1、 考点43 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1. （2013新课标高考文科8）为坐标原点，为抛物线：的焦点，为C上一点，若，则POF的面积为（ ）A.B.C.D.【解题指南】由抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离求解.【解析】选C.设，则，解得，因为为C上一点，则，得 ，所以.2.（2013江西高考文科9）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|= （ ）A.2: B.1:2 C. 1: D. 1:3【解题指南】由抛物线的定义把转化为点M到准线的距离，再结合直线的斜率，借助直角三角形进行求解
2、.【解析】选C.设直线FA的倾斜角为，因为F（0,1），A（2,0），所以直线FA的斜率为，即，过点M作准线的垂线交准线于点Q，由抛物线定义得，在中,可得，即|FM|：|MN|=.3. （2013重庆高考文科10）设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）A. B. C. D.【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线和的斜率之间的关系即可.【解析】选A.由题意知, 直线和关于轴对称,又所成的角为,所以直线方程为或,又因为有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和，使，所以渐近线斜率满足,
3、解得.故选A.4. （2013新课标高考理科10）已知椭圆的右焦点，过点的直线交于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（ ）A. B. C. D. 【解题指南】本题中给出的中点坐标，所以在解题时先设出，两点坐标，然后采用点差法求解.【解析】选D.由椭圆得，因为过点的直线与椭圆交于，两点，设，,则，则 由-得，化简得.， 又直线的斜率为，即.因为，所以，解得，.故椭圆方程为.二、解答题5.（2013安徽高考理科18）设椭圆的焦点在轴上（）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；（）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上。【解析】(1)因为焦距
4、为1，所以，解得，从而椭圆E的方程为.（2） 设，其中，由题设知，则直线的斜率，直线的斜率，故直线的方程为, 当x=0时，即点Q坐标为，因此直线的斜率。由于，所以化简得 将 代入椭圆E的方程，由于点在第一象限，解得，即点P在定直线x+y=1上。6. （2013天津高考文科18） 与（2013天津高考理科18）相同设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. () 求椭圆的方程; () 设A, B分别为椭圆的左、右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值. 【解题指南】()由离心率及过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长求出a
5、，b的值，写出椭圆方程. ()写出过点F且斜率为k的直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示求解.【解析】()设由知过点F且与x轴垂直的直线为代入椭圆方程有解得于是解得又，从而，所以椭圆方程为. ()设，由得直线CD的方程为由方程组消去y，整理得 可得因为所以由已知得，解得7.（2013北京高考文科19）直线y=kx+m(m0)与椭圆W:+y2=1相交于A，C两点，O是坐标原点。（1）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形。【解题指南】(1)把线段OB的垂直平分线方程与椭圆方程联立,求出点A,
6、C的坐标,再求AC的长.(2)用反证法.假设OABC为菱形,则只需证明若OA=OC,则A点与C点的横坐标相等或互为相反数,从而与已知矛盾.【解析】（1）线段OB的垂直平分线为，因此A、C点的坐标为，于是AC的长为。（2）只需证明若OA=OC，则A点与C点的横坐标相等或互为相反数。设OA=OC=r（r1)，则A、C为圆与椭圆的交点。， ，点与C点的横坐标互为相反数或相等，此时B点为顶点。因此四边形OABC不可能是菱形。8. （2013新课标全国高考理科20）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：(ab0)右焦点的直线x+y-=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为（1）求M的方程（2）C
7、,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值【解题指南】（1）涉及到弦AB的中点问题，考虑点差法，建立关于a,b的方程组，解得a,b的值，确立M的方程；（2）将四边形的面积表示出来，可转化为S，然后利用函数的知识求最值.【解析】设，则, ,-得.因为，设，因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以，即，所以可以解得，即，即，又因为，所以，所以M的方程为.(2)因为，直线AB的方程为，所以设直线CD方程为，将代入得：，解得 不防令、B，所以可得，将代入得：，设，则又因为，即，所以当时，CD取得最大值4,所以四边形ACBD面积的最大值为9. （2013辽宁高考文科
8、20）与（2013辽宁高考理科20）相同如图，抛物线点在抛物线上，过作的切线，切点为(为原点时，重合于).当时，切线的斜率为。求的值；当在上运动时，求线段的中点的轨迹方程（重合于，中点为）.【解题指南】利用导数的几何意义，求切线的斜率，建立相关参数的方程求参数；根据条件寻求动点坐标与相关点的坐标间的关系，消去相关点的坐标，可得轨迹方程。【解析】设，则已知切线在抛物线上的切点为，由导数的几何意义得，所以从而故点由点斜式得切线的方程：由于点在抛物线上，又在切线上，所以得将代入上述方程组，即得故的值为2.设又点在抛物线上，则，由于为线段的中点，所以 切线的方程分别为： 由得切线得交点的坐标 又由于点
9、在抛物线上，所以 由得 由得， 将代入得 由得.当时，重合于，中点N为,其坐标满足方程综上可知，线段的中点的轨迹方程为.10. （2013湖南高考文科20）已知，分别是椭圆的左、右焦点，关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点。（）求圆的方程；()设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，。当最大时，求直线的方程。【解题指南】第（）问的关键是明白圆的直径和椭圆的焦距等长，圆心就是原点关于直线的对称点，否则会增加许多计算量。第()问要掌握利用弦心三角形求直线被圆所截得的弦长，利用弦长公式 求直线被椭圆截得的弦长，然后再根据化简的结果用相关知识去解题。【解析】（I）由题设知的坐标分别是，圆C的半径
