1、22等差数列的前n项和学 习 目 标核 心 素 养1理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程,体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系(重点、难点)2熟练掌握等差数列的五个基本量a1,d,n,an,Sn之间的联系,能够由其中的任意三个求出其余的两个(重点)3能够应用等差数列的前n项和公式解决有关等差数列的实际问题(易混点)1通过等差数列前n项和公式的推导过程培养逻辑推理素养2通过等差数列的前n项和公式的应用提升数学运算素养等差数列的前n项和公式阅读教材P15P16“例7”以上部分,完成下列问题:(1)等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式SnSnna1d(2
2、)等差数列前n项和公式的推导对于公差为d的等差数列,Sna1(a1d)(a12d)a1(n1)d,Snan(and)(an2d)an(n1)d,由得由此得等差数列前n项和公式Sn,代入通项公式ana1(n1)d得Snna1d(3)等差数列的前n项和公式与二次函数的关系将等差数列前n项和公式Snna1d整理成关于n的函数可得Snn2n思考:(1)等差数列的前n项和一定是n的二次函数吗?提示不一定,当公差d0时,前n项和是n的二次函数,当公差d0时,前n项和是n的一次函数,它们的常数项都为0(2)求等差数列的前n项和时,如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式?提示求等差数列的前n项和时,若已知
3、首项、末项和项数,则选用第一个公式;若已知首项、公差和项数,则选用第二个公式1已知等差数列an的首项a11,公差d2,则前10项和S10()A20 B40C60 D80D由公式Snna1d得S10101(2)802Sn123n_由题知等差数列的首项a11,末项ann由前n项和公式得Sn3已知等差数列an中,a12,a178,则S17_85S1717(28)854已知等差数列an中,a11,S864,则d_2S88187d64,解得d2与Sn有关的基本量的运算【例1】在等差数列an中,(1)已知a316,S2020求S10;(2)已知a1,d,Sn15,求n及a12;(3)已知a1a2a3a44
4、0,an3an2an1an80,Sn210,求项数n解(1)设等差数列an的公差为d,则有解得所以S10102020090110(2)因为Snn15,整理得n27n600,解得n12或n5(舍去),所以a12(121)4(3)因为a1a2a3a440,an3an2an1an80,所以4(a1an)4080,即a1an30又因为Sn210,所以n14等差数列中基本量计算的两个技巧(1)利用基本量求值.等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组,解出a1和d,便可解决问题.解题时注意整体代换思想的应用.(2)利用等差数列的性质解题.
5、等差数列的常用性质:若mnpq(m,n,p,qN),则amanapaq,常与求和公式Snf(n(a1an),2)结合使用.1等差数列中:(1)a1105,an994,d7,求Sn;(2)an8n2,d8,求S20;(3)d,n37,Sn629,求a1及an解(1)由ana1(n1)d且a1105,d7,得994105(n1)7,解得n128,Sn70 336(2)an8n2,a110,又d8,S2020a182010101981 720(3)将d,n37,Sn629代入ana1(n1)d,Sn,得解得等差数列前n项和公式在实际中的应用【例2】某抗洪指挥部接到预报,24小时后有一洪峰到达,为确保
6、安全,指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线经计算,除现有的参战军民连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆车工作24小时从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用,每隔20分钟能有一辆翻斗车到达,一共可调集25辆,那么在24小时内能否构筑成第二道防线?解从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位:小时)依次设为a1,a2,a25由题意可知,此数列为等差数列,且a124,公差d25辆翻斗车完成的工作量为:a1a2a2525242512500,而需要完成的工作量为2420480500480,在24小时内能构筑成第二道防线应用等差数列解决实际问题的一般思路2(1)甲、乙两
7、物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m,则甲、乙开始运动后_分钟相遇(2)为了参加5 000 m长跑比赛,李强给自己制订了10天的训练计划;第1天跑5 000 m,以后每天比前一天多跑400 m,李强10天一共跑了多少m?(1)7设n分钟后相遇,依题意,有2n5n70,整理得n213n1400解之得n7,n20(舍去)所以相遇是在开始运动后7分钟(2)解将李强每一天跑的路程记为数列an,由题意知,an是等差数列,则a15 000 m,公差d400 m所以S1010a1d,105 0004540068 000(m),故李强1
