1、2015-2016学年广东省佛山市禅城区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1设全集U=0，1，2，3，4，集合A=0，1，2，集合B=2，3，则（CUA）B=( )AB1，2，3，4C0，1，2，3，4D2，3，42复数（i是虚数单位）的实部是( )ABCD3条件甲：ab0，条件乙：，则甲是乙成立的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4已知点M（3，2），N（5，1），且，则点P是( )A（8，1）B（1，）C（1，）D（8，1）5设函数f（x）=则f（）的值为( )A18BCD6将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数
2、分别为b，c，则方程x2+bx+c=0有实根的概率为( )ABCD7要得到函数y=sin（4x）的图象，只需将函数y=sin4x的图象( )A向左平移单位B向右平移单位C向左平移单位D向右平移单位8若角的终边过点（1，2），则cos（2）的值为( )ABCD9设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm1=2，Sm=0，Sm+1=3，则m=( )A3B4C5D610对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如表所示的数据观测次数i12345678观测数据ai4041434344464748在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中是这8个数据的平均数），则输出的S的值是(
3、)A5B6C7D811设a，b，c均为正数，且2a=，则( )AabcBcbaCcabDbac12若函数f（x）=x33x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A（2，2）B2，2C（，1）D（1，+）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知等比数列an的各项均为正数，若a1=3，前三项的和为21，则a4+a5+a6=_14设实数x，y满足条件则z=2xy的最大值是_15已知2=（1，），=（1，）且，|=4，则与的夹角为 _16一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的
4、距离为_km三、解答题（共5小题，满分60分）17已知an是等差数列，满足a1=3，a4=12，等比数列bn满足b1=4，b4=20（1）求数列an和bn的通项公式；（2）求数列bn的前n项和18如图，在ABC中，B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cosADC=（1）求sinBAD；（2）求BD，AC的长19某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组13，14），第二组14，15），第五组17，18，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（
5、）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1的概率20某机床厂用98万元购进一台数控机床，第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，从第一年开始每年的收入均为50万元设使用x年后数控机床的盈利总额为y万元（1）写出y与x之间的函数关系式；并求第几年开始，该机床开始盈利；（2）问哪一年平均盈利额最大、最大值是多少？21设函数f（x）=lnxax+1（）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（）讨论函数f（x）的单调性选修4-1：几何证明选讲22如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中
6、点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC（1）求证：APMABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形选修4-4：极坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xoy中，设P（x，y）是椭圆上的一个动点（1）写出椭圆的参数方程；（2）求S=x+y的最大值选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|x+1|+|x1|，xR，不等式f（x）2的解集为M（1）求M；（2）当a，bM时，证明：|a+b|ab+3|2015-2016学年广东省佛山市禅城区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1设全集U=0，1
7、，2，3，4，集合A=0，1，2，集合B=2，3，则（CUA）B=( )AB1，2，3，4C0，1，2，3，4D2，3，4【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】计算题【分析】根据全集U和集合A先求出集合A的补集，然后求出集合A的补集与集合B的并集即可【解答】解：由全集U=0，1，2，3，4，集合A=0，1，2，则CUA=3，4，又因为集合B=2，3，则（CUA）B=2，3，4故选D【点评】此题考查了补集及并集的运算，是一道基础题，学生在求补集时应注意全集的范围2复数（i是虚数单位）的实部是( )ABCD【考点】复数代数形式的乘除运算 【专题】计算题【分析】直接利用复数的除法运算把给出的复数化
8、为a+bi（a，bR）的形式，则复数的实部可求【解答】解：=所以复数的实部为故选B【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题3条件甲：ab0，条件乙：，则甲是乙成立的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】计算题【分析】先通过解分式不等式化简条件乙，再判断甲成立是否推出乙成立；条件乙成立是否推出甲成立，利用充要条件的定义判断出甲是乙成立的什么条件【解答】解：条件乙：，即为若条件甲：ab0成立则条件乙一定成立；反之，当条件乙成立不一定有条件甲：ab0成立所以甲
