1、人教版 必修四2.3.3平面向量的坐标运算（结）一、向量的几何表示与坐标表示之间的转化在平面直角坐标系内，每一个向量都可以用一个有序实数对表示，即坐标可以把向量的起点平移到坐标原点，看其终点坐标即可，也可以把一个向量分解到两个轴上，看其对应的实数对.例1. 在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|2，|b|3，|c|4，分别计算出它们的坐标【分析】本题主要考查向量的正交分解，把它们分解成横、纵坐标的形式【解】设a(a1，a2)，b(b1，b2)，c(c1，c2)，则a1|a|cos452，a2|a|sin452；b1|b|cos1203()，b2|b|sin1203；c1|
2、c|cos(30)42，c2|c|sin(30)4()2.因此a(，)，b(，)，c(2，2)【点评】(1)向量的坐标就是向量在x轴和y轴上的分量，而与向量的位置无关.（2）利用任意角的三角函数定义，若a=（a1,a2）,a的方向相对于x轴正向的转角为，则有a1= |a|cos , a2= |a|sin 二、 平面向量的坐标运算例2 已知a(1,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)ab.【分析】解答本题可先是数乘向量的坐标运算，再是向量坐标的加减运算【解】(1)2a3b2(1,2)3(2,1)(2,4)(6,3)(4,7)(2)a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6
3、,3)(7，1)(3)ab(1,2)(2,1)(，1)(，)(，)【点评】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用三、平面坐标运算的综合应用给出了向量的另一种表示坐标表示式，向量的加法、减法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟知的数量运算例3 已知平面上三个点的坐标分别为A(3,7)，B(4，6)，C(1，2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点【分析】A、B、C、D四个点能构成平行四边形的情况有三种：四边形ABCD为平行四边形，四边形ABDC为平行四边形，四边形ADBC为平行四边形【解】设点D的坐标为(x，y)(1)当平行四边形为ABCD时， ，(4,6)(3,7)(1，2)(x，y)，D(0，1)；(2)当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，3)；(3)当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6,15)综上可知，D点可能为(0，1)或(2，3)或(6,15)【点评】向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形是代数运算法则的直观含义，坐标运算是图形关系的精确表示，二者的法则互为补充，要充分利用这一点，有效解决问题
