1、专题08 解析几何一、选择题1(2018全国卷)直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是ABCDA【解析】圆心到直线的距离，所以点到直线的距离根据直线的方程可知，两点的坐标分别为，所以，所以的面积因为，所以，即面积的取值范围是故选A2(2018北京)在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为A1 B2 C3 D4C【解析】由题意可得（其中，），,，当时，取得最大值3，故选C 3已知椭圆：的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为A B C DA【解析】以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，即，即 ，故选A4在矩形
2、中，动点在以点为圆心且与相切的圆上若，则的最大值为A3 B C D2A【解析】如图建立直角坐标系，则，由等面积法可得圆的半径为，所以圆的方程为，所以，由，得，所以=，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离小于半径，所以，解得，所以的最大值为3，即的最大值为3，选A5(2018全国卷)已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则的离心率为A BC DD【解析】由题意可得椭圆的焦点在轴上，如图所示，设，所以为等腰三角形，且，点坐标为，即点点在过点，且斜率为的直线上，解得，故选D6(2018上海)设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A B C D
3、C【解析】由题意，由椭圆的定义可知，到该椭圆的两个焦点的距离之和为，故选C7已知椭圆：的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为A B C DA【解析】以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，即，即 ，故选A8已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为A B C DA【解析】设，则直线的方程为，由题意可知， 和三点共线，则，化简得，则的离心率故选A9已知椭圆：()与双曲线：()的焦点重合，分别为，的离心率，则A且 B
4、且C且 D且A【解析】由题意知，即，所以故选A10已知抛物线C：的焦点为F，定点，若直线FM与抛物线C相交于A，B两点点B在F，M中间，且与抛物线C的准线交于点N，若，则AF的长为（ ）AB1CD【答案】C【解析】解：如图，过B作垂直于准线，垂足为，则，由，得，可得，又，的方程为，取，得，即，则，抛物线方程为联立，解得故选：C11(2018浙江)双曲线的焦点坐标是A， B，C， D，B【解析】由题可知双曲线的焦点在轴上，因为，所以，故焦点坐标为，故选B12(2018全国卷)已知双曲线：，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为、若为直角三角形，则=A B3CD4B【解析】因为
5、双曲线的渐近线方程为，所以不妨设过点的直线与直线交于点，由为直角三角形，不妨设，则，又直线过点，所以直线的方程为，由，得，所以，所以，所以故选B13(2018全国卷)双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A B C DA【解析】解法一 由题意知，所以，所以，所以，所以该双曲线的渐近线方程为，故选A 解法二 由，得，所以该双曲线的渐近线方程为故选A14(2018全国卷)设，是双曲线：的左、右焦点，是坐标原点过作的一条渐近线的垂线，垂足为若，则的离心率为AB2CD C【解析】不妨设一条渐近线的方程为，则到的距离，在中，所以，所以，又，所以在与中，根据余弦定理得，即，得所以故选C15(2018天津)已知
6、双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点设，到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为A B C DC【解析】通解 因为直线经过双曲线的右焦点，所以不妨取，取双曲线的一条渐近线为直线，由点到直线的距离公式可得，因为，所以，所以，得因为双曲线的离心率为2，所以，所以，所以，解得，所以双曲线的方程为，故选C优解 由，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以因为双曲线的离心率为2，所以，所以，所以，解得，所以双曲线的方程为，故选C16若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为A2 B C DA【解析】双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线的距离为，圆心到
7、弦的距离也为，所以，又，所以得，所以离心率，选A17已知双曲线：的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则的方程为A B C DB【解析】由题意可得：，又，解得，则的方程为选B18已知双曲线的左焦点为，离心率为若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A B C DB【解析】设，双曲线的渐近线方程为，由，由题意有，又，得，选B19已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于、四点，四边形的的面积为，则双曲线的方程为A B C DD【解析】不妨设在第一象限，所以，解得，故四边形的面积为，解得故所求的双曲线方程为，选D20已知方程表示双曲线，且
