1、目标导航1了解弧度制的概念，明确弧度的含义(重点)2能进行弧度与角度的互化(重点)3掌握弧长公式及扇形的面积公式(重点)1 新知识预习探究 知识点一 角度制与弧度制阅读教材 P6“探究”以上内容，完成下列问题1角度制规定周角的 1360为 1 度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制2弧度制把长度等于的弧所对的叫做 1 弧度的角以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做，它的单位符号是 rad，读作，通常略去不写半径长圆心角弧度制弧度【思考】弧度制的角的大小是否与它所在的圆的半径有关？【提示】根据 1 弧度角的定义，圆周长是 2 个半径，所以圆周角是 2 弧度，所以弧度角就是 12圆周角，与圆
2、的大小即半径无关【练习 1】若 5 rad，则角 的终边所在的象限为()A第一象限 B第二象限C第三象限D第四象限解析：3252，的终边应在第四象限答案：D知识点二 角的弧度数的计算阅读教材 P6“探究”及 P7 第二自然段，完成下列问题 正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是；如果半径为 r 的圆心角 所对弧的长为 l，那么，角 的弧度数的绝对值是|lr.正数负数0【练习 2】已知半径为 10 cm 的圆上，有一条弧的长是 40 cm，则该弧所对的圆心角的弧度数的绝对值是_答案：|40104.知识点三 角度与弧度的互化阅读教材 P7 第 2 自然段P8“例 3”以上内容，完成
3、下列问题1角度与弧度的互化：角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180 rad rad1801 180 rad0.017 45 rad1 rad18057.30度数 180弧度数弧度数180 度数2.特殊角的弧度数与角度数对应表：角度0153045607590120 135 150弧度0126435122233456角度 180 210 225 240 270 300 315 330 360弧度76544332537411623.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也
4、都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应如图所示【思考】在同一个式子中，角度制与弧度制能否混用？为什么？【提示】角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方法，两者有着本质的不同，在同一个表达式中不能两种度量方法混用如60k，kZ，是错误的写法，应写成 3k，kZ 或 60k180，kZ.【练习 3】2014德州高一检测下列各式正确的是()A.290 B.1810C360 D3838解析：290，A 错；33 180 60，C 错；3838 1801990；D 错；只有 B 正确答案：B知识点四 扇形的弧长与面积公式阅读教材 P8“例 3”及以下内容，完成下列问题 设扇形的半径为 R，
5、圆心角为(02)，则弧长 lR，面积 S12lR12R2【练习 4】(正确的打“”，错误的打“”)(1)扇形的弧长与面积公式只有在弧度制下才成立()(2)若扇形的圆心角为 60，半径为 1，则扇形的弧长为 60.()(3)弧长为，半径为 2 的扇形的圆心角是直角()2 新视点名师博客1.弧度制下角的记法与一些重要结论(1)对称关系若 与 终边关于 x 轴对称，则 2k，kZ；若 与 终边关于 y 轴对称，则(2k1)，kZ；若 与 终边关于原点对称，则(2k1)，kZ.(2)终边相同的角与 终边相同的角的集合|2k，kZ，要注意 与 的度量制要同为弧度制(3)终边在坐标轴上的角终边在 x 轴的
6、非负半轴上的角的集合为|2k，kZ；终边在 x 轴的非正半轴上的角的集合为|2k，kZ；终边在 x 轴的角的集合为|k，kZ；终边在 y 轴的非负半轴上的角的集合为|2k2，kZ；终边在 y 轴的非正半轴上的角的集合为|2k2，kZ；终边在 y 轴上的角的集合为|k2，kZ；终边在坐标轴上的角的集合为|k2，kZ2弧度制与角度制的区别与联系(1)从定义上：弧度制是以“弧度”为单位度量角的单位制，角度制是以“度”为单位度量角的单位制因此弧度制和角度制一样，都是度量角的方法(2)从意义上：1 弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而 1是圆的周长的 1360所对的圆心角的大小；任意圆心角 的弧
7、度数的绝对值|lr，其中 l 是以角 作为圆心角时所对的圆弧长，r 为圆的半径(3)从换算上：1 rad180，1 180 rad.(4)从写法上：用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应当把它理解为名数；如果以度()为单位表示角时，度()就不能省去(5)优越性：弧度制比角度制有一定的优点其一是在进位上，角度制在度、分、秒上是 60 进位制，不便于计算，而弧度制是十进位制，给运算带来方便；其二是在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单，运算起来方便因此在今后表示角的时候，常常用弧度制表示角(6)在同一道题目中
8、角度制与弧度制不能混用，如 k3602(kZ)，这种写法是错误的.3 新课堂互动探究 考点一 弧度制的概念例 1 下列命题中，假命题是()A“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B一度的角是周角的 1360，一弧度的角是周角的 12C1 弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位D不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关分析：从两种度量制的定义上，把握解题的角度，从弧度数和角度数定义出发解析：根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以 D 是假命题，选项 A、B、C 均为真命题答案：D点
