1、四川省泸县第一中学2020届高三数学下学期第二次适应性考试试题 理（含解析）第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为，集合，则()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用补集的定义求出集合的补集，利用一元二次不等式的解法化简集合，由交集的定义可得结果.【详解】，或，又，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合.2.已知复数的实部和虚部相等，且，则=A. B
2、. C. D. 【答案】A【解析】由题意，得因为复数的实部和虚部相等，所以，解得，所以，故选A3.如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A. 2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B. 2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C. 2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D. 2018年11
3、月全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格【答案】D【解析】【分析】先对图表数据分析处理，再结简单的合情推理一一检验即可【详解】由折线图易知A、C正确；2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的，所以B错误；设2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全国居民消费价格分别为，由题意可知，则有，所以D正确.故选：D【点睛】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题.4.若变量，满足约束条件，则目标函数的最小值是（ ）A. B. 0C. D. 【答案】A【解析】【分析】先作出可行域，然后平移直线，得到的最小值.【详解】作出可行域如图
4、所示，图中的阴影部分为不等式组所表示的平面区域（含边界），其中，.先作出的图象，然后通过平移，发现当目标函数的图象经过点时，取到最小值.故选：A.【点睛】本题考查简单的线性规划，正确作出可行域是解题的关键，属于常考题.5.函数的大致图像是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的正负排除A,再分析当时函数的取值判断即可.【详解】注意,由的正负性取决于的正负性,故排除A,又当时,排除C,D.故选：B【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式判断函数图像的方法,主要利用了判断函数的正负以及取极限的思想,属于中档题.6.已知为等差数列，则等于（ ）.A. B. C. D. 【答案
5、】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出【详解】解：为等差数列，故选【点睛】本题考查等差数列的第20项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用7.已知，则（ ）A. B. 或C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题可以先通过计算出的取值范围，再通过计算出的值，最后可以将转化为并使用两角和的正弦公式得出结果【详解】因为，所以，因为所以，故选D【点睛】本题考查三角函数的相关性质，考查同角三角函数基本关系式以及两角和的正弦公式的掌握和使用，考查计算能力，在解题过程中，不仅需要能够对公式进行正确使用，还需要能够通过角的取值范围来确定的
6、值的大小8.已知函数的最小正周期是，将函数的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则下列结论中正确的是（ ）A. 的最大值为B. 在区间上单调递增C. 的图像关于直线对称D. 的图像关于点对称【答案】B【解析】【分析】根据函数的最小正周期是，得到，将函数的图象向左平移个单位长度后得到，再由其函数图象过点，解得，得到，然后逐项验证.【详解】因为函数的最小正周期是，所以，将函数图象向左平移个单位长度后得到，又函数图象过点，所以，则，因为，所以，所以，A. 易得的最大值为1，故错误.B. ，故在区间上单调递增，故正确.C. ，故错误.D. ，故错误.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的图象和
7、性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.9. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（ ）A. B C. D. 【答案】A【解析】【详解】【分析】解：几何体如图，底面为矩形，AB=4,BC=2,侧面PCD底面ABCD,PC=PD=3.平面PCD平面ABCD，BCCD,平面PCD平面ABCD=CD,BC平面ABCD,BCPC,同理ADPD,由勾股定理计算得到PA,PB的长度如图所示，作出侧面PAB底边AB上的高，计算高的长度如图所示,该几何体的表面积为，选A.10.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币，若硬币正面朝上，则这个人站起
8、来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意没有相邻的两个人站起来包括两种情况：5人都不站起来，或由2人中间隔一人站起来，由概率公式可得答案.【详解】根据题意没有相邻的两个人站起来包括两种情况：5人都不站起来，或由2人中间隔一人站起来，故没有相邻的两个人站起来的概率为 ，故选B【点睛】本题考查概率的计算，考查分类讨论的思想，考查分析能力和计算能力，属于基础题11.设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为( )A. B. C.