9、是乙成立的充分非必要条件故选A【点评】判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该先化简两个条件，再利用充要条件的定义进行判断4已知点M（3，2），N（5，1），且，则点P是( )A（8，1）B（1，）C（1，）D（8，1）【考点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量的坐标运算 【专题】计算题；函数思想；平面向量及应用【分析】设出P的坐标，利用向量相等，列出方程求解即可【解答】解：设P（x，y），点M（3，2），N（5，1），且，可得x3=，解得x=1y+2=，解得y=P（1，）故选：B【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的平行，是基础题5设函数f（x）=则f（）的值为( )A18BCD【考点】分
10、段函数的应用；函数的值 【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用【分析】直接利用分段函数，逐步求解函数值即可【解答】解：函数f（x）=，f（2）=22+22=4，则f（）=f（）=1=故选：D【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力6将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2+bx+c=0有实根的概率为( )ABCD【考点】等可能事件的概率 【专题】计算题【分析】先根据题中的条件可判断属于等可能事件的概率模型，然后分别求解试验产生的所有结果n，基本事件的结果数m，代入古典概率模型的计算公式P（A）=进行计算【解答】解：将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分
11、别为b，c，共有36种结果：记“方程x2+bx+c=0有实根”为事件A，则=b24c0，A包含的结果有：（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（4，3）（5，3）（6，3）（4，4）（5，4）（6，4）（5，5）（6，5）（5，6）（6，6）共19种结果，由的可能事件概率的计算公式可得，P（A）=故选D【点评】本题主要考查了等可能事件概率的求解和一元二次方程有解的充要条件，本题解题的关键是列举出使得方程有解的可能的情况，本题是一个基础题7要得到函数y=sin（4x）的图象，只需将函数y=sin4x的图象( )A向左平移单位B向右平移单位C向左
12、平移单位D向右平移单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换 【专题】三角函数的图像与性质【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可【解答】解：因为函数y=sin（4x）=sin4（x），要得到函数y=sin（4x）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位故选：B【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点8若角的终边过点（1，2），则cos（2）的值为( )ABCD【考点】任意角的三角函数的定义 【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得cos的值，再利用诱导公式、二倍角的余弦公式求得cos（2）的值【解答】
13、解：角的终边过点（1，2），cos=，则cos（2）=cos2=（2cos21）=12cos2=1=，故选：A【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题9设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm1=2，Sm=0，Sm+1=3，则m=( )A3B4C5D6【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和 【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由an与Sn的关系可求得am+1与am，进而得到公差d，由前n项和公式及Sm=0可求得a1，再由通项公式及am=2可得m值【解答】解：am=SmSm1=2，am+1=Sm+1Sm=3，所以公差d=am+1am=1，S
14、m=0，得a1=2，所以am=2+（m1）1=2，解得m=5，故选C【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项an与Sn的关系，考查学生的计算能力10对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如表所示的数据观测次数i12345678观测数据ai4041434344464748在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中是这8个数据的平均数），则输出的S的值是( )A5B6C7D8【考点】程序框图 【专题】概率与统计；算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算输入的8个数的方差由表中给出的输入的8个数
15、的数据，不难得到答案【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算输入的8个数的方差由表中给出的输入的8个数的数据，不难得到答案=（40+41+43+43+44+46+47+48）=44，S2=（42+32+12+12+02+22+32+42）=7，故选：C【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型
16、解模11设a，b，c均为正数，且2a=，则( )AabcBcbaCcabDbac【考点】对数值大小的比较 【专题】数形结合【分析】比较大小 可以借助图象进行比较，观察题设中的三个数a，b，c，可以借助函数图象的交点的位置进行比较【解答】解：分别作出四个函数y=，y=2x，y=log2x的图象，观察它们的交点情况由图象知：abc故选A【点评】本题考点是对数值大小的比较，本题比较大小时用到了对数函数和指数函数的图象，比较大小的题在方法上应灵活选择，依据具体情况选择合适的方法12若函数f（x）=x33x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A（2，2）B2，2C（，1）D（1，+）【考点】
17、函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【专题】数形结合；运动思想【分析】由函数f（x）=x33x+a求导，求出函数的单调区间和极值，从而知道函数图象的变化趋势，要使函数f（x）=x33x+a有3个不同的零点，寻求实数a满足的条件，从而求得实数a的取值范围【解答】解f（x）=3x23=3（x+1）（x1），当x1时，f（x）0；当1x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0，当x=1时f（x）有极大值当x=1时，f（x）有极小值，要使f（x）有3个不同的零点只需，解得2a2故选A【点评】考查利用导数研究函数的单调性和极值，函数图象的变化趋势，体现了数形结合和运动的思
