1、广东省佛山市石门中学2021届高三数学下学期5月模拟试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。四个选项中，只有一项是符合要求的。1.【黄志平】已知,函数的定义域为,集合,则（ ）A. B. C. D. 2.设，其中，是实数，是虚数单位，则A1BCD23.【刘振龙】在一个抛硬币的游戏里，抛出的前2个硬币都是正面朝上，则在抛第3个硬币时，正面朝上的概率为（ ）A. B. C. D.4.若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5.【付强】如图，圆柱的轴截面是正方形，分别是和的中点，是弧的中点，则经过的平
2、面与圆柱侧面相交所得到的的曲线的离心率是（ ） A. 1 B. C. D. 6. 【黄志平】已知是单位向量，且，若向量，则与的夹角为（ ） ABCD7.【马安华】 (x2+2a x- a)5的展开式中各项的系数和为1024,则a的值为（ ） A、1 B、2 C、3 D、48.【罗建中】已知两点在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的曲线方程是（） A B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分。9.设为正实数，下列命题正确的有（ ）A若，则； B若，则；C若，则； D若，则.10.
3、【黎岗】已知函数 f(x)= x ln( ,则以下结论正确的是( ) A.f(x)为奇函数 B.f(x)在区间（0，+）上单调递增C.曲线y= f(x)在(0,f(0) )处的切线的斜率为 ln 2 D.函数 f(x)有三个零点11、【刘铠勇】中国饮食文化是有着长远历史，博大精深的中国文化。譬如粽子，有人说是因为纪念爱国诗人屈原人们用用艾叶或苇叶、荷叶包住食物，用五色丝线捆好，投江祭奠；也有人说是为了清明节纪念晋文公名臣介子推。现在粽子已演变出不同品种、不同类别，很多地方逢年过节怀着美好祝愿以棕子为食物。其中一种粽子被包成比较对称的四面体形状。现有一只质地均匀的粽子程棱长为12的四面体ABCD
4、，兄弟三人分食此粽。大哥将棕子平放桌面上（面BCD在桌面），准备用垂直于桌面的两刀将粽子体积三等分，忽略粽子的变形，第一刀经过了棱AB上点E,切截面与棱BC，BD均相交；则以下结论正确的是（ ）A、若AE=2，第一刀切底面所得的三角形面积是定值； B、若AE=2，截面截底面两边的长度为；C、点E能与点A重合； D、若第二刀将剩余部分分为全等的两块，则BE长为。12、【胡珂】已知曲线的方程为，集合，若对于任意的，都存在，使得成立，则称曲线为曲线，下列方程所表示的曲线中，曲线的序号是（ ）.A；B-2；C ；D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【付强】梯形中，,分别以为轴旋转
5、一周所得到的旋转体的体积的最大值为 . 14、【刘依舒】 若“”为假命题，则实数a的取值范围为_15、【李锦万】在某次模拟中，全级的数学成绩近似服从正态分布据此估计：在全级同学中随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的数学成绩超过93.1分的概率是_16、【罗建中】抛物线的焦点为,准线为,是抛物线上的两个动点,且满足.设线段的中点在上的投影为,则的最大值是_.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（10分）【李锦万】已知数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18、（12分）【黄锡纯】在中，线段是的角平分线，且 (1
6、)求(2)若求的值.19、（12分）【李锦万】在某次校园科技节游园活动中，数学兴趣小组的摊位开展了一个特别的投骰子游戏。如果玩家投中1或者6可得1分，并且可以继续下一次投骰子，如果结果为2到5则游戏结束，但游戏的次数最多不超过次。以X表示游戏结束时玩家累计获得的分数。（1）求玩家至少获得2分（）的概率；（2）求X的分布列；（3）求X的数学期望。20、（12分）PBCDEA【刘铠勇】如图，面,四边形是边长为1的为正方形；点在线段上，。（1）若/面且，求值；（2）若面，棱锥体积取得最大值，求四棱锥的高。21、（12分）【罗建中】已知动圆P过点且与圆相内切。求动圆圆心P的轨迹方程。直线过原点，且与轨
