综合题；压轴题【分析】： （1）由点抛物线焦点F是椭圆的一个顶点可得b=1，由椭圆离心率e=得=，椭圆方程可求（2）要证明ABMF，只需证=0即可设直线l的方程为y=kx+，
26、1与双曲线方程联立，消去y，得到关于A，B点横坐标的一元二次方程，求两根的和与积，再用导数求过A，B点的切线方程，求出切点坐标，计算即可（3）先假设椭圆E上存在点M，经过点M作抛物线C的两条切线MA、MB（A、B为切点），直线AB过点F再根据假设与已知条件去求M坐标，如果存在，用所求结果求抛物线C与切线MA、MB所围成图形的面积【解析】： 解：（1）设椭圆E的方程为，半焦距为c由已知条件，F（0，1），b=1，=，a2=b2+c2，解得a=2，b=1所以椭E的方程为（2）显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意，故可设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1）B（x2
27、，y2）（x1x2）与抛物线方程联立，消去y，并整理得，x24kx4=0x1x2=4抛物线的方程为y=x2，求导得y=x，过抛物线上A，B两点的切线方程分别是yy1=x1（xx1），yy2=x2（xx2）即y=x1x，y=x2xx22解得两条切线的交点M的坐标为（，1）=0ABMF（3）假设存在点M满足题意，由（2）知点M必在直线y=1上，又直线y=1与椭圆有唯一交点，故M的坐标为（01），设过点M且与抛物线C相切的切线方程为yy0=x0（xx0）：，其中点（x0，y0）为切点令x=0，y=1得，1x02=x0（0x0），解得x0=2或x0=2，故不妨取A（2，1）B（2，1），即直线AB过点
28、F综上所述，椭圆E上存在一点M（0，1），经过点M作抛物线C的两条切线MA、MB（A、B为切点），能使直线AB过点F此时，两切线的方程分别为y=x1和y=x1抛物线C与切线MA、MB所围成图形的面积为=【点评】： 本题考查了抛物线，椭圆与直线导数等的综合应用，属于较难题型，做题适应认真分析，找到他们的联系点21（14分）已知函数f（x）=lnxx2+x（I）求函数f（x）的单调递减区间；（）若关于x的不等式f（x）（1）x2+ax1恒成立，求整数a的最小值；（）若正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+2（x+x）+x1x2=0，证明x1+x2【考点】： 利用导数研究函数的单调性；导数在最
29、大值、最小值问题中的应用【专题】： 导数的综合应用【分析】： （）求f（x），而使f（x）0的x所在区间便为f（x）的单调递减区间；（）构造函数，求g（x）=，容易判断当a0时不合题意；而a0时，能够求出f（x）的最大值为，可设h（a）=，该函数在（0，+）上为减函数，并且h（1）0，h（2）0，从而得到整数a最小为2；（）由f（x1）+f（x2）+2（x+x）+x1x2=0便得到，这样令t=x1x2，t0，容易求得函数tlnt的最小值为1，从而得到，解这个关于x1+x2的一元二次不等式即可得出要证的结论【解析】： 解：（）（x0）；x1时，f（x）0；f（x）的单调减区间为1，+）；（）令；
30、所以=；（1）当a0时，因为x0，所以g（x）0；此时g（x）在（0，+）上是递增函数；又g（1）=；g（x）0不能恒成立，即关于x的不等式f（x）不能恒成立；这种情况不存在；（2）当a0时，；当x时，g（x）0；当时，g（x）0；函数g（x）的最大值为=；令；h（1）=，h（2）=，又h（a）在a（0，+）上是减函数；当a2时，h（a）0；所以整数a的最小值为2；（）证明：由f（x1）+f（x2）；即；从而；令t=x1x2，则由h（t）=tlnt得，h（t）=；可知，h（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增；h（t）h（1）=1；，又x1+x20；因此成立【点评】： 考查根据函数导数符号求函数单调区间的方法，根据函数导数符号求函数最值的方法，以及对数函数、反比例函数的单调性，解一元二次不等式
