1、第三章测试(时间：120 分钟，满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列命题正确的是()A复数的模是正实数B虚轴上的点与纯虚数一一对应C相等的向量对应着相等的复数D实部与虚部分别互为相反数的两个复数是共轭复数解析 复数的模可能为 0，故 A 项错虚轴上原点对应的复数不是纯虚数，故 B 项错复数可以用向量表示，相等的向量对应的复数也相等，故 C 项正确实部相等，虚部互为相反数的两个复数为共轭复数，故 D 项错答案 C2下列命题：复数 abi 不是实数；若(x24)(x23x2)i是纯虚数，则实数 x
2、2；若复数 zabi，则当且仅当 b0 时，z为虚数其中正确的命题有()A0 个 B1 个C2 个D3 个解析 中没有说明 a，bR，所以当 b0 时，abi 可能是实数；中当 x2 时，不正确；中没有说明 a，bR，所以不正确；因此三个命题都不正确答案 A3若 n 是大于 2000 的奇数，则复数(1i1i)2n(1i1i)2n 的值是()A2 B2C2 或2 D0解析(1i1i)2n(1i1i)2n(2i2i)n(2i2i)n(1)n(1)n2(1)n.n 是大于 2000 的奇数，原式2.答案 B4复数 zaa2a1(a22a3)i(aR)为纯虚数，则 a 的值为()Aa0 Ba0 且
3、a1Ca0 或 a2 Da1 或 a3解析 依题意得aa2a1 0，a22a30，解得 a0，或 a2.答案 C5复数12i234i 的值是()A1 B1Ci Di解析 12i234i 34i34i 1.答案 A6已知 z 是纯虚数，z21i是实数，那么 z 等于()A2i BiCi D2i解析 设 zbi(bR，且 b0)，则z21i2bi1i 2bi1i1i1i12(2b)(2b)iz21iR，2b0，b2，z2i.答案 D7已知 i 为虚数单位，a 为实数，复数 z(a2i)(1i)在复平面内对应的点为 M，则“a1”是“点 M 在第四象限”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充
4、要条件D既不充分也不必要条件解析 复数 z(a2i)(1i)(a2)(a2)i，在复平面内 z 的对应点 M 在第四象限的充要条件是a20，a20.即2a2.故“a1”是“点 M 在第四象限”的充分而不必要条件答案 A8复数 z i1i在复平面上对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析 z i1ii1i1i1i12(i1)1212i，复数 z 的对应点在第一象限答案 A9复数32i23i32i23i()A0 B2C2i D2i解析 32i23i32i23ii23i23i i23i23i ii2i.答案 D10定义运算a bc d adbc，则符合条件1 1zzi42i 的复
5、数 z 为()A3i B13iC3i D13i解析 依题意知，1 1zziziz42i，z(1i)42i，z42i1i(2i)(1i)3i.答案 A11复数 zabi(a，bR)是方程 z234i 的一个根，则 z 等于()A12i B12iC12i 或12i D2i 或2i解析 若按复数相等的条件去解方程组，计算很繁琐，本题可采用验证的方法(12i)214i(2i)234i，z12i 或12i.答案 C12对任意复数 zxyi(x，yR)，i 为虚数单位，则下列结论正确的是()A|z z|2yBz2x2y2C|z z|2xD|z|x|y|解析 zxyi，(x，yR)，则 z xyi，z z
6、2yi.|z z|2y|2y，故 A，C 项错又 z2x2y22xyix2y2，故 B 项错因此，正确答案为 D.答案 D二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上)13复数2i1i的共轭复数是_解析 2i1i2i1i1i1i3i2 3212i，共轭复数为3212i.答案 3212i14若 z11i，z1 z22，则 z2_.解析 z11i，z1 z22，z2 21i1i.z21i.答案 1i15若复数 z1429i，z269i，其中 i 是虚数单位，则复数(z1z2)i 的实部是_解析(z1z2)i429i(69i)i(220i)i202i，(z1z2
7、)i 的实部是20.答案 2016i 为虚数单位，设复数 z1，z2 在复平面内对应的点关于原点对称，若 z123i，则 z2_.解析 设 z123i 的对应点为 A，则 A 的坐标为(2，3)，A 关于原点对称的坐标为 B(2,3)，则 B 对应的复数为 z223i.答案 23i三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10 分)要使复数 za2a6a22a15a24i 为纯虚数，实数 a是否存在？若存在求出 a 的值；若不存在说明理由解 若 z 为纯虚数，则a2a60，a22a15a240，由解得 a3，或 a2，分别代入都不合题意，所以不
8、存在使 z 为纯虚数的实数 a.18(12 分)复平面内有 A，B，C 三点，点 A 对应的复数是 3i，向量AC对应的复数是24i，向量BC对应的复数是4i，求点 B 对应的复数解 AC对应的复数是24i，BC对应的复数是4i，又ABAC BC，AB对应的复数为(24i)(4i)23i.又OA 对应的复数是 3i，OB OA AB.OB 对应的复数是(3i)(23i)52i.即点 B 对应的复数是 52i.19(12 分)已知虚数 z 满足|z|2，且(za)2a，求实数 a.解 设 zxyi(x，yR，且 y0)，则(za)2(xyia)2(xa)2y22y(xa)i.又(za)2a，|z
9、|2，xa2y2a，2yxa0，x2y22.解得 a1.20(12 分)已知复数 z 满足|z|2，z2 的虚部是 2，(1)求复数 z；(2)设 z，z2，zz2 在复平面内的对应点分别为 A，B，C，求ABC的面积解(1)设 zabi(a，bR)，则 z2a2b22abi.由题意得 a2b22，且 2ab2.解得 ab1 或 ab1.z1i 或 z1i.(2)当 z1i 时，z22i，zz21i.A(1,1)，B(0,2)，C(1，1)，SABC12211.当 z1i 时，z22i，zz213i，A(1，1)，B(0,2)，C(1，3)，SABC12211.故ABC 的面积为 1.21(1
10、2 分)设 w12 32 i，(1)求证：1ww20；(2)计算：(1ww2)(1ww2)解(1)证明：w12 32 i，w2(12 32 i)2142(12)(32 i)(32 i)214 32 i3412 32 i，1ww2112 32 i12 32 i0.(2)由 1ww20 知，(w1)(1ww2)0，w310，w31.(1ww2)(1ww2)(2w2)(2w)4w34.22(12 分)设 z1，z2C，(1)求证：|z1z2|2|z1z2|22|z1|22|z2|2；(2)设|z1|3，|z2|5，|z1z2|6，求|z1z2|.解(1)证明：设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则|z1z2|2|z1z2|2|(ac)(bd)i|2|(ac)(bd)i|2(ac)2(bd)2(ac)2(bd)22a22c22b22d22(a2b2)2(c2d2)，又 2|z1|22|z2|22(a2b2)2(c2d2)，故|z1z2|2|z1z2|22|z1|22|z2|2.(2)|z1z2|2|z1z2|22|z1|22|z2|2，62|z1z2|2232252.|z1z2|2683632.|z1z2|4 2.