9、 D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据线条长度关系解除A、B点横坐标（用表示），然后利用三角形面积公式列出一个关于的方程，解出即可.【详解】过点B作交直线AC于点M，交轴于点N，设点，由得，即，又因为,所以,所以，所以，由可解得，在中，所以，所以,解得或（舍去），故选：C【点睛】本题考查抛物线及其标准方程和抛物线的几何性质，利用焦点弦的性质是解答本题的关键.12.已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】,故函数在区间上递增,在上递增时，上递减，在上任意的，总存在唯一的，使得成立故选B.第II卷 非选
10、择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线在点M(，0)处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】由题意可得，据此可得切线的斜率，结合切点坐标即可确定切线方程.【详解】由函数的解析式可得：，所求切线的斜率为：，由于切点坐标为，故切线方程为：.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式由外向内逐层求导，其导数
11、为两层导数之积.14.的展开式中的系数是_.【答案】56【解析】试题分析：原二项式展开式的通项公式为令r2，得，系数为56.考点:二项式定理15.已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积等于_.【答案】【解析】【分析】由题意可知，直三棱柱的高为，利用正弦定理求出的外接圆半径，然后利用公式求出该直三棱柱的外接球半径，最后利用球体的表面积公式即可计算出该球的表面积.【详解】由题意可知，直三棱柱的高为，在中，则该三角形为等腰三角形，又，设的外接圆半径为，由正弦定理得，.设直三棱柱的外接球半径为，则，因此，该球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查球体表面积的计算，涉及多面体的外接球问
12、题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16.已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是双曲线右支上的一点，若直线与直线平行且的周长为9a，则双曲线的离心率为_.【答案】2【解析】【分析】利用双曲线的定义和三角形的周长列方程，用表示出，结合求得并化简，由此解出离心率.【详解】如图，设，则，解得，因为直线与直线平行，所以，所以，所以，把，代入上式得，所以，得.故填：2.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想与运算求解能力，属于中档题.三解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题
13、为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.设等差数列的前n项和为，且，（1）求数列的通项公式及前n项和公式；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将已知条件转化为 的形式，解方程组求得的值，由此求得数列的通项公式以及前项和公式.（2）利用放缩法和裂项求法和，证得不等式成立.【详解】（1）设等差数列的公差为d，由已知得，即解得，故，.（2）【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的通项公式以及前项和公式，考查放缩法和裂项求和法证明不等式，属于中档题.18.近年来，网络电商已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的消费方式为了更好地服
14、务民众，某电商在其官方APP中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对商品状况和优惠活动的评价现从评价系统中随机抽出200条较为详细的评价信息进行统计，商品状况和优惠活动评价的22列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对商品状况好评10020120对商品状况不满意503080合计15050200（I）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与商品状况好评之间有关系？（）为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种优惠券用户每次使用APP购物后，都可获得一张优惠券，且购物一次获得1元优惠券，2元优惠券的概率分别是，各次获取优惠券的结果相互独立若
15、某用户一天使用了APP购物两次，记该用户当天获得的优惠券面额之和为X，求随机变量X的分布列和数学期望参考数据P（K2k）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：K2，其中na+b+c+d【答案】（）在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与商品状况好评之间有关系（）见解析【解析】【分析】（）根据独立性检验的公式，求得K2的值，利用附表即可得到结论；（）求得X的取值分别为，利用相互对立事件的计算公式，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解
16、】（）由题意，根据独立性检验的公式，可得K211.110.828在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与商品状况好评之间有关系（）由题意可得：X的取值分别为0，1，2，3，4则P（X0），P（X1）2，P（X2）2，P（X3）2，P（X4）可得X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P（X） 可得数学期望E（X）0+12342【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，以及离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量