10、为2，圆心为原点O关于直线的对称点，设圆心坐标为，由得，所以圆C的方程为（II）由题意，可设直线方程为，则圆心到直线的距离为，所以，由得，设与E的两个交点坐标分别为，则，于是，从而，当且仅当，即时等号成立，故当时，最大，此时，直线的方程为或，即，或.11.(2013浙江高考理科T21)如图,点P(0,-1)是椭圆C1: 的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径. l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆于另一点D.(1)求椭圆C1的方程.(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程.【解题指南】(1)由图形和题意很容易找到椭圆中a,b的值;(2
11、)先利用待定系数法设出直线方程(即设直线的斜率为k),把ABD的面积表示出来(一定是关于k的表达式),当ABD面积取最大值时,求k的值.【解析】(1)由题意得,a=2,b=1,所以椭圆C1的方程为: .(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知,直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为:y=kx-1,又圆：，故点到直线的距离所以又，故直线的方程为：由，消去，整理得故，所以设的面积为，则所以，当且仅当时取等号所以所求的方程为.12.（2013安徽高考文科21）已知椭圆C:的焦距为4，且过点。（1）求椭圆C的方程；（2）设为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，
12、垂足为E。取点，连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由。【解题指南】（1）由题设的两个条件可得a,b；（2）设点，由 用，写出，联立直线QG与椭圆的方程，整理转化为关于x的一元二次方程问题求解。【解析】(1)因为焦距为4，所以，又因为椭圆C过点，所以，故，从而椭圆C的方程为.（2） 一定有唯一的公共点.由题意,设E点坐标为,D点坐标为(xD,0),则，再由知，即，由于，故，因为点G是点D关于y轴的对称点，所以点.故直线QG的斜率又因为在椭圆C上，所以，从而故直线QG的方程为, 将代入椭圆C
13、方程，得 再将代入，化简得，解得，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.13.(2013浙江高考文科T22)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1).(1)求抛物线C的方程.(2)过F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.【解题指南】(1)知道抛物线的焦点易求抛物线的方程;(2)可以先设出A,B两点的坐标(设而不求),设出直线的方程,由已知条件把|MN|表示出来,进行求解.【解析】(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p0),则=1,p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y
14、2),直线AB的方程为:y=kx+1,由，消去，整理得所以从而由解得点的横坐标同理点的横坐标，所以令，则当时，当时，综上所述，当时，即时，的最小值是.14. （2013山东高考理科22）椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为 ，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l.（）求椭圆C的方程；（）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2,设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；（）在（）的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1,PF2的斜率分别为k1，k2，若k0，试证明为定值，并求出这
15、个定值.【解题指南】（）由椭圆及过F1的线段长，可列出方程求出椭圆的方程；（）先设出点P的坐标，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距；离相等，可列出方程求出点P的横坐标与m的关系，由椭圆的范围求出m的范围.（）可先设出直线的点斜式方程，与椭圆联立消去y，由于l与椭圆C有且只有一个公共点，即，可得出k与点P的坐标的联系，然后将斜率用坐标表示出来的式子代入即可.【解析】（）由于，x=-c代入椭圆方程，得，由题意知，即，又，所以a=2,b=1,所以椭圆C的方程为（）设，又,所以直线的方程分别为:，:，由题意知，M到直线的距离相等，所以，由于点P在椭圆上，所以所以因为，可得，所以因此（）设，
16、则直线的方程为，联立整理得.由l与椭圆C有且只有一个公共点，所以，即即，又所以，故，由（）知，所以，因此为定值，这个定值为-8.15. （2013山东高考文科22）在平面直角坐标系中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在轴上，短轴长为2，离心率为.(I)求椭圆C的方程；(II)A,B为椭圆C上满足AOB的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P,设,求实数t的值.【解题指南】（）可由椭圆的定义及简单的几何性质，易知椭圆的标准方程；(II)由于A,B两点任意，因此需要考虑直线AB的斜率是否存在，斜率不存在时，设出A,B两点坐标，由已知条件得出P点坐标代入椭圆方程即可求得t的值，斜
17、率存在时，可设直线的方程，然后与椭圆联立，根据条件得出t的关系式.【解析】（）设椭圆C的方程为，由题意知，解得因此椭圆C的方程为.(II) 当ABx轴时,设A(x0,y0),B(x0,-y0),由 由=t=t(x0,0)=(tx0,0),得P(tx0,0),又P在椭圆上,所以+02=1,所以t2=4或,所以t=2或(舍去负值).当AB不垂直于x轴时,设AB:y=kx+m,显然m0,代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-1)=0.(*)由三角形面积公式知, |xAyB-xByA|=|xA(kxB+m)-xB(kxA+m)|=|m|xA-xB|=,所以, ,即,整理得, 又，所以， ，即，将其代入椭圆方程得，整理可得，联立，消去，约分掉，移项整理得，解之可得，或，均能使式的，所以或（舍去负值）.综上，或.