18、想方法，属中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知等比数列an的各项均为正数，若a1=3，前三项的和为21，则a4+a5+a6=168【考点】等比数列的性质 【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由题意可得公比，而a4+a5+a6=（a1+a2+a3）q3，代入求解可得【解答】解：可设等比数列an的公比为q，（q0）由题意可得a1+a2+a3=3+3q+3q2=21，解之可得q=2，或q=3（舍去）故a4+a5+a6=（a1+a2+a3）q3=218=168故答案为：168【点评】本题考查等比数列的性质，整体法是解决问题的关键，属中档题14设实数x，y满足条件则z=2x
19、y的最大值是1【考点】简单线性规划 【专题】计算题；数形结合【分析】画出对应的平面区域，求出可行域中各个角点的坐标，分析代入后即可得到答案【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：联立可得即A（1，1）由图可知：当过点A（1，1）时，2xy取最大值1故答案为：1【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中根据约束条件，画出满足约束条件的可行域并求出各角点的坐标，是解答此类问题的关键15已知2=（1，），=（1，）且，|=4，则与的夹角为 60【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模；平面向量数量积的运算 【专题】计算题【分析】利用向量的数量积的坐标形式的公式求出，利用向量数量积的运算律展
20、开，将已知代入求出，再利用向量的数量积公式求出两向量夹角的余弦，求出夹角【解答】解：设的夹角为即=60故答案为60【点评】本题考查向量数量积的坐标公式、向量数量积的运算律、利用向量的数量积求向量的夹角16一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为30km【考点】解三角形的实际应用 【专题】计算题【分析】先根据船的速度和时间求得AB的长，进而在AMB中根据正弦定理利用MAB=30，AMB=45，和AB的长度，求得BM【解答】解：如图，依题意有AB=154=60，MAB=30，AMB=45，在
21、AMB中，由正弦定理得=，解得BM=30（km），故答案为30【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用常需利用正弦定理或余弦定理，根据已知的边或角求得问题的答案三、解答题（共5小题，满分60分）17已知an是等差数列，满足a1=3，a4=12，等比数列bn满足b1=4，b4=20（1）求数列an和bn的通项公式；（2）求数列bn的前n项和【考点】数列的求和 【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（1）由等差数列的通项公式求出公差，由此能求出数列an的通项公式；由等比数列bn通项公式求出公比q，由此能求出数列bn的通项公式（2）由等比数列bn的首项和公比能求出数列bn的前n
22、项和【解答】解：（1）an是等差数列，满足a1=3，a4=12，3+3d=12，解得d=3，an=3+（n1）3=3n等比数列bn满足b1=4，b4=20，4q3=20，解得q=，bn=4（）n1（2）等比数列bn中，数列bn的前n项和Sn=【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用18如图，在ABC中，B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cosADC=（1）求sinBAD；（2）求BD，AC的长【考点】余弦定理的应用 【专题】解三角形【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论【解答】解：
23、（1）在ABC中，cosADC=，sinADC=，则sinBAD=sin（ADCB）=sinADCcosBcosADCsinB=（2）在ABD中，由正弦定理得BD=，在ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB22ABBCcosB=82+5228=49，即AC=7【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大19某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组13，14），第二组14，15），第五组17，18，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该
24、班在这次百米测试中成绩良好的人数；（）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布 【专题】计算题【分析】（1）根据频率分步直方图做出这组数据的成绩在14，16）内的人数为500.16+500.38，这是频率，频数和样本容量之间的关系（2）根据频率分步直方图做出要用的各段的人数，设出各段上的元素，用列举法写出所有的事件和满足条件的事件，根据概率公式做出概率【解答】解：（）由频率分布直方图知，成绩在14，16）内的人数为500.16+500.38=27（人）该班成绩良好的人数为27
25、人（）由频率分布直方图知，成绩在13，14）的人数为500.06=3人，设为x，y，z成绩在17，18）的人数为500.08=4人，设为A，B，C，D若m，n13，14）时，有xy，zx，zy，3种情况； 若m，n17，18）时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种情况；若m，n分别在13，14）和17，18）内时，ABCDxxAxBxCxDyyAyByCyDzzAzBzCzD共12种情况基本事件总数为21种，事件“|mn|1”所包含的基本事件个数有12种P（|mn|1）=【点评】本题是一个典型的古典概型问题，本题可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的