7、迹有两个交点。轨迹上是否存在一点，使为正三角形，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由。22.（12分）【黄志平】设函数（1）当时，证明：;（2）当时，证明：有唯一零点.答案一、选择题1、【答案】A【解析】,. 故选A 2、【答案】D3、【答案】C4、【答案】B若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“ ”是“ 的必要不充分条件，故选B5、【答案】B6、【答案】B【解析】由，两边平方，得：，因为，是单位向量，所以，得，则，所以，所以与的夹角为故选B7、【答案】C，赋值法：令x=1可知道展开式中各项系数的和为（a+1）5=1024，所以a=3。8、【答案】C解：由题设知P点在MN的中
8、垂线上，所以问题转化为中垂线与曲线是否有交点，与中垂线平行，圆与中垂线相离。由图或判别式知与无交点。选C。二、多选题9、【答案】AD 若，则，即，即，该选项正确；若，可取，则，该选项错误；若，则可取，而，该选项错误；由，若，则，即，即，即若，则，即，即，即该选项正确；10.【答案】 A B C对A：函数 f(x)的定义域为R,且有 f(-x) = (-x ) ln(= - x ln(对B：当x（0，+）时 y=x 为增函数，而y=则 ln(0当x（0，+）时 y=为增函数, 故函数 f(x)= x ln( 在区间（0，+）上单调递增。对C：设h(x)= ln( ,于是f(x)= x h(x)
9、,有 f (x) =x h(x) + x h(x) 得f(0)= h(0) =ln 2对D：故函数 f(x)= x ln( 在区间（0，+）上单调递增得f(x).0，且f(x)为奇函数,即函数 f(x)= x ln( 在区间R上单调递增，只有一个零点。11、【答案】ABCABDEOFMGH解答：设第一切交边BC、BD分别交于G、H，不失一般性，设BHBG，设BC中点为M,A、E在底面的射影分别为O、F，则FBO；设=,=()，,则又，则从而A选项AE=2时，则，为定值上；B选项联立解得：，故边长为 C选项此时=1，此时联立无解，故不能；D选项此时应有GHBO,即，联立有，故BE=AB=.12、
10、【答案】选BD.对于A，当为时，曲线上不存在点，使.故A不是曲线；对于B, M=（x，y）|-2，如下图虚线的直角始终存在，对于任意（x1，y1） M，存在（x2，y2） M，使得成立，例如取M（0，1），则N（ln2，0），满足曲线；对于C, M=（x，y）|，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“曲线”；对于D，由可得或点，对于任意，存在，使.故为曲线.选BD三、填空题13、【答案】14、【答案】因为恒成立，所以在恒成立，所以且，又因为在上是增函数，所以，所以.15、【答案】。由题意，可得每名学生的数学成绩，所以，则全级随机抽取的4名同学中恰有2名的
11、成绩超过93.1分的概率是.故答案为：16、【答案】解析：过点作于,过点作于,由抛物线的性质可知,.又是中点,所以是梯形的中位线,则.在中,则,当且仅当时,不等号取等号.四、解答题17、【答案】（1），令，解得，1分，两式相减，得，3分所以数列是以为首项，为公比的等比数列.4分所以数列的通项公式为，5分（2）由（1）知，所以，即，6分，8分.10分18、解(1) 平分(2)如图，过点作交于点，并延长交于点显然在中，在中，由正弦定理得即又19、解：（1）在单次投骰子中，投中1或者6的概率为，投中2到5的概率为1分2分4分（2）X的可能取值为0，1，2，5分依题意得6分7分所以X的分布列为：X01
12、2P8分（3）9分得：10分11分 整理得12分20、解：（1）设。,面面=,/面,/,=1.（2）解法一: 建立如图所示坐标系，设(0,0,p)，有=(-1,1,0)，PBCDEAxyz设，则=面 得：因为的底面不变，故即到面的距离取最大值。到面的距离=当仅当,即时取最大值.故四棱锥的高为.EPAOHC解法二: 设.PAC中,作EH/PA,交AC于H.面 面 就是到面的距离因为的底面不变,即求EH最大时PA的值.面 面.故E在以OC为直径的半圆上,当EH取最大值时,EH为圆的半径,H为圆心.此时=4=421、解：设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则由条件知 1分故 3分因此，P的轨迹是以为
13、焦点，长轴长为的椭圆方程。故圆心P的轨迹方程为： 4分 解法一：若直线的斜率存在且不为零。故可设。直线方程为：5分由7分同理，得8分因，此时无解。10分若直线的斜率为零，此时也无解。11分若直线的斜率不存在，可求出。故的坐标为12分解法二：由图形的对称性及正三角形性质，不妨设， 8分代入椭圆方程，得 9分同理，由由 10分得，故存在这样的点，其坐标为。 12分22、【答案】解：（1）当，时，则有：，则有：若能证得：，则原不等式得证。要证，只需证：当时， 令，则，即是上的增函数，即，即是上的增函数，故当，时，.（2）当时，令，则，若，递增， 故存在唯一实数，使，递减递增，又，故存在唯一实数，使，递减递增又， ， 在有唯一零点；当时， 故在上有唯一零点.