17、概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.19.如图，已知四棱锥中，底面为菱形，平面， 为上一点，为菱形对角线的交点（）证明：平面平面；（）若，四棱锥的体积是四棱锥的体积的，求二面角的正切值.【答案】()证明见解析；().【解析】【分析】（1）由平面，得，再由底面为菱形，得，由线面垂直的判定可得平面，进一步得到平面平面；（2）设到平面的距离为,菱形的面积为 ,由体积关系可得 ,则为的中点，连接，则，可得平面，过作，则为二面角的平面角，然后求解三角形得二面角的正切值.【详解】（1）证明：因为平面，平面，因为底面为菱形， ，又平面，且，平面，平面平面平面；（2）设到平面的距离为,菱形的面积为
18、 ,则，由已知有， , 则为的中点，连接，则， 平面，过作，连接，则为二面角的平面角，设，则，.【点睛】本题考査平面与平面垂直的判定，考査空间想象能力与思维能力，训练了二面角的平面角的求法,是中档题. 求二面角的大小既能考查线线垂直关系，又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角.20.已知抛物线的顶点为平面直角坐标系的坐标原点，焦点为圆的圆心.经过点的直线交抛物线于两点，交圆于两点，在第一象限，
19、在第四象限.（1）求抛物线的方程；（2）是否存在直线使是与的等差中项？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）抛物线E的方程为；（2）存在满足要求的直线或直线.【解析】试题分析：（1）先根据圆的标准方程得圆心，再根据抛物线性质得p，即得抛物线的方程；（2）由题意得，再根据条件得.设直线方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求，解出斜率k.试题解析：（1）圆F的方程为，圆心F的坐标为（2，0），半径r=1. 根据题意设抛物线E的方程为，解得p=4. 抛物线E的方程为. （2） 是与的等差中项，. . 讨论：若垂直于x轴，则的方程为x=2，代入，解得. 此时|AD|=
20、8，不满足题意；若不垂直于x轴，则设的斜率为k（k0），此时的方程为，由，得. 设，则. 拋物线E的准线方程为x=-2，解得. 当时，化为. ，有两个不相等实数根.满足题意.存在满足要求的直线或直线. 21.已知函数.（1）求的单调递增区间； （2）若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）的定义域为，对求导，分、和三种情况，分别讨论，可求得函数的单调递增区间；（2）由（1）知有两个极值点时，等价于方程有两个不等正根，可求得，及，由恒成立，可得恒成立，构造函数，求导并判断单调性可知，令即可.【详解】（1）的定义域为，求导得，令，得，若时，在
21、上恒成立，单调递增；若时，方程的两根为，.当时，则时，故在单调递增；当时，则或时，故在和上单调递增.综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，；当时，的单调递增区间为.（2）由（1）知有两个极值点时，等价于方程的有两个不等正根，此时不等式恒成立，等价于对恒成立，可化为恒成立，令，则，在恒成立，在上单调递减，.故实数的取值范围是.【点睛】本题考查函数的单调性，考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线的
22、参数方程为（为参数），将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到曲线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）写出的极坐标方程与直线的直角坐标方程；（2）曲线上是否存在不同的两点，（以上两点坐标均为极坐标，），使点、到的距离都为3？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1），（2）存，【解析】【分析】（1）先求得曲线的普通方程，利用伸缩变换的知识求得曲线的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.根据极坐标和直角坐标转化公式，求得直线的直角坐标方程.（2）求得曲线的圆心和半径，计算出圆心到直线的距离，结合图像判断出存在符合题意，并求得的值.【详解】
23、（1）曲线的普通方程为，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线的直角坐标方程为，其极坐标方程为，直线的直角坐标方程为.（2）曲线是以为圆心，为半径的圆，圆心到直线的距离.由图像可知，存在这样的点，则，且点到直线的距离，.【点睛】本小题主要考查坐标变换，考查直线和圆的位置关系，考查极坐标方程和直角坐标方程相互转化，考查参数方程化为普通方程，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数的最大值为.（1）在如图所示的坐标系中作出函数的图象，并结合图象求出的值；（2）若，不等式恒成立，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)先把函数化成分段函数，再画出它的图像，得到m的值.(2)利用基本不等式求得，即证.【详解】（1）依题意，函数的图象大致如图所示，结合图象可知.（2）因为，故，则.当且仅当时等号成立，所以的最小值为.【点睛】（1）本题主要考查绝对值函数图像的作法，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第2问的关键是联想到基本不等式.
