1、专题能力训练10三角变换与解三角形能力突破训练1.在ABC中,若sin2Asin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是() A.0,6B.6,C.0,3D.3,2.已知cos(-2)sin-4=-22,则sin +cos 等于()A.-72B.72C.12D.-123.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=3ac,则角B的值为()A.6B.3C.6或56D.3或234.在ABC中,ABC=4,AB=2,BC=3,则sinBAC等于()A.1010B.105C.31010D.555.若2,3cos 2=sin4-,则sin 2的值为(
2、)A.118B.-118C.1718D.-17186.(2015广东高考)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3,sin B=12,C=6,则b=.7.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且ABC,3b=20acos A,则sin Asin Bsin C=.8.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若cosA+6=sin A,求A的值;(2)若cos A=14,4b=c,求sin B的值.9.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos 2A+32=2cos A.(1)求角A的大小;(2)若a=1,求
3、ABC的周长l的取值范围.10.(2015湖南高考)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=2;(2)求sin A+sin C的取值范围.11.(2015山东高考)设f(x)=sin xcos x-cos2x+4.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若fA2=0,a=1,求ABC面积的最大值.思维提升训练12.若02,-20,cos4+=13,cos4-2=33,则cos+2等于()A.33B.-33C.539D.-6913.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csi
4、n A=acos C.当3sin A-cosB+4取最大值时,角A的大小为()A.3B.4C.6D.2314.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=2A,cos A=34,b=5,则ABC的面积为()A.1574B.1572C.574D.57215.(2015全国高考)在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是.16.在ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,3C2,且ba-b=sin2CsinA-sin2C.(1)判断ABC的形状;(2)若|BA+BC|=2,求BABC的取值范围.参考答案能力突破训练1.C解析:由正弦定理,得a2
5、b2+c2-bc,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,则cos A12.0A,0A3.2.D解析:cos(-2)sin-4=-cos2sin-4=sin2-2sin-4=2cos-4=2cos +2sin =-22,sin +cos =-12,故选D.3.D解析:由(a2+c2-b2)tan B=3ac,得a2+c2-b22ac=32cosBsinB,即cos B=32cosBsinB,则sin B=32.0BBC,abc.设a=b+1,c=b-1(b1,且bN*),由3b=20acos A得3b=20(b+1)b2+(b-1)2-(b+1)22b(b-1),化简,得7b2-27
6、b-40=0.解得b=5或b=-87(舍去),a=6,c=4,sin Asin Bsin C=654.8.解:(1)因为cosA+6=sin A,即cos Acos6-sin Asin6=sin A,所以32cos A=32sin A.显然cos A0,否则,由cos A=0,得sin A=0,与sin2A+cos2A=1矛盾,所以tan A=33.因为0A,所以A=6.(2)因为cos A=14,4b=c,根据余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=15b2,所以a=15b.因为cos A=14,所以sin A=1-cos2A=154.由正弦定理,得15bsinA=bsinB,所以s
7、in B=14.9.解:(1)根据倍角公式cos 2x=2cos2x-1,得2cos2A+12=2cos A,即4cos2A-4cos A+1=0,所以(2cos A-1)2=0,所以cos A=12,因为0A,所以A=3.(2)根据正弦定理asinA=bsinB=csinC,得b=23sin B,c=23sin C,所以l=1+b+c=1+23(sin B+sin C).因为A=3,所以B+C=23,所以l=1+23sinB+sin23-B=1+2sinB+6.因为0B0,所以A0,4,于是sin A+sin C=sin A+sin2-2A=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin
8、A+1=-2sinA-142+98.因为0A4,所以0sin A22,因此22-2sinA-142+9898.由此可知sin A+sin C的取值范围是22,98.11.解:(1)由题意知f(x)=sin2x2-1+cos2x+22=sin2x2-1-sin2x2=sin 2x-12.由-2+2k2x2+2k,kZ,可得-4+kx4+k,kZ;由2+2k2x32+2k,kZ,可得4+kx34+k,kZ.所以f(x)的单调递增区间是-4+k,4+k(kZ);单调递减区间是4+k,34+k(kZ).(2)由fA2=sin A-12=0,得sin A=12,由题意知A为锐角,所以cos A=32.由
9、余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得1+3bc=b2+c22bc,即bc2+3,且当b=c时等号成立.因此12bcsin A2+34.所以ABC面积的最大值为2+34.思维提升训练12.C解析:cos4+=13,02,sin4+=223.又cos4-2=33,-20,sin4-2=63,cos+2=cos4+-4-2=cos4+cos4-2+sin4+sin4-2=1333+22363=539.13.A解析:由正弦定理,得sin Csin A=sin Acos C.因为0A0,从而sin C=cos C.又cos C0,所以tan C=1,则C=4,所以B=34-A.于是3sin A
10、-cosB+4=3sin A-cos(-A)=3sin A+cos A=2sinA+6.因为0A34,所以6A+61112,从而当A+6=2,即A=3时,2sinA+6取最大值2.故选A.14.A解析:cos A=34,cos C=2cos2A-1=18,则sin C=378,tan C=37,如图,设AD=3x,AB=4x,CD=5-3x,BD=7x.在RtDBC中,tan C=BDCD=7x5-3x=37,解得BD=7x=372,SABC=12BDAC=1574.15.(6-2,6+2)解析:如图.作CEAD交AB于点E,则CEB=75,ECB=30.在CBE中,由正弦定理得,EB=6-2
11、.延长CD交BA的延长线于点F,则F=30.在BCF中,由正弦定理得,BF=6+2,所以AB的取值范围为(6-2,6+2).16.解:(1)由ba-b=sin2CsinA-sin2C及正弦定理,得sin B=sin 2C,B=2C或B+2C=.若B=2C,3C2,23B(舍去).若B+2C=,又A+B+C=,A=C,ABC为等腰三角形.(2)|BA+BC|=2,a2+c2+2accos B=4.又由(1)知a=c,cos B=2-a2a2.而cos B=-cos 2C,12cos B1,1a243.BABC=accos B=a2cos B,且cos B=2-a2a2,a2cos B=2-a223,1.BABC23,1.