8、该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是A(1,3) B(1,) C(0,3) D(0,)A【解析】由题意得，解得，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得M，即，所以21知,是双曲线：的左、右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为A B C D2A【解析】设，将代入双曲线方程，得，化简得，因为，所以，所以，所以，故选A22已知双曲线的左、右焦点分别为，B为虚轴的一个端点，且，则双曲线的离心率为（ ）A2BCD【答案】D【解析】已知，因为，则在中，所以即，又，联立得，所以.故选：D23(2018全国卷)设抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则=A5 B6 C7 D8D【解析】通解
9、过点且斜率为的直线的方程为，由，得，解得或，所以，或，不妨设，易知，所以，所以故选D优解 过点且斜率为的直线的方程为，由，得，设，则，根据根与系数的关系，得，易知，所以，所以故选D24已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为A16 B14 C12 D10A【解析】由已知垂直于轴是不符合题意，所以的斜率存在设为，的斜率为，由题意有，设，此时直线方程为，取方程，得，同理得 由抛物线定义可知当且仅当（或）时，取得等号25设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且=2,则直线的斜率的最大值为A B C D1C【解析】设（不妨设），
10、则，故选C26以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点已知=，=，则的焦点到准线的距离为A2 B4 C6 D8B【解析】由题意，不妨设抛物线方程为，由，可取，设为坐标原点，由，得，得，所以选B二、填空题27(2018天津)已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为 【解析】直线的普通方程为，圆的标准方程为，圆心为，半径为1，点到直线的距离，所以，所以28(2018江苏)在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，以为直径的圆C与直线l交于另一点D若，则点A的横坐标为 3【解析】因为，所以，又点为的中点，所以，设直线的倾斜角为，直线的斜率为，则，又，所以直
11、线的方程为，又为直线：上在第一象限内的点，联立直线与直线的方程，得，解得，所以点的横坐标为3 29在平面直角坐标系中，点在圆：上，若，则点的横坐标的取值范围是 【解析】设，由，得，如图由可知，在上，由，解得，所以点横坐标的取值范围为30如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（B在A的上方），且（）圆的标准方程为 ；（）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：； ； 其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）（）；（）【解析】（）由题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为（）由，解得或，因为在的上方，所以，不妨令直线的方程为，所以，所以，所以，所以正确结论
12、的序号31(2018浙江)已知点，椭圆()上两点，满足，则当=_时，点横坐标的绝对值最大5【解析】设，由，得，即，因为点，在椭圆上，所以，得，所以，所以当时，点横坐标的绝对值最大，最大值为232(2018北京)已知椭圆，双曲线若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为_；双曲线的离心率为_【解析】设椭圆的右焦点为，双曲线的渐近线与椭圆在第一象限内的交点为，由题意可知，由点在椭圆上得，（舍去）或，椭圆的离心率，双曲线的渐近线过点，渐近线方程为，故双曲线的离心率33如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是
13、 【解析】由题意得，直线与椭圆方程联立可得，由可得，则，由可得，则34已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若，则的面积为_【答案】【解析】解：如图，不妨设F为双曲线C：的右焦点，P为第一象限点由双曲线方程可得，则，则以O为圆心，以2为半径的圆的方程为联立，解得，故答案为：35(2018上海)双曲线的渐近线方程为 【解析】由题意，36(2018江苏)在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是 2【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为，所以，所以，得，所以双曲线的离心率37在平面直角坐标系中 ，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，其焦点是，
14、则四边形的面积是 【解析】由题意，右准线的方程为，渐近线的方程为，设，则，所以四边形的面积为38已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径做圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点若=60，则的离心率为_【解析】如图所示，=60，所以，又所在直线的方程为，到的距离，在中，有，所以，即因为，得，所以39平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 【解析】设，由抛物线的定义有，而，所以，即，由得，所以，所以，即，所以渐近性方程为40(2018全国卷)已知点和抛物线：，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点若，则_2【解析】解法一 由题意知抛物线的焦点为，则过的焦点
