1、第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.3 函数的最大(小)值与导数 学 习 目 标核 心 素 养 1.理解函数的最值的概念(难点)2.了解函数的最值与极值的区别与联系(易混点)3.会用导数求在给定区间上函数的最值(重点)1.通过函数最大(小)值存在性的学习，体现直观想象核心素养.2.借助函数最值的求解问题，提升学生的数学运算的核心素养.自 主 预 习 探 新 知 1函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间a，b上函数 yf(x)的图象是一条_的曲线，那么它必有最大值与最小值连续不断思考：函数的极值与最值的区别是什么？提示 函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大
2、值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值 当连续函数 f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处 f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定 f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间2求函数 f(x)在闭区间a，b上的最值的步骤(1)求函数
3、 yf(x)在(a，b)内的_；(2)将函数 yf(x)的_与_处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是_，最小的一个就是_极值各极值端点最大值最小值1函数 f(x)2xcos x 在(，)上()A无最值 B有极值C有最大值D有最小值A f(x)2sin x0 恒成立，所以 f(x)在(，)上单调递增，无极值，也无最值2函数 f(x)x24x7 在 x3,5上的最大值和最小值分别是()Af(2)，f(3)Bf(3)，f(5)Cf(2)，f(5)Df(5)，f(3)B f(x)2x4，当 x3,5时，f(x)0，且 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(
4、0,2)2 f(x)0 f(x)7abb16ab 由表可知，当 x0 时，f(x)取得极大值 b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.又 f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得 a2.(2)当 af(1)，f(2)16a293，解得 a2.综上可得，a2，b3 或 a2，b29.已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题其中注意分类讨论思想的应用跟进训练3若函数 f(x)xx2a(a0)在1，)上的最大值为 33，则 a的值为_31 f(
5、x)x2a2x2x2a2 ax2x2a2，当 x a时，f(x)0，f(x)单调递减，当 ax0，f(x)单调递增，当 x a时，f(x)a2a 33，a 32 0)(1)求 f(x)的最小值 h(t)；(2)若 h(t)0)，当 xt 时，f(x)取最小值 f(t)t3t1，即 h(t)t3t1.(2)令 g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由 g(t)3t230，得 t1 或 t1(不合题意，舍去)当 t 变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0 g(t)极大值 1m g(t)在(0,2)内有最大值 g(1)1m.h(t)2tm 在(0,2)内恒成
6、立等价于 g(t)0 在(0,2)内恒成立，即等价于 1m0.m 的取值范围为(1，)1(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在 t0,2，使 h(t)2tm 成立”，则实数 m 的取值范围如何求解？解 令 g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由 g(t)3t230，得 t1 或 t1(不合题意，舍去)当 t 变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t0(0,1)1(1,2)2g(t)0 g(t)1m极大值 1m3mg(t)在0,2上有最小值 g(2)3m，存在 t0,2，使 h(t)2tm 成立，等价于 g(t)的最小值 g(2)0.3m3，所以实数 m 的取值范围为(3，)2(变条
7、件)若将本例(2)的条件改为“对任意的 t1，t2(0,2)，都有 h(t1)2t2m”，求实数 m 的取值范围解 h(t)t3t1，t(0,2)h(t)3t21由 h(t)0 得 t 33 或 t 33(舍)又当 0t 33 时，h(t)0，当 33 t2 时，h(t)0.当 t 33 时，h(t)max 39 33 12 399.令(t)2tm，t(0,2)，(t)minm4.由题意可知2 399m4，即 m2 39 32 3279.实数 m 的取值范围为2 3279，.分离参数求解不等式恒成立问题的步骤课 堂 小 结 提 素 养 1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可
8、；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值2已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论3“恒成立”问题可转化为函数最值问题1下列结论正确的是()A若 f(x)在a，b上有极大值，则极大值一定是a，b上的最大值B若 f(x)在a，b上有极小值，则极小值一定是a，b上的最小值C若 f(x)在a，b上有极大值，则极小值一定是 xa 和 xb 时取得D若 f(x)在a，b上连续，则 f(x)在a，b上存在最大值和最小值D 函数 f(x)在a，b上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在a，b上一定存在最大值和最小值2函数 yxsin x，x
9、2，的最大值是()A1 B21 C D1C 因为 y1cos x，当 x2，时，y0，则函数在区间2，上为增函数，所以 y 的最大值为 ymaxsin，故选 C.3函数 f(x)x33x(|x|1)()A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值D f(x)3x233(x1)(x1)，当 x(1,1)时，f(x)0，所以 f(x)在(1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选 D.4设函数 f(x)x3x222x5，若对任意 x1,2，都有 f(x)m，则实数 m 的取值范围是_，312 f(x)3x2x20，x1，23.f(1)512，f 23 52227，f(1)312，f(2)7，m312.5已知函数 f(x)2x36x2a 在2,2上有最小值37，求 a的值，并求 f(x)在2,2上的最大值解 f(x)6x212x6x(x2)由 f(x)0，得 x0 或 x2.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2,0)0(0,2)2 f(x)00 f(x)40a极大值 a8a 所以当 x2 时，f(x)min40a37，所以 a3.所以当 x0 时，f(x)取到最大值 3.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