9、评：牢记 1 弧度的定义以及角度和弧度的换算公式是解答本题的关键变式探究 1 在半径不等的两圆内，1 弧度的圆心角()A所对的弧长相等B所对的弦长相等C所对的弧长等于各自的半径D所对的弦长等于各自的半径解析：根据定义，1 弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角答案：C考点二 角度与弧度的换算例 2(1)将下列各角度化成弧度：300，750，20.(2)将下列各弧度化成角度：712，115，79.分析：先看是角度制表示的角还是弧度制表示的角，选择公式计算解析：(1)30030018053；750750 180256；2020 1809.(2)712712180 712180105；115 11
10、5 180 396；79 79 180 140.点评：(1)角度制与弧度制的互化关系，弧度180，再由公式 180这个角的弧度数这个角的度数 得：度数 180弧度数，弧度数180 度数(2)将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”表示，再利用 1 180rad 化为弧度便可变式探究 2(1)把 11230化成弧度；(2)把512化成度解析：(1)11230112.5112.5 1802252 18058.(2)512512180 75.考点三 用弧度制表示角的集合 例 3(1)把1480写成 2k(kZ)的形式，其中 02；(2)用弧度表示顶点在原点，终
11、边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)分析：(1)把角度换算为弧度，表示成 2k(kZ)的形式，调整 k 使角 在0,2)内；(2)求出阴影部分边界角的弧度数，结合区域角的旋转方向及终边相同角的表示方法写出区域角的范围解析：(1)14801480 180rad749 rad，749 10169 52169，其中 169.(2)3303603026，而 603，它所表示的区域位于6与3之间且跨越 x 轴的正半轴，所以|2k62k3，kZ.点评：表示角的集合，既可以用角度，也可以用弧度，但必须要统一单位，不能既含有角度又含有弧度，如在“2k(kZ)”中，必须是用弧度制表示的角，在“k3
12、60(kZ)”中，必须是用角度制表示的角变式探究 3(1)在 0720范围内，找出与25 角终边相同的角(2)如图，用弧度表示终边落在阴影部分内的角的集合解析：(1)25 2518072，终边与25 角相同的角为 72k360(kZ)，当 k0 时，72；当 k1 时，432，在 0720范围内，与25 角终边相同的角为 72，432.(2)按逆时针方向，在 范围内，与角43 终边相同的角为23，故所求集合为 S2k23 2k6，kZ.按逆时针方向，在 02 范围内，所求集合为S2k2k3，kZ2k23 2k，kZ.考点四 弧长、扇形面积的有关计算例 4扇形 AOB 的周长为 10 cm，(1
13、)若这个扇形的面积为 4 cm2，求扇形圆心角的弧度数；(2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长解析：设扇形圆心角的弧度数为(02)，弧长为 l，半径为 r，面积为 S(1)依题意有l2r10 12lr4 代入得 r25r40，解得 r11，r24.当 r1 时，l8(cm)，此时，8 rad2 rad，舍去；当 r4 时，l2(cm)，此时，2412(rad)(2)由 l2r10 得 l102rS12lr12(102r)r5rr2r522254(0r5)当 r52时，S 取得最大值254，这时 l102525，lr5522.点评：(1)明确弧度制下扇形的面积公式是 S12lR12|
14、R2(其中l 是扇形弧长，是扇形圆心角)(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解变式探究 4 已知扇形的周长为 8 cm，圆心角为 2 rad，求该扇形的面积解析：设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，由圆心角为 2 rad，依据弧长公式可得 l2r，从而扇形的周长为 l2r4r8，解得 r2，则 l4.故扇形的面积 S12rl12244(cm2).4 新思维随堂自测1.85 弧度化为角度是()A278 B280C288 D318解析：1 rad180，85 85 180 81805
15、288.答案：C2终边在 y 轴上的角的集合是()A|2k2，kZ B|k，kZC|k2，kZ D|k2，kZ解析：终边在 y 轴上的角的集合为|2k2，kZ|2k32，kZ|k2，kZ|k2，kZ答案：D3下列与94 的终边相同的角的表达式中，正确的是()A2k45(kZ)Bk36094(kZ)Ck360315(kZ)Dk54(kZ)解析：与94 的终边相同的角可以写成 2k94(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有 C 正确答案：C4将时钟拨慢 10 分钟，则分针转过的弧度数是()A3B.3C.6D6解析：分针转过的弧度数为 2163.答案：B5弧长为 3，圆心角为 135的扇形半径为_，扇形面积为_解析：因为 13534，l|r，所以 334 r，所以 r4，S 扇12lr12346.答案：4 65 辨错解走出误区易错点：弧长和面积公式使用错误【典例】2014湖南师大附中训练题已知某扇形的圆心角为120，半径为 3，求扇形弧长及扇形面积【错解】l|r1203360，S12|r21212032540.【错因分析】错解忽略了这组公式中的 必须是圆心角的弧度数【正解】l|r2332，S12|r2122393.【反思】在应用公式时，必须选用与角的度量制对应的公式，如果用角度度量角，就必须使用角度制中的公式；如果用弧度度量角，就必须使用弧度制中的公式.