15、且斜率为的直线方程为，由，消去得，即，设，则，由，消去得，即，则，由，得，将，与，代入，得解法二 设抛物线的焦点为，则，所以，则，取的中点，分别过点，做准线的垂线，垂足分别为，又，点在准线上，所以又为的中点，所以平行于轴，且，所以，所以41已知是抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则 6【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故三、解答题42(2016年全国I)设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点.（I）证明为定
16、值，并写出点的轨迹方程；（II）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围【解析】（）因为，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）（）当与轴不垂直时，设的方程为，.由得.则，.所以.过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以.故四边形的面积. 可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时，其方程为，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为.43（2018全国卷）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于,两点，点的坐标为(1)当与轴垂直时，求直线的方程；(2)设为坐标原点，证明：【解析】(1)
17、由已知得，的方程为由已知可得，点的坐标为或所以的方程为或(2)当与轴重合时，当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，则，直线，的斜率之和为由，得将代入得所以，则从而，故，的倾斜角互补，所以综上，44（2018全国卷）已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为(1)证明：；(2)设为的右焦点，为上一点，且证明：，成等差数列，并求该数列的公差【解析】(1)设，则，两式相减，并由得由题设知，于是由题设得，故(2)由题意得，设，则由(1)及题设得，又点在上，所以，从而，于是同理所以故，即，成等差数列设该数列的公差为，则将代入得所以的方程为，代入的方程，并整理得故，代
18、入解得所以该数列的公差为或45(2018天津)设椭圆()的左焦点为，上顶点为已知椭圆的离心率为，点的坐标为，且(1)求椭圆的方程；(2)设直线：与椭圆在第一象限的交点为，且与直线交于点 若(O为原点) ，求k的值【解析】设椭圆的焦距为，由已知知，又由，可得由已知可得，由，可得，从而，所以，椭圆的方程为(2)设点的坐标为，点的坐标为由已知有，故又因为，而，故由，可得由方程组消去，可得易知直线的方程为，由方程组消去，可得由，可得，两边平方，整理得，解得，或所以，的值为 46已知椭圆：，四点，中恰有三点在椭圆上(1)求的方程；(2)设直线不经过点且与相交于，两点若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点
19、【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点又由知，C不经过点，所以点在C上因此，解得故C的方程为（2）设直线与直线的斜率分别为，如果与轴垂直，设：，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）则，得，不符合题设从而可设：（）将代入得由题设可知设，则，而由题设，故即解得当且仅当时，欲使：，即，所以过定点（2，）47设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且证明：过点且垂直于的直线过的左焦点【解析】（1）设，则，由得 ，因为在上，所以因此点的轨迹方程为（2）由题意知设，则，由得，又由（1）知，故所以，即又过点存
20、在唯一直线垂直与，所以过点且垂直于的直线过的左焦点48如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的左、右焦点分别为，离心率为，两准线之间的距离为8点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标【解析】（1）设椭圆的半焦距为.因为椭圆的离心率为，两准线之间的距离为8，所以， 解得，于是， 因此椭圆的标准方程是.（2）由（1）知，.设，因为点为第一象限的点，故.当时，与相交于，与题设不符.当时，直线的斜率为，直线的斜率为.因为，所以直线的斜率为，直线的斜率为，从而直线的方程：， 直线的方程：. 由，解得，所以.因为点在椭圆上，由
21、对称性，得，即或.又在椭圆上，故.由，解得；，无解.因此点的坐标为.49设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为（）求椭圆的方程和抛物线的方程；（）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点若的面积为，求直线的方程【解析】（）设的坐标为.依题意，解得，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.（）设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.所以，直线的方程为，或.50在平面直角坐标系中，椭圆：的
22、离心率为，焦距为（）求椭圆的方程；（）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线 的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率【解析】（I）由题意知，所以，因此椭圆的方程为（）设，联立方程得，由题意知，且，所以由题意可知圆的半径为由题设知，所以因此直线的方程为联立方程得，因此由题意可知，而，令，则，因此，当且仅当，即时等号成立，此时，所以，因此，所以最大值为综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为51如图，已知双曲线：()的右焦点，点分别在 的两条渐近线上，轴，(为坐标原点）（1）求双曲线的方程；（2）过上一点的直线与