26、精髓20某机床厂用98万元购进一台数控机床，第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，从第一年开始每年的收入均为50万元设使用x年后数控机床的盈利总额为y万元（1）写出y与x之间的函数关系式；并求第几年开始，该机床开始盈利；（2）问哪一年平均盈利额最大、最大值是多少？【考点】函数模型的选择与应用 【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】（1）第x年所需维修、保养费用为12+4（x1），故y与x之间的函数关系为y=50xx（12+4x+8）98，xN+可知当y0时，开始盈利，解不等式2x2+40x980求得x的范围，从而得到
27、结论；（2）化简=40（x+），再利用基本不等式求最值即可【解答】解：（1）第二年所需维修、保养费用为12+4万元，第x年所需维修、保养费用为12+4（x1）=4x+8，由维修、保养费用成等差数列递增，依题得：y=50xx（12+4x+8）98=2x2+40x98（xN+）；可知当y0时，开始盈利，解不等式2x2+40x980，得10x10+xN+，3x17，故从第3年开始盈利；（2）=40（x+）402=4014=36（当且仅当x=7时，等号成立）；到第七年，年平均盈利额能达到最大值，此时工厂共获利36万元【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式的应用，二次函数函数的性质和基本不
28、等式的应用，属于中档题21设函数f（x）=lnxax+1（）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（）讨论函数f（x）的单调性【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】综合题；分类讨论；定义法；导数的概念及应用【分析】（）当a=1时，求函数的导数，根据导数的几何意义即可求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（）根据函数的单调性和导数之间的关系进行求解即可【解答】解：（）函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）=a当a=1时，f（x）=lnxx1，则f（1）=2，f（x）=1，则f（1）=0，f（x）在x=1处的切线方程为y=2 （）f（x）=a=，f（
29、x）的定义域为（0，+），当a=0时，f（x）=，f（x）的增区间为（1，+），减区间为（0，1）当a0时，即0a时，f（x）的增区间为（1，），减区间为（0，1），（，+）当=1，即a=时，f（x）在 （0，+）上单调递减 当1，即a或a0，当a时，f（x）的增区间为（，1），减区间为（0，），（1，+），当a0时，f（x）的增区间为（0，），（1，+），减区间为（，1）【点评】本题主要考查函数导数的应用，利用导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键注意要进行分类讨论选修4-1：几何证明选讲22如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线N
30、AB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC（1）求证：APMABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定 【专题】证明题【分析】（I）由切割线定理，及N是PM的中点，可得PN2=NANB，进而=，结合PNA=BNP，可得PNABNP，则APN=PBN，即APM=PBA；再由MC=BC，可得MAC=BAC，再由等角的补角相等可得MAP=PAB，进而得到APMABP（II）由ACD=PBN，可得PCD=CPM，即PMCD；由APMABP，PM是圆O的切线，可证得MCP=DPC，即MCPD；再由平行四边形的判
31、定定理得到四边形PMCD是平行四边形【解答】证明：（）PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，MN2=PN2=NANB，=，又PNA=BNP，PNABNP，APN=PBN，即APM=PBA，MC=BC，MAC=BAC，MAP=PAB，APMABP（）ACD=PBN，ACD=PBN=APN，即PCD=CPM，PMCDAPMABP，PMA=BPAPM是圆O的切线，PMA=MCP，PMA=BPA=MCP，即MCP=DPC，MCPD，四边形PMCD是平行四边形【点评】本题考查的知识点是切割线定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平面几何的基本定理是解答本题的
32、关键选修4-4：极坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xoy中，设P（x，y）是椭圆上的一个动点（1）写出椭圆的参数方程；（2）求S=x+y的最大值【考点】椭圆的参数方程 【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程【分析】（1）根据椭圆的标准方程写出它的参数方程（2）根据S=x+y=cos+sin=2sin（+），再利用正弦函数的值域求得S=x+y的最大值【解答】解：（1）P（x，y）是椭圆上的一个动点，令x=cos，则y=sin，故椭圆的参数方程为 （2）由于S=x+y=cos+sin=2sin（+），故S=x+y的最大值为2【点评】本题主要考查椭圆的参数方程，以及参数方程的应用，辅
33、助角公式，正弦函数的最值，属于基础题选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|x+1|+|x1|，xR，不等式f（x）2的解集为M（1）求M；（2）当a，bM时，证明：|a+b|ab+3|【考点】不等式的证明 【专题】综合题；转化思想；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求出不等式f（x）2的解集M（2）用分析法证明此不等式，分析使此不等式成立的充分条件为（a23）（3b2）0，而由条件a，bM可得（a23）（3b2）0成立，从而证得要证的不等式【解答】解：（1）不等式即|x+1|+|x1|2，而|x+1|+|x1|表示数轴上的x对应点到1、1对应点的距离之和，和对应点到1、1对应点的距离之和正好等于2，故不等式的解集为M=，；（2）要证|a+b|ab+3|，只要证3（a+b）2（ab+3）2，即证：3（a+b）2（ab+3）2=3（a2+b2+2ab）（a2b2+6ab+9）=3a2+3b2a2b29=（a23）（3b2）0，而由a，bM，可得a，b，a230，3b20，（a23）（3b2）0成立，故要证的不等式|a+b|ab+3|成立【点评】本题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式的解法，用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题