8、0天一共跑了68 000 m等差数列前n项和的性质【例3】(1)已知等差数列前3项的和为30,前6项的和为100,则它的前9项的和为()A130 B170C210 D260(2)已知数列an,bn均为等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn,且,则_(1)C(2)(1)利用等差数列的性质:S3,S6S3,S9S6成等差数列所以S3(S9S6)2(S6S3),即30(S9100)2(10030),解得S9210(2)由等差数列的性质,知巧妙应用等差数列前n项和的性质(1)“片段和”性质.,若an为等差数列,前n项和为Sn,则Sn,S2nSn,S3nS2n,构成公差为n2d的等差数列.(2)项数(下标
9、)的“等和”性质.(3)项的个数的“奇偶”性质.,an为等差数列,公差为d.若共有2n项,则S2nn(anan1);若共有2n1项,则S2n1(2n1)an1;(4)等差数列an中,若Snm,Smn(mn),,则Smn(mn).(5)等差数列an中,若SnSm(mn),则Smn0.3(1)在等差数列an中,若S41,S84,则a17a18a19a20的值为()A9 B12C16 D17(2)等差数列an的通项公式是an2n1,其前n项和为Sn,则数列的前10项和为_(1)A(2)75(1)由等差数列的性质知S4,S8S4,S12S8,也构成等差数列,不妨设为bn,且b1S41,b2S8S43,
10、于是求得b35,b47,b59,即a17a18a19a20b59(2)因为an2n1,所以a13,所以Snn22n,所以n2,所以是公差为1,首项为3的等差数列,所以数列的前10项和为310175等差数列前n项和的最值探究问题1(1)等差数列an的前n项和Snn24n,求Sn的最小值;(2)等差数列an的前n项和Snn23n,求Sn的最小值提示(1)Snn24n(n2)24,所以当n2时,Sn的最小值为4(2)Snn23n,因为nN,所以当n2或n1时,Sn的最小值为S2S122(1)在等差数列an中,若a50,a60,则其前多少项的和最大?(2)在等差数列an中,若a50,a60,其前n项和
11、有最大值还是有最小值?并表示出这个最大值或最小值提示(1)前5项的和S5最大(2)因为a50,a60,故其公差d0,所以前n项和有最小值,其最小值为S5S63在等差数列an中,若d0,S100,则其前多少项的和最大?提示S1010(a1a10)5(a1a10)0,故a1a10a5a60,因为d0,所以a50,a60,所以S5最大【例4】在等差数列an中,a1018,前5项的和S515(1)求数列an的通项公式;(2)求数列an的前n项和的最小值,并指出何时取最小值思路探究:(1)直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a1和公差d的方程,求得a1和d,进而得解;(2)可先求出前n项和
12、公式,再利用二次函数求最值的方法求解,也可以利用通项公式,根据等差数列的单调性求解解(1)由题意得得a19,d3,an3n12(2)法一:Sn(3n221n),当n3或4时,前n项的和取得最小值S3S418法二:设Sn最小,则即解得3n4,又nN,当n3或4时,前n项和的最小值S3S4181(变条件)把例4中的条件“S1515”改为“S5125”,其余不变,则数列an的前n项和有最大值还是有最小值?并求出这个最大值或最小值解S55(a1a5)52a35a3125,故a325,a10a37d,即d10,故Sn有最大值,ana3(n3)d28n设Sn最大,则解得27n28,即S27和S28最大,又
13、a127,故S27S283782(变结论)在例4中,根据第(2)题的结果,若Sn0,求n解法一:因为S3S418为Sn的最小值,由二次函数的图像可知,其对称轴为x,所以当x0或x7时,图像与x轴的交点为(0,0),(7,0),又nN,所以S70,所以n7法二:因为S3S4,所以a4S4S30,故S77(a1a7)7a40,所以n7等差数列前n项和的最值问题的两种解法(1)利用an:当a10,d0时,前n项和有最大值,可由an0且an10,求得n的值;当a10,d0,前n项和有最小值,可由an0且an10,求得n的值.(2)利用Sn:由,利用二次函数配方法求取得最值时n的值.1等差数列的两个求和
14、公式中,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量,通常已知其中三个量,可求另外两个量在求等差数列的和时,一般地,若已知首项a1及末项an,用公式Sn较好,若已知首项a1及公差d,用公式Snna1d较好2数列an的前n项和为Sn,则an1判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n项和公式求和()(2)数列n2可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和()(3)若数列an的前n项和为Snn22n1,则数列an一定不是等差数列()答案(1)(2)(3)提示(1)不正确,不管公差是不是零,都可应用公式求和;(2)不正确,因为数列n2不是等差数列,故不能用等差数列的前n项和公式求和;(3)正确2在等差数列an中,若S10120,则a1a10的值是()A12 B24C36 D48BS1010(a1a10)5(a1a10)120,故a1a10243在等差数列an中,S10120,且在这10项中,(其中S奇与S偶分别表示奇数项的和与偶数项的和),则公差d_2由得所以S偶S奇5d10,所以d24在等差数列an中,(1)已知a5a1058,a4a950,求S10;(2)已知S742,Sn510,an345,求n解(1)由已知条件得解得S1010a1d103454210(2)S77a442,所以a46所以Sn510,所以n20