23、直线相交于点，与直线相交于点，证明：当点在上移动时，恒为定值，并求此定值【解析】（1）设，因为，所以直线OB方程为，直线BF的方程为，解得又直线OA的方程为，则又因为ABOB，所以，解得，故双曲线C的方程为（2）由（1）知，则直线的方程为，即因为直线AF的方程为，所以直线与AF的交点直线与直线的交点为则因为是C上一点，则，代入上式得，所求定值为52（2018北京）已知抛物线：经过点过点的直线与抛物线 有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于(1)求直线的斜率的取值范围；(2)设为原点，求证：为定值【解析】(1)因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为由题意可知直线的斜率存在且不为0，
24、设直线的方程为（）由得依题意，解得或又，与轴相交，故直线不过点从而所以直线斜率的取值范围是(2)设，由(1)知，直线的方程为令，得点的纵坐标为同理得点的纵坐标为由，得，所以所以为定值 53（2018全国卷）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，(1)求的方程；(2)求过点，且与的准线相切的圆的方程【解析】(1)由题意得，的方程为设，由得，故所以由题设知，解得（舍去），因此的方程为(2)由(1)得的中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，即设所求圆的圆心坐标为，则解得或因此所求圆的方程为或54（2018浙江）如图，已知点是轴左侧(不含轴)一点，抛物线：上存在不同的两点，满足，的中点均在上(
25、1)设中点为，证明：垂直于轴；(2)若是半椭圆()上的动点，求面积的取值范围【解析】(1)设，因为，的中点在抛物线上，所以，为方程即的两个不同的实数根所以因此，垂直于轴(2)由(1)可知所以，因此，的面积因为，所以因此，面积的取值范围是55已知抛物线：，过点的直线交与，两点，圆是以线段为直径的圆(1)证明：坐标原点在圆上；(2)设圆过点，求直线与圆的方程【解析】（1）设，：由可得，则又，故=4因此的斜率与的斜率之积为，所以故坐标原点在圆上（2）由（1）可得，故圆心的坐标为，圆的半径由于圆过点，因此，故即由（1）可得，所以，解得或当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为当时，直线
26、的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为56如图，已知抛物线点，抛物线上的点，过点作直线的垂线，垂足为（）求直线斜率的取值范围；（）求的最大值【解析】（）设直线AP的斜率为，因为，所以直线AP斜率的取值范围是。（）联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是 因为= =，所以=令，因为，所以在区间上单调递增，上单调递减，因此当时，取得最大值57已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，焦点为，圆O的直径为（1）求椭圆C及圆O的标准方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P，且直线l与椭圆C交于两点记 的面积为，证明：【答案】（1），；（2）见解析【解析】（1）由题意，椭圆C的方程为.可得，解得
27、所以椭圆C的方程为因为焦点在轴上，所以椭圆C的焦点为所以直径为的圆O的方程为 （2）由题意知，直线l与圆O相切于第一象限内的点P，设直线的斜截式方程为. 因为直线与圆相切，所以点到直线的距离为. 即. 因为直线与椭圆C相交于两点，由，整理得， 设，则. 因为又，所以.所以.又因为，所以 因为，所以设，则，则.令.则.设因为在上单调递减，所以.所以.58已知椭圆方程为（1）设椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上运动，求的值；（2）设直线和圆相切，和椭圆交于、两点，为原点，线段、分别和圆交于、两点，设、的面积分别为、，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知，设，由，同理，可得，结合
28、，得，故；（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为，由对称性，不妨设，此时，故若直线的斜率存在，设其方程为，由已知可得，则，设、，将直线与椭圆方程联立，得，由韦达定理得，结合及，可知将根与系数的关系代入整理得：，结合，得设，则的取值范围是59已知椭圆：的离心率为，点A为该椭圆的左顶点，过右焦点的直线l与椭圆交于B，C两点，当轴时，三角形ABC的面积为18求椭圆的方程；如图，当动直线BC斜率存在且不为0时，直线分别交直线AB，AC于点M、N，问x轴上是否存在点P，使得，若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由【答案】 ； 存在，P或.【解析】解：由已知条件得，解得；所以椭圆的方程为；设动直线BC的方程为，则直线AB、AC的方程分别为和，所以点M、N的坐标分别为，联立得，所以；于是，假设存在点满足，则，所以或5，所以当点P为或时，有60已知椭圆C：过点，左焦点 （1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F作于x轴不重合的直线l，l与椭圆交于A，B两点，点A在直线上的投影N与点B的连线交x轴于D点，D点的横坐标是否为定值?若是，请求出定值；若不是，请说明理由【答案】（1） （2）D点的横坐标是定值-3；【解析】（1）由题得，；，即，椭圆的方程为 （2）D点的横坐标为定值-3，理由如下： 已知直线斜率不为零，代入，得整理，设，可知均不为零，两式相除得 设BN的方程，令，将代入点的横坐标为定值37
