1、2直观图知识点一 填一填1画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴相交于点O，且使xOy45(或135)，它们确定的平面表示水平面2画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段3取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半答一答1斜二测画法中“斜”和“二测”分别指什么？提示：“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x轴成45或135；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x轴的线段长度不变；平行于y轴的线段长度变
2、为原来的一半2相等的角或线段在直观图中仍然相等吗？提示：不一定相等，如正方形的边长和内角分别相等，但是它的直观图是平行四边形，相邻两边边长不相等，相邻两内角也不相等知识点二空间几何体直观图的画法 填一填1画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴2画平面：平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示竖直平面3取长度：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变4成图处理：成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线答一答3画直观图时，如何区别实线和虚线？提示：直观图是一个平面图形，我们用它表示空间图形，为了增强空间感，画图要分实线和虚线，其中被面挡住的部分要画成虚
3、线看得见的部分要画成实线4空间几何体的直观图唯一吗？提示：不一定唯一作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同1画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，确定这类顶点一般过此点作与轴平行的直线，将此点转到与轴平行的线段上来2要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中建立平面直角坐标系，尽量利用原有线段或图形的对称轴画坐标轴，图形的对称中心作为坐标原点，让尽可能多的顶点在坐标轴上类型一 水平放置的平面图形的直观图的画法 【例1】画出水平放置的正五边形的直观
4、图【思路探究】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，首先要在平面图形上建立平面直角坐标系，坐标系建立的是否恰当，会直接影响到图形的直观性一般地，要充分利用图形的特征(如对称性)来建立坐标系【解】画法：(1)如图(a)所示，在已知正五边形ABCDE中，取中心O为原点，对称轴FA为y轴，过点O与y轴垂直的直线为x轴，分别过B、E作GBy轴，HEy轴，与x轴分别交于点G、H.画对应的轴Ox，Oy，使xOy45.(2)如图(b)所示，以点O为中点，在x轴上取GHGH，分别过点G、H在x轴的上方作GBy轴，使GBGB；作HEy轴，使HEHE；在y轴的点O上方取OAOA，在点O下方取OFOF，并且以点
5、F为中心，作CDx轴，且使CDCD.(3)连接AB、BC、CD、DE、EA，并加以整理，所得五边形ABCDE就是正五边形ABCDE的直观图，如图(c)所示规律方法 用斜二测画法画直观图时，抓住“一斜二测”一斜指轴成45或135，二测指已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，即横不变；已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，即纵减半，在作图时要注意在原图上建立恰当的直角坐标系，以使整个作图变得简便画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图解：(1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x轴与y轴，两轴相交于点O，使xOy4
6、5.(2)在x轴上截取OBOC0.5 cm，在y轴上截取OAAOcm，连接AB，AC，得ABC，即为正三角形ABC水平放置的直观图，如图.类型二 空间几何体的直观图 【例2】用斜二测画法画出六棱锥PABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)【思路探究】在画图中平行于x轴或z轴的线段时，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半【解】画出六棱锥PABCDEF的底面如图所示，在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN为y轴，两轴相交于O.画相应的x轴、y轴和z轴，三轴相交于O，使xOy45，xOz90；
7、在下图(1)中，以O为中点，在x轴上取ADAD，在y轴上取MNMN；以N点为中点画BC平行于x轴，且等于BC；再以M为中点画EF平行于x轴，且等于EF；连接AB，CD，DE，FA，得正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF.画正六棱锥PABCDEF的顶点在z轴上取点P，使POPO.成图连接PA，PB，PC，PD，PE，PF，并进行整理，便得到六棱锥PABCDEF的直观图PABCDEF.如上图(2)所示规律方法 利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则：画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示画法规则可简记为：两轴夹
8、角为45，竖轴垂直仍不变，平行不变，长度变，横竖不变，纵折半画空间几何体的直观图，要注意选取适当的原点，建系画轴用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCDABCD的直观图解：画法：(1)画轴如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使xOy45，xOz90.(2)画底面以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN2 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.(3)画侧棱过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA，BB，CC，D
9、D.(4)成图顺次连接A，B，C，D，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方体的直观图(如图)类型三 直观图的还原 【例3】如图，ABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图，CA2，BDy轴且BD1.5.(1)将其恢复成原图形；(2)求原平面图形ABC的面积【思路探究】本题的关键是点B位置的还原【解】(1)画法：画直角坐标系xOy，在x轴上取OAOA，即CACA；在x轴上取ODOD，过D作DBy轴，并使DB2DB.连接AB、BC，则ABC即为ABC原来的图形，如图所示(2)BDy轴，BDAC.又BD1.5且AC2，BD3，AC2.SABCBDAC3.规律方法 由直观图还原为
10、原图是画直观图的逆过程，有两个量发生了变化：一是xOy由45恢复为xOy90，二是与Oy平行的线段，在平面xOy中的长度是在xOy中的2倍如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6，CD2，则原图形是(D)A正方形B矩形C梯形 D菱形解析：由直观图知，OD2，将直观图还原成原图形，则原图形为平行四边形，如图由直观图和原图形的关系，知OC与BC不垂直，且OA6，OD4，CD2，OC6.因此OCOA，故平行四边形OABC是菱形，选D.多维探究系列关于直观图面积的一个结论【例4】证明：已知某三角形的面积为S，则其直观图的面积为SS.【思路分析】利用三角形的底边和高的关系，找出两个
11、面积的关系【精解详析】如图(1)，在ABC中，ADBC，其面积SADBC，在其直观图(如图(2)中，作AMBC，则直观图的面积为SBCAMBCADsin45BCADS.【解后反思】若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积为SS.由于其他多边形均可以划分为若干个三角形，故上述结论对其他多边形也成立有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为5 cm2.解析：由于该矩形的面积为S5420(cm2)，所以由例4中的公式可得，其直观图的面积为SS5(cm2)一、选择题1下列几种说法中，正确说法的个数是(B)相等的角在直观图中对应的角仍然相等相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等平行的线
12、段在直观图中对应的线段仍然平行线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A1B2C3 D4解析：正确2下列说法正确的是(D)A互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线B梯形的直观图可能是平行四边形C矩形的直观图可能是梯形D正方形的直观图可能是平行四边形解析：正方形的直观图是平行四边形，邻边不再垂直；由于梯形中有一组对边不相等，故其直观图不可能是平行四边形；矩形的两组对边都相等，故其直观图不可能是梯形所以只有D正确3如图，直观图所示的平面图形是(D)A正三角形B锐角三角形C钝角三角形D直角三角形解析：因为直观图中有两边分别平行于x轴、y轴，所以这两边在原图形中互相垂直二、填空题4利用斜二测画
13、法得到：三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；菱形的直观图是菱形以上结论中，正确命题的序号是.解析：正方形的直观图是有一个角为45的平行四边形，菱形的直观图对角线不再垂直，不是菱形，故错5根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox、Oy、Oz轴画成对应的Ox、Oy、Oz，使xOy45(或135)，xOz90；在用斜二测画法作直观图时，原图中平行且相等的线段，在直观图中对应的两条线段平行且相等解析：根据斜二测画法的规则三、解答题6用斜二测画法画出如图中水平放置的四边形OABC的直观图解：画法：(1)画x轴，y轴，使xOy45.(2)在Ox轴上取D、B，使ODOD，OBOB(如图)，在Oy轴上取C，使OCOC，在Ox轴下方过D作DAOy，使DADA.(3)连线，连接OA，AB，CB，所得四边形OABC就是四边形OABC的直观图
