1、23两角和与差的正切函数知识点 两角和与差的正切公式 填一填(1)两角和的正切：tan()(T)(2)两角差的正切：tan()(T)公式T的记忆规律：公式的左侧是复角的正切即tan()，右侧是分式，分子是tan与tan的和或差，分母是1与tantan的差或和，分式的运算符号可以简记为“分子从前，分母相反”答一答1在公式T中，的使用范围是什么？公式的变形有哪些？提示：(1)从公式的推导过程来看，要使公式成立，以及都不能等于k(kZ)，例如tan，tan都有意义，但tan()无意义(2)两角和与差的正切公式的常见变形：tantantan()(1tantan)；1tantan；tantantanta
2、ntan()tan()；tantan1.这些变形是化简和求值中常用的形式，这些变形实质上是在提醒我们只要遇见tantan和tantan，就要有灵活运用公式T的变形形式的意识2为什么tan()tantan不恒成立？提示：可以举反例，例如，tan(30120)tan150，而tan30，tan120，所以tan30tan120.所以tan(30120)tan30tan120.因此tan()tantan不恒成立公式T的结构特征和符号规律(1)公式T的右侧为分式形式，其中分子为tan 与tan 的和或差，分母为1与tantan的差或和(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.类型一 公式正用和逆用
3、 【例1】求下列各式的值(1)tan105；(2)；(3)；(4).【思路探究】熟练掌握T的公式，能够对公式进行正用和逆用【解】(1)原式tan(6045)2.(2)原式tan451.(3)原式tan(7515)tan60.(4)原式tan30.规律方法 利用两角和与差的正切公式求值，关键是弄清公式的结构特点(1)已知tanx，tany3，求tan(xy)的值；(2)已知一元二次方程ax2bxc0(a0，且ac)的两根为tan，tan，求tan()的值解：(1)tan(xy).(2)由a0和一元二次方程根与系数的关系，得又ac，tan().类型二变形应用公式 【例2】(1)若，tan(tant
4、anc)0(c为常数)，则tan_；(2)tan23tan37tan23tan37的值是_【思路探究】在三角函数中同时出现tantan(或tantan)和tantan，或在和、差的形式与积的形式之间进行互化时，可以考虑公式T与T的变形【解析】(1)，tan()，tantantantan，tantantanctanc0，tan(c1)(2)tan60，tan23tan37tan23tan37，tan23tan37tan23tan37.【答案】(1)(c1)(2)规律方法 化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角
5、的正切值去代换，如“1tan”，“tan”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值求下列各式的值(1)；(2).解：(1)原式tan(7476)tan150.(2)原式.类型三利用公式进行三角等式的证明 【例3】已知ABC不是直角三角形，求证：tanAtanBtanCtanAtanBtanC.【思路探究】利用等角关系，在两边同时取同名的三角函数，将角的等式转化为三角恒等式【证明】在ABC中，ABC，又ABC不是直角三角形，则ABC，tan(AB)tan(C)tanC，即tanC.tanAtanBtanAtanBtanCtanC，故tanAtanBtanCtanAtanBtanC.
6、规律方法 应用两角和与差的三角函数解决三角形中的问题时，应创设条件使之能运用两角和与差的三角函数公式注意下列结论：(1)三角形的内角和等于180.(2)sin(AB)sinC，cos(AB)cosC，sincos，cossin，tan(AB)tanC.求证：tan(xy)tan(yz)tan(zx)tan(xy)tan(yz)tan(zx)证明：证法一：左边tan(xy)(yz)1tan(xy)tan(yz)tan(zx)tan(xz)1tan(xy)tan(yz)tan(zx)tan(zx)11tan(xy)tan(yz)tan(xy)tan(yz)tan(zx)右边证法二：tan(zx)t
7、an(zyyx).tan(zy)tan(yx)tan(zx)tan(zx)tan(zy)tan(yx)tan(xy)tan(yz)tan(zx)tan(zx)tan(zy)tan(yx)类型四利用公式求角 【例4】设方程x23x40的两根为tan，tan，且0|，0|，求的值【思路探究】本题主要考查由两角和的正切值求解先求出tan()的值，再根据与的具体范围与tan，tan的符号确定出的具体范围，最后求的值【解】由已知，得tantan3，tantan4.tan()，且tan0，tan0，0，0，0，.规律方法 求角问题中应特别关注的问题：(1)角的变换前面学习S，C的过程中运用的角的变换技巧仍
8、然适用于公式T，如2()，在求值过程中要进一步掌握这些角的变换方法(2)函数名称的选取在明确所求角是如何通过已知角变换之后，具体要根据题设条件去选择恰当的函数(3)角的范围的界定根据求出的三角函数值确定所求的角时，角的范围会直接影响解的个数，因此角的范围的确定是求角问题中最为关键的因素已知tan，tan，0，求的值解：tan，tan，tan()1.0，2.易错警示给值求角中的易错误区【例5】已知tan()，tan ，且，(0，)，则2_.【错解】或【正解】由于tantan()，所以(0，)，又tan(2)tan()1，而(，)，所以2(，0)，故2.【错解分析】没有依据题设条件进一步缩小角，的
9、范围(如处所示)，导致处的范围过大【答案】【防范措施】1.树立函数择优意识选择运算该角的哪个三角函数值，会直接影响角的解的个数，如本例选择公式T较方便快捷，且不易产生增解2注意题设隐含条件的挖掘个别条件所附带的信息有时较为隐蔽，常依据需要对题设条件进一步挖掘，如本例要依据“tan()，tan，且，(0，)”来进一步限定角，的范围若tantantantan10，(，)，则.解析：tan()，tantantantan1，tan()1.(，2)，又tan()1，.一、选择题1若tan()3，则tan等于(B)A2 BC. D2解析：tantan().2.tan23tan97tan23tan97(C)A2 B2C. D0解析：原式tan23tan97tan(2397)(1tan23tan97)tan23tan97tan120(1tan23tan97)tan23tan97tan23tan97.二、填空题3.的值是.解析：原式tan(1545)tan60.4设tan，tan是方程x23x20的两根，则tan()的值为3.解析：因为tan，tan是方程x23x20的两根，所以tantan3，tantan2，则tan()3.三、解答题5在ABC中，cosA，tanB2，求tanC的值解：cosA，sinA.tanA.tanCtan(AB)tan(AB).
