1、课时达标第44讲解密考纲利用空间向量证明平行与垂直关系，常出现于选择、填空题中，或在解答题立体几何部分的第(1)问考查，难度中等或较小一、选择题1若直线l平面，直线l的方向向量为s、平面的法向量为n，则下列结论正确的是(C)As(1,0,2)，n(1,0，1)Bs(1,0,1)，n(1,2，1)Cs(1,1,1)，n(1,2，1)Ds(1,1,1)，n(2,2,2)解析：由已知需sn0，逐个验证知，只有C符合要求，故选C2若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是(D)Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0，1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1
2、，1,3)，n(0,3,1)解析：若l，则an，一一验证，可知选D.3直线l的方向向量s(1,1,1)，平面的法向量为n(2，x2x，x)，若直线l平面，则x的值为(D)A2B CD解析：由已知得sn0，故121(x2x)1(x)0，解得x.4如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB，CE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE，则M点的坐标为(C)A(1,1,1)BCD解析：由已知得A(，0)，B(0，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，设M(x，x,1)则(x，x，1)，(，0)，(0，1)设平面BDE的一个法向量
3、为n(a，b，c)则即解得令b1，则n(1,1，)又AM平面BDE，所以n0.即2(x)0，得x，所以M.5如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，则(B)AEF至多与A1D，AC之一垂直BEFA1D，EFACCEF与BD1相交DEF与BD1异面解析：以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(1,0，1)，(1,1,0)，(1，1,1)，0，从而EFBD
4、1，EFA1D，EFAC，故选B.6如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(B)A斜交B平行C垂直D不确定解析：建立如图所示的坐标系，由于A1MAN，则M，N，又C1D1平面BB1C1C，所以(0，a,0)为平面BB1C1C的一个法向量因为0，所以，所以MN平面BB1C1C，故选B.二、填空题7若直线l的方向向量e(2,1，m)，平面的法向量n，且l，则m4.解析：因为l，所以en，即en(0)，亦即(2,1，m)，所以则m4.8已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面
5、ABC，则实数x，y，z分别为，4.解析：由已知得解得9已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是平行解析：由已知得，(0,1，1)，(1,0，1)，设平面的一个法向量为m(x，y，z)，则得得令z1，得m(1,1,1)又n(1，1，1)，所以mn，即mn，所以.三、解答题10如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为A1B1，B1C1，C1D1的中点(1)求证：AG平面BEF；(2)试在棱长BB1上找一点M，使DM平面BEF，并证明你的结论解析：(1)以D为坐标原点，DA，
6、DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，E，F，G，因为，而，所以，故与平面BEF共面，又因为AG不在平面BEF内，所以AG平面BEF.(2)设M(1,1，m)，则(1,1，m)，由0，0，所以m0m ，所以M为棱BB1的中点时，DM平面BEF.11(2015北京西城二模)如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直ABCD，ABBC，AB2CD2BC，EAEB.(1)求证：ABDE；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；(3)线段EA上是否存在点F，使EC平面FBD？若存在，求出；若不存在，请说明理由 解析：
7、(1)证明：取AB的中点O，连接EO，DO.因为EBEA，所以EOAB.因为四边形ABCD为直角梯形AB2CD2BC，ABBC，所以四边形OBCD为正方形，所以ABOD.因为EODOO，所以AB平面EOD，所以ABED.(2)因为平面ABE平面ABCD，且EOAB，所以EO平面ABCD，所以EOOD.由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OAOBODOE，设OB1，所以O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，E(0,0,1)所以(1,1，1)，平面ABE的一个法向量为(0,1,0
8、)设直线EC与平面ABE所成的角为，所以sin |cos，|，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.(3)存在点F，且时，有EC平面FBD.证明如下：由，F，所以，(1,1,0)设平面FBD的法向量为v(a，b，c)，则有所以取a1，得v(1,1,2)因为v(1,1，1)(1,1,2)0，且EC平面FBD，所以EC平面FBD，即点F满足时，有EC平面FBD.12已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，点E在AA1上，点F在CC1上，且AEFC11.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)若点G在BC上，BG，点M在BB1上，GMBF，垂足为H，求证：EM平面BCC1B1.证明：(1)以B为原点，以BA，BC，BB1为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则B(0,0,0)，E(3,0,1)，F(0,3,2)，D1(3,3,3)，则(3,0,1)，(0,3,2)，(3,3,3)，所以.由向量共面的充要条件知E，B，F，D1四点共面(2)设M(0,0，z0)，G，则，而(0,3,2)，由题设得3z020，得z01.故M(0,0,1)，有(3,0,0)又(0,0,3)，(0,3,0)，所以0，0，从而MEBB1，MEBC又BB1BCB，故ME平面BCC1B1.